Mgr inż. Gabriela Smętek Wrocław 2016

1. Podstawowe Pojęcia 2. Model Gry 3. Przykłady 4. Dominacja 5. Wartość Oczekiwana 6. Przykłady 7. Gry Wielochodowe wieloetapowe)

Wartość oczekiwana (nadzieja matematyczna) – E(X). Gdy chcemy dokonać pewnego wyboru ze zbioru możliwości, a znamy tylko prawdopodobieństwo przypisane tym możliwością, wtedy jest to rozkład prawdopodobieństwa pewnej zmiennej losowej Gra dwuosobowa o sumie zero – w grze bierze udział dwóch uczestników (dwa układy interesów konfliktowych). Pojęcie strategii – możliwe decyzje obu partnerów gry. Macierz wypłat (macierz użyteczności) – tablica prostokątna. Każdy jej element oznacza wielkość wypłaty jaką otrzymuje gracz pierwszy od gracza drugiego, gdy gracz pierwszy wybiera liczbę odpowiadającą wierszowi, a gracz drugi – liczbę odpowiadającą kolumnie danego elementu. Gry w postaci normaln ej - mając macierz wypłat dla gracza pierwszego, można ułożyć macierz wypłat dla gracza drugiego (należy tylko zmienić znaki). Suma tych dwóch macierzy da macierz zerową. Oznacza to, iż wygrana jednego uczestnika jest stratą dla drugiego). Nie występuje tu zarobek, a w trakcie gry nie powstaje kapitał, ani żaden nie ginie.

G2G1G2G1 b1b1 b2b2 …bnbn a1a1 a 11 a 12 …a 1n a2a2 a 21 a 22 …a 2n ……… … … amam a m1 a m2 …a mn Gdzie: m – liczba strategii gracza G1, n – liczba strategii gracza G2, a 1, a 2, …, a m – strategie gracza G1, B 1, B 2, …, B n – strategie gracza G2.

W każdym wierszu wybieramy minimum, a potem z wszystkich tych liczb wybieramy maksimum: m n v 1 =max min a ij i=1 i i =1 Analogicznie w odniesieniu do gracza drugiego dochodzimy do wniosku, że: n m v 1 =min max a ij i=1 i i =1 Czyli gracz drugi stara się zminimalizować swoje przegrane (straty), czyli wybrać minimum z kolumn o maksymalnej przegranej. Dla dowolnej gry dwuosobowej o sumie zerowej, może zajść jeden z dwóch możliwości: v 1 = v 2 = v lub v 1 ≠ v 2 W pierwszym przypadku mamy tzw. grę zamkniętą, czyli grę z punktem siodłowym. Gry dla drugiego przypadku nazywają się grami otwartymi.

min max min max min max

Mówimy, że i-ty wiersz macierzy wypłat A dominuje k-ty wiersz, jeśli a ij ≥a kj, dla wszystkich j oraz a ij >a kj, dla wszystkich j; Natomiast j-ta kolumna dominuje l-tą kolumnę, gdy a ij ≤a il, dla wszystkich i oraz a ij <a kl, dla wszystkich. Strategia czysta dla wiersza lub kolumny dominuje nad inną strategią czystą, jeśli wybór pierwszej (dominującej) strategii jest co najmniej tak dobry, jak wybór drugiej (dominowanej) strategii, a czasem nawet lepszy. Zatem gracz zawsze może pominąć strategię dominowaną, a będzie używał strategii niedominowanych.

Mniejszy Większy Mniejszy

G2G1G2G1 b1b1 b2b2 a1a1 a 11 a 12 a2a2 a 21 a 22 GRACZ 1 GRACZ 2

G2G1G2G1 b1b1 b2b2 b3b3 a1a a2a a3a Przykład. Mamy hipotetycznie dwa zakłady produkujące ten sam wyrób. Mogą one realizować niezależnie od siebie jedną ze swych strategii produkcyjnych. Partner I (G 1 ) ma do dyspozycji strategie a 1 a 2 a 3, jego konkurent (G 2 ) zaś – strategie b 1, b 2, b 3 (w interpretacji treściowej poszczególne strategie mogą reprezentować warianty produktu, moc silnika, wielkość ekranu telewizora, itp.)

