WYKŁAD Teoria błędów Katedra Geodezji im. K. Weigla ul. Poznańska 2 GEODEZJA WYKŁAD Teoria błędów Katedra Geodezji im. K. Weigla ul. Poznańska 2

TEORIA BŁĘDÓW Twórca teorii błędów CARL FRIEDRICH GAUSS niemiecki matematyk i astronom, w 1799 doktor matematyki Uniwersytetu Helmstedt.  Wydał dwutomowe dzieło (1844 i 1847) z dziedziny geodezji.  Pierwsze prace z zakresu teorii błędów w geodezji: - postulat Legendre’a – met. najmn. kwadratów - hipotezy Hagena o rozkładzie błędów

Błędy pomiarów i ich charakterystyka Błąd prawdziwy obserwacji  - różnica między nieznanym wymiarem X (prawdziwą wartością) mierzonej wielkości i wynikiem pomiaru L  i = X - L Źródła błędów: - niedoskonałość zmysłów obserwatora, - narzędzia pomiarowe (dalmierz, teodolit, niwelator) - warunki pracy, czyli środowisko (temperatura, ciśnienie, wilgotność, wiatr, opady, promieniowanie słoneczne). Ogólna klasyfikacja błędów obserwacji: - błędy grube (omyłki), - systematyczne, - przypadkowe (losowe).

Rozkład błędów przypadkowych Błędy przypadkowe są zmiennymi losowymi. Charakteryzuje je rozkład normalny zwany rozkładem Gaussa-Laplace'a N(μ,σ). Jest to najczęściej spotykany w naturze rozkład zmiennej losowej ciągłej. Rozkład normalny ma dwa parametry: -  μ – wartość oczekiwana, -  σ – odchylenie standardowe.

Funkcja gęstości rozkładu normalnego

Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego dla parametrów μ,σ.

DYSTRYBUANTA ROZKŁADU

Własności rozkładu normalnego

Empiryczne wartości parametrów rozkładu normalnego Obliczone empiryczne wartości parametrów μ,σ z próby losowej :   - wartość średnia - xs - błąd średni – m. Błąd średni to empiryczna ocena parametru σ, Definicja: P(|| < m) = 0.68 Różne charakterystyki do oceny błędów: błąd średni, błąd przeciętny, błąd prawdopodobny, błąd graniczny oraz błąd względny. Różnica między wartością średnią z próby losowej xs i obserwacją li nazywa się błędem pozornym vi vi = xs - li

Obliczenie błędu średniego z próby losowej Wielokrotny pomiar tej samej wielkości daje nadliczbowe elementy i pozwala obliczyć błędy pozorne v oraz błąd średni m. Dotyczy to zarówno pomiarów bezpośrednich jak też pośrednich.

wystąpienia błędów || większych od granicznego) Błąd graniczny Małe prawdopodobieństwo zdarzenia: P(||<m)=0.68 nakazuje szukać korzystniejszego parametru do oceny błędów: P(|| < mgr) = 0.997, mgr = 3 m. (0.3% ryzyka wystąpienia błędów || większych od granicznego) Błąd graniczny jest przyjmowany do określenia największej wartości błędu dopuszczalnej dla obserwacji. W metrologii w budownictwie, do określania odchyłki dopuszczalnej często przyjmuje się 5% poziom istotności, stąd P(|| < 2 m) = 0.95 Błąd przeciętny t jest średnią arytmetyczną bezwzględnych wartości błędów danego szeregu jednakowo dokładnych obserwacji:  

Błąd względny Błąd względny to stosunek bezwzględnej wartości błędu do całej mierzonej wielkości. W pewnych zadaniach przy ocenie dokładności korzystniej jest użyć miary względnej. Na przykład porównanie błędów długości odcinków, pola figur, objętości obiektów lub ich masy. Odcinka krótkiego i bardzo długiego ewentualnie pomiar objętości obiektów lub ich masy. Takie porównania wymagają względnej miary dokładności:

Prawo Gaussa przenoszenia się błędów średnich. Błędy obserwacji powodują, że również wszelkie funkcje tych obserwacji są obarczone błędami. W przypadku funkcji liniowych ocena błędu funkcji obserwacji jest nieskomplikowana. Dla funkcji nieliniowej F = f(x, y, z, ...), błąd średni może być obliczony dla przybliżonej postaci tej funkcji, przy założeniu, że daje się ona rozwinąć w szereg Taylora. Funkcja F (x, y, z) w postaci szeregu Taylora w otoczeniu punktu P (x0, y0, z0): F (x,y,z) = F (x0 + dx ,y0 + dy, z0 + dz) = F (x0,y0,z0) +

Utożsamiając zmiany dx, dy, dz z błędami: x, y, z wzór na średni błąd dowolnej funkcji:  

Przykład: Pole prostokątnej działki o bokach a,b.   b a     Z pomiaru długości boków figury: a =300m, ma=0,10 m, b = 20m mb= 0,01m Obliczyć pole figury, błąd średni oraz względny pola. Pole P = F(a,b) = a * b = 6000 m2= 60 a. Średni błąd tej funkcji:  

Pochodne cząstkowe:   P = 6000 m2 ± 4 m2 Błąd względny pola figury:

Wyrównanie obserwacji i ocena dokładności Obserwacje bezpośrednie: - jednakowo dokładne. - niejednakowo dokładne (o różnej dokładności). Wzajemny stosunek dokładności wyraża się przez nadanie wag pi dla każdej obserwacji, Wagi pi =1 dla każdej obserwacji jednakowo dokładnej. Wagi to liczby niemianowane, które określają dokładność względną poszczególnych obserwacji.

Wyrównanie i ocena dokładności obserwacji bezpośrednich jednakowo dokładnych Teoria błędów posługuje się błędami pozornymi przy obliczaniu wartości najbardziej prawdopodobnej. W statystyce wyrównanie wyników pomiaru nosi nazwę estymacji parametrów rozkładu.   Wyrównanie obserwacji metodą najmniejszych kwadratów jest wykonywane przy założeniu v2 = minimum dla obserwacji jednakowo-dokładnych. Dla obserwacji niejednakowo-dokładnych warunek ten ma postać: pv2 = minimum. Wyrównanie takie nazywane jest wyrównaniem ścisłym.

Próba złożona z n obserwacji: l1, l2,. , ln wykonanych z tą samą Próba złożona z n obserwacji: l1, l2, ..., ln wykonanych z tą samą dokładnością. Jeżeli wartość prawdziwa poszukiwanej