Matematyka przed egzaminem czyli samouczek dla gimnazjalisty Przygotowała Beata Czerniak FUNKCJE

Pojęcie funkcji Przykłady funkcji ZadaniaWykres funkcji Funkcja liniowa Wykres funkcji liniowej Monotoniczność funkcji Miejsce zerowe funkcji Współczynniki funkcji liniowej Zadania

Pojęcie funkcji Funkcją (odwzorowaniem) f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x ze zbioru X dokładnie jednego elementu y ze zbioru Y. f: X→Y Przykład W pewnej klasie jest 5 dziewczynek. Każda z nich rzuca jeden raz kostką do gry. Każdej dziewczynce przyporządkowujemy liczbę wyrzuconych na kostce oczek. Oto przykładowe wyniki doświadczenia przedstawione w tabelce: Numer dziewczynki X Ilość wyrzuconych oczek y 24116

W przedstawionym przykładzie zbiór X jest 5-elementowym zbiorem dziewczynek, co zapisujemy: X={1,2,3,4,5}. Zbiór Y jest zbiorem wszystkich możliwych wyników rzutu kostką do gry, a zatem jedynymi możliwymi elementami zbioru Y są liczby 1,2,3,4,5 i 6 co zapisujemy: Y={1,2,3,4,5,6} Przeciwdziedzina funkcji XY Dziedzina funkcji Zbiór wartości funkcji Zwróćmy uwagę na fakt, że chociaż możliwymi wynikami rzutów są liczby 1,2,3,4,5 i 6, to żadna z dziewczynek nie wyrzuciła kostką 3 i 5. Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f, zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcji f, natomiast podzbiór zbioru Y zawierający elementy przyporządkowane elementom ze zbioru X nazywamy zbiorem wartości funkcji. f

Przyporządkowanie przedstawione w przykładzie jest funkcją, gdyż każdej dziewczynce została przyporządkowana dokładnie jedna liczba będąca liczbą wyrzuconych na kostce oczek (nie może się bowiem zdarzyć, że dziewczynka wyrzuci jednocześnie np. 1 i 4, choć może zdarzyć się, że dwie lub więcej osób wyrzuci taką samą liczbę oczek). XY Dziedzina funkcji Zbiór wartości funkcji Przeciwdziedzina funkcji Elementy zbioru X nazywamy argumentami funkcji i oznaczamy literką x. Każdemu argumentowi funkcji jest przyporządkowana dokładnie jedna wartość funkcji. Wartość funkcji oznaczamy literą y lub f(x). Zbiór wszystkich wartości f(x) nazywamy zbiorem wartości funkcji. Mówimy, że funkcja jest określona na zbiorze X i przyjmuje wartości w zbiorze Y i zapisujemy symbolicznie f: X→Y. W przykładzie mamy f(1)=2 tzn. argumentowi 1 jest przyporządkowana wartość funkcji 2 f(4)=1 tzn. argumentowi 4 jest przyporządkowana wartość funkcji 1 itd. f

Przykłady przyporządkowań, które są funkcją 1.Zbiór X jest zbiorem trzech statków X={A,B,C}, natomiast zbiór Y jest zbiorem dwóch portów Y={1,2}. Każdemu statkowi przyporządkowujemy port, do którego wpływa, np. XY A C B 1 2 To przyporządkowanie jest funkcją, gdyż każdemu elementowi ze zbioru X jest przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru Y – każdy statek wpływa dokładnie do jednego portu (nie może się zdarzyć, że jeden statek wpływa do dwóch portów jednocześnie, choć do jednego portu mogą wpłynąć dwa statki). 2.Zbiór X jest zbiorem uczniów pewnej szkoły. Każdemu uczniowi jest przyporządkowana liczba, będąca rokiem jego urodzin. To przyporządkowanie jest funkcją, gdyż każdy uczeń ma przyporządkowaną dokładnie jedną liczbę. Nie może się bowiem zdarzyć sytuacja przyporządkowania jednemu uczniowi dwóch liczb (uczeń nie może urodzić się jednocześnie w roku np i 1991).

Przykłady przyporządkowań, które nie są funkcją 1.Zbiór X jest zbiorem trzech uczniów pewnej klasy. Każdemu uczniowi przyporządkowujemy ocenę jaką posiada z przedmiotu matematyka, np. XY A C B To przyporządkowanie nie jest funkcją z dwóch powodów: nie każdy uczeń posiada ocenę (tak się przecież może zdarzyć), a ponadto uczeń A ma dwie oceny 2 i 3, tzn. elementowi A zostały przyporządkowane dwa elementy ze zbioru Y. 2. Zbiór X jest zbiorem liczb naturalnych większych od 0, ale mniejszych lub równych 4. Każdej liczbie ze zbioru X przyporządkowujemy liczbę będącą jej dzielnikiem. XY To przyporządkowanie nie jest funkcją, gdyż elementowi ze zbioru X nie jest przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru Y.

Zadania Określ, czy następujące przyporządkowania są funkcjami. W przypadku funkcji określ jej dziedzinę, przeciwdziedzinę i zbiór wartości. 1. Każdemu trójkątowi przyporządkowujemy sumę miar jego kątów wewnętrznych. Odpowiedź 2. Każdej liczbie przyporządkowujemy liczbę do niej odwrotną. Odpowiedź 3. Każdej liczbie przyporządkowujemy jej resztę z dzielenia przez 3. Odpowiedź 4. Każdej osobie w klasie przyporządkowujemy tytuł filmu, który obejrzał w tym tygodniu. Odpowiedź

1. To przyporządkowanie jest funkcją. Dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich trójkątów, a zbiorem wartości jest liczba 180°. 180° X Y Każdemu elementowi ze zbioru X jest przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru Y.

Odpowiedź 2. To przyporządkowanie nie jest funkcją. X Y Nie każdemu elementowi ze zbioru X jest przyporządkowany element ze zbioru Y. Nie istnieje liczba będąca odwrotnością liczby

Odpowiedź 3. To przyporządkowanie jest funkcją. Dziedziną funkcji jest zbiór liczb naturalnych, a zbiorem wartości jest zbiór Y={0,1,2}. X Y Każdemu elementowi ze zbioru X jest przyporządkowany dokładnie jeden element ze zbioru Y

Odpowiedź 4. To przyporządkowanie nie jest funkcją. Niech zbiór X jest zbiorem uczniów, a Y={a,b,c} zbiorem, przykładowo, trzech filmów. X Y Nie każdemu elementowi ze zbioru X jest przyporządkowany element ze zbioru Y (osoby 2 oraz 3 nie widziały żadnego filmu), ponadto elementowi 4 ze zbioru X zostały przyporządkowane trzy elementy ze zbioru Y (osoba 4 widziała wszystkie trzy filmy) a b c

Wykres funkcji Wykresem funkcji nazywamy zbiór wszystkich punktów o współrzędnych (x, f(x) ) przedstawiony na płaszczyźnie z układem współrzędnych. Przykład Dana jest funkcja określona na zbiorze liczb naturalnych. Każdej liczbie z dziedziny przyporządkowujemy resztę z dzielenia jej przez 3. X y=f(x) Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór Y={0,1,2}

X Y f(0)=0 f(1)=1 f(2)=2 f(3)=0 f(4)=1 f(5)=2 f(6)=0 f(7)=1 f(8)=2

Funkcja liniowa Funkcję postaci gdzie określoną w zbiorze liczb rzeczywistych, tzn. dla nazywamy funkcją liniową. Liczbę a nazywamy współczynnikiem kierunkowym, liczbę b – wyrazem wolnym.

WAŻNE! Punkt A(x,y) należy do wykresu funkcji, jeśli jego współrzędne spełniają równanie tej funkcji (czyli punkt A jest punktem z tabelki funkcyjnej). Wykres funkcji liniowej Wykresem funkcji liniowejjest linia prosta przecinająca oś rzędnych OY w punkcie o współrzędnych (0,b). Kąt nachylenia tej prostej do osi odciętych OX zależy od współczynnika kierunkowego a. b

Przykłady X y=f(x) Przykład 1. Sporządź wykres funkcji y=2x+3 określonej na zbiorze liczb rzeczywistych. Sporządzamy tabelkę, w której dla wybranych (gdyż x należy do zbioru liczb rzeczywistych) argumentów x określimy wartość tej funkcji: Wykresem funkcji jest prosta, gdyż dla każdego istnieje wartość funkcji.

Przykład 2. X 01 y=f(x) -4-7 Sporządź wykres funkcji y= - 3x -4 określonej na zbiorze liczb rzeczywistych. Zwróć uwagę, że dla jednoznacznego wyznaczenia prostej, wystarczy znaleźć współrzędne tylko dwóch punktów należących do wykresu tej funkcji. Zatem tabelkę funkcyjną można ograniczyć do obliczenia wartości dla dwóch tylko dowolnych argumentów:

Monotoniczność funkcji Funkcję określoną w danej dziedzinie nazywamy funkcją rosnącą, jeśli wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości tej funkcji: x 1 x 2 y2y1y2y1 Zatem funkcja jest rosnąca jeśli dla każdego x 1 < x 2, zachodzi y 1 < y 2 Oczywiście x 1, x 2 muszą należeć do dziedziny funkcji.

Funkcję określoną w danej dziedzinie nazywamy funkcją malejącą, jeśli wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości tej funkcji: x1x1 x 2 y1y2y1y2 Zatem funkcja jest malejąca jeśli dla każdego x 1 y 2 Oczywiście x 1, x 2 muszą należeć do dziedziny funkcji.

Funkcję określoną w danej dziedzinie nazywamy funkcją stałą, jeśli dla każdego argumentu wartość funkcji jest taka sama. Zatem funkcja jest stała jeśli dla każdego x 1, x 2, zachodzi f(x 1 )=f(x 2 ) Oczywiście x 1, x 2 muszą należeć do dziedziny funkcji. x 1 x 2 y Funkcje, które są rosnące, malejące lub stałe nazywamy funkcjami monotonicznymi.* *Poza omówionymi funkcjami rosnącymi, malejącymi i stałymi wyróżniamy jeszcze funkcje niemalejące oraz nierosnące. O nich również mówimy, że są monotoniczne.

Monotoniczność funkcji liniowej Funkcja liniowa y=ax+b jest: rosnąca, jeśli współczynnik a>0, malejąca, jeśli współczynnik a<0, stała, jeśli współczynnik a=0.

Przykład Oblicz miejsce zerowe funkcji liniowej y = 4x+6 określonej na zbiorze liczb rzeczywistych. Rozwiązanie: Obliczamy, dla jakiego x funkcja przyjmuje wartość y=0: Miejsce zerowe funkcji Miejscem zerowym funkcji nazywamy ten argument x, dla którego funkcja ta przyjmuje wartość 0. Zatem argument x jest miejscem zerowym funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy f(x)=0.

Współczynniki funkcji liniowej Wykresem funkcji liniowej y=ax+b jest linia prosta przecinająca oś rzędnych OY w punkcie o współrzędnych (0,b). Kąt nachylenia tej prostej do osi odciętych OX zależy od współczynnika kierunkowego a. y=ax+b 1 y=ax+b 2 y=ax+b 3 b1b1 b3b3 b2b2   Proste o tym samym współczynniku kierunkowym są nachylone do osi OX pod takim samym kątem.

Przykłady Przykład 1 W przykładzie tym zobaczysz wykres funkcji liniowej y=ax+b, której współczynnik b=3, natomiast współczynnik kierunkowy a możesz wybrać samodzielnie. Zwróć uwagę, że wszystkie proste przecinają oś rzędnych w punkcie o współrzędnych (0,b), czyli w tym przykładzie w punkcie (0,3). Przykład 2 W przykładzie tym współczynnik kierunkowy prostej a=3, natomiast współczynnik b możesz wybrać. Zwróć uwagę, że wszystkie otrzymane proste są do siebie równoległe, gdyż mają ten sam współczynnik a. Zmienia się natomiast miejsce przecięcia prostej z osią OY, które zależy od wyrazu wolnego b.

Przykłady Przykład 3 Sporządź samodzielnie wykresy dowolnych funkcji liniowych. Efekt i poprawność swojej pracy możesz szybko porównać z wykresem, który „wykreśli” dla Ciebie w tym przykładzie komputer.

Zadania 1.Wykres funkcji liniowej y=2x+b przechodzi przez punkt A(1,6). Oblicz wartość współczynnika b tej funkcji.RozwiązanieRozwiązanie 2.Znajdź wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty A(0,4) oraz B(2,0). RozwiązanieRozwiązanie 3.Znajdź wzór funkcji liniowej, której wykres przechodzi przez punkty A(-1,-2) oraz B(1,4). RozwiązanieRozwiązanie 4.Wykres pewnej funkcji liniowej jest równoległy do wykresu funkcji liniowej y=-4x+1. Znajdź wzór tej funkcji, wiedząc, że punkt A(-2,6) należy do jej wykresu. RozwiązanieRozwiązanie 5.Oblicz miejsce zerowe funkcji liniowej y=-3x+4. RozwiązanieRozwiązanie 6.Oblicz wartość funkcji liniowej y=5x-2 dla argumentu -3. RozwiązanieRozwiązanie 7.Oblicz, dla jakiego argumentu funkcja liniowa y=8x-1 przyjmuje wartość -2. Rozwiązanie

Zadania 8.Odczytaj z wykresu, dla jakich argumentów x funkcja przyjmuje wartości dodatnie, a dla jakich ujemne. a) b) Rozwiązanie

Zadania 9.Oblicz, dla jakich argumentów funkcja y= 2x-6 przyjmuje wartości dodatnie. RozwiązanieRozwiązanie 10. Oblicz, dla jakich argumentów funkcja y= 7x+2 przyjmuje wartości ujemne. RozwiązanieRozwiązanie 11. Oblicz, dla jakich argumentów funkcja y= -x+3 przyjmuje wartości większe od 5.RozwiązanieRozwiązanie 12. Oblicz współrzędne punktu przecięcia się prostych będących wykresami funkcji liniowych y= 2x +1 oraz y= -x -5. RozwiązanieRozwiązanie 13. Pewna świeca o wysokości 20 cm spala się z prędkością 1,5 cm na godzinę. Zapisz wzór i narysuj wykres funkcji opisującej zależność wysokości świecy od czasu jej spalania. a)Jaką wysokość będzie miała świeca po upływie 3 godzin? b)Po jakim czasie świeca wypali się całkowicie? RozwiązanieRozwiązanie

Rozwiązania zadań 1.Punkt A(1,6) należy do wykresu funkcji liniowej y=2x+b, a zatem jego współrzędne spełniają równanie funkcji: Szukany wzór funkcji to y=2x+4.

Rozwiązania zadań 2. Szukana funkcja ma wzór postaci y=ax+b. Punkty A(0,4) i B(2,0) należą do wykresu, a zatem ich współrzędne spełniają wzór tej funkcji. Warto zauważyć, że punkt A(0,4) jest punktem przecięcia wykresu z osią OY, zatem współczynnik b=4. Wzór szukanej funkcji to y= - 2x+4.

Rozwiązania zadań 3.Szukana funkcja ma wzór postaci y=ax+b. Punkty A(-1, -2) i B(1,4) należą do wykresu, a zatem współrzędne obu punktów spełniają wzór tej funkcji. Układamy i rozwiązujemy układ równań: Wzór szukanej funkcji to y=3x+1.

Rozwiązania zadań 4.Szukana funkcja ma wzór postaci y=ax+b. Ponieważ wykres szukanej funkcji jest równoległy do wykresu funkcji y= - 4x+1, to współczynniki kierunkowe obu funkcji są równe. Tak więc współczynnik kierunkowy a= -4. y= - 4x+b Ponadto wiemy, że punkt A(-2,6) należy do wykresu szukanej funkcji, zatem jego współrzędne spełniają jej wzór: Szukana funkcja ma wzór y= - 4x -2.

Rozwiązania zadań 5.Miejsce zerowe funkcji jest to argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość zero. Obliczamy zatem, dla jakiego argumentu funkcja y= -3x+4 przyjmuje wartość zero: Miejscem zerowym funkcji y= -3x+4 jest

Rozwiązania zadań 6.Obliczamy wartość funkcji y=5x -2 dla x= -3: Wartość funkcji dla argumentu -3 wynosi -17.

Rozwiązania zadań 7.Obliczamy, dla jakiego argumentu x funkcja y=8x -1 przyjmuje wartość y= -2 Funkcja ta przyjmuje wartość – 2 dla argumentu

Rozwiązania zadań a)b) + _ + _ Funkcja przyjmuje wartości y dodatnie dla x 2. Funkcja przyjmuje wartości y ujemne dla x 2. x x x x 8.

Rozwiązania zadań 9.Obliczamy dla jakich argumentów x wartości funkcji y=2x-6 są dodatnie (czyli większe od zera): Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla x>3.

Rozwiązania zadań 10. Obliczamy dla jakich argumentów x wartości funkcji y=7x+2 są ujemne (czyli mniejsze od zera): Funkcja przyjmuje wartości ujemne dla

Rozwiązania zadań 11.Obliczamy, dla jakich argumentów x funkcja y= -x+3 przyjmuje wartości większe od 5: y 5 Funkcja przyjmuje wartości większe od 5 dla argumentów mniejszych od -2.

Rozwiązania zadań 12. Punkt przecięcia się dwóch prostych to punkt, który należy do obu prostych jednocześnie. Zatem jest to punkt (x,y), którego współrzędne spełniają jednocześnie równanie jednej oraz drugiej prostej. Współrzędne te obliczymy rozwiązując układ równań: (-2, -3) Proste y=2x+1 oraz y=-x-5 przecinają się w punkcie o współrzędnych (-2, -3).

Rozwiązania zadań 13. Wysokość świecy jest zmienną zależną od upływu czasu. Oznaczmy zatem przez y wysokość świecy, a przez x czas jej spalania. Wysokość świecy wyraża się zatem wzorem: y = 20 – 1,5x a) Obliczamy jaką wysokość będzie miała świeca po 3 godzinach palenia się. W tym celu obliczamy wartość funkcji dla x=3: czas [h] wysokość świecy [cm] Po 3 godzinach świeca będzie miała wysokość 15,5 cm. b) Gdy świeca wypali się całkowicie, jej wysokość będzie wynosiła 0 cm. Aby obliczyć po jakim czasie to nastąpi wystarczy obliczyć miejsce zerowe funkcji: Świeca wypali się po upływie 13 godz. 20 min.

DZIĘKUJĘ