Przykład. Mamy dwie walczące ze sobą strony S1 i S2. Strona S1 broni dwóch punktów A i B o ważnym strategicznie znaczeniu, przy czym obie strony uważają, że użyteczność punktu A jest ważniejsza od użyteczności punktu B, bowiem ten pierwszy broni dostępu przeciwnika do trzech źródeł zaopatrzenia jednostek wojskowych w potrzebie im środki, a punkt B, tylko do dwóch. Siły obronne strony pierwszej nie pozwalają na jednoczesną obronę obu punktów, czyli pozwalają na obronę skuteczną jednego z nich. Z kolei siły ofensywne strony drugiej są również ograniczone – mogą skutecznie zaatakować tyko jeden z punktów strategicznych będących e posiadaniu przeciwnika, ale jeśli nie jest on broniony przez stronę pierwszą. Gracz G1 Obrona punktu strategicznego A Źródło zaopatrzenia armii A1 Źródło zaopatrzenia armii A2 Źródło zaopatrzenia armii A3 Obrona punktu strategicznego B Źródło zaopatrzenia armii B1 Źródło zaopatrzenia armii B2

a 11 a 12 a 21 a 22 b1b1 b2b2 b1b1 b2b2 2 a1a1 a2a2 3 1 G2 G1 Podczas zapisu gry w postaci ekstensywnej mamy do czynienia z następującymi obiektami: Wierzchołki: są to punkty w których gracz podejmuje decyzje (działa). Wierzchołek początkowy: jest to punkt w którym zachodzi pierwsze zdarzenie (decyzja) w grze. Wierzchołki końcowe: są to takie punkty, których osiągnięcie kończy grę. Każdy wierzchołek końcowy ma przypisany pewien określony wynik Podgra: dowolny zbiór wierzchołków i łączących je krawędzi, które wychodzą (zgodnie z kierunkiem drzewa) z określonego wierzchołka. Strategia: sposób określający decyzje danego gracza w każdym z wierzchołków drzewa, w którym może on podjąć jakąś decyzję. G2G1G2G1 b1b1 b2b2 a1a1 a 11 a 12 a2a2 a 21 a 22

G2G1G2G1 OR O 1 R 1 11 OR OR OR A G2 G1 Przykład. Mamy daną grę w orła (O) i reszkę (R). Każdy z graczy może wybrać niezależnie od siebie O lub R. jeśli obaj wybiorą O lub R, czyli to samo, to gracz drugi wygrywa 1zł, czyli gracz pierwszy przegrywa tę wartość. Przy wyborze przeciwnym, gracz pierwszy wygrywa poprzednio wymienioną sumę.

G2G1G2G1 Przyznać się b 1 Zaprzeczyć b 2 Przyznać się a 1 3;30;4 Zaprzeczyć a 2 4;02;2 3;30;44;02;2 b1b2b2 b2 a1a1 a2a2 G2 G1 Przykład. Dylemat Więźnia: Dwóch ludzi popełniło przestępstwo, lecz brak na to dowodów, zaś policja złapała ich i umieściła w dwóch osobnych celach. Ponieważ nie ma dowodów popełnienia przez nich przestępstwa, nie można im udowodnić winy. Dlatego policja stara się nakłonić ich do zeznań przeciwko sobie. Każdemu z więźniów dano dwie możliwości: przyznać się do popełnienia przestępstwa, albo zaprzeczyć. Jeśli więzień I się przyzna, lecz więzień II zaprzeczy, to wówczas więzień I będzie występował w roli świadka przeciwko drugiemu i nie zostanie ukarany więzieniem, natomiast wówczas drugi więzień dostanie pełny wyrok 4 lat więzienia (i vice versa). Jeśli obaj się przyznają, to obydwaj dostaną po 3 lat odsiadki, ponieważ wówczas policja będzie miała dowody przeciwko obydwu. Jeśli obydwaj zaprzeczą oskarżeniu, że popełnili przestępstwo, to nie będzie na to dowodów, więc dostaną tylko po dwa lata więzienia, za brawurową ucieczkę samochodem przed policją.

ETAP 1 G2G1G2G1 b1b1 b2b2 a1a1 a 11 a 12 a2a2 a 21 a 22 G2 ETAP 2 G2G1G2G1 d1d1 d2d2 c1c1 c 11 c 12 c2c2 c 21 c 22 G1 G2 a1a1 a2a2 b1b1 b1b1 b2b2 b2b2 c1c1 c1c1 c1c1 c1c1 c2c2 c2c2 c2c2 c2c2 d1d1 d1d1 d1d1 d1d1 d1d1 d1d1 d1d1 d1d1 d2d2 d2d2 d2d2 d2d2 d2d2 d2d2 d2d2 d2d2 ETAP 1 ETAP 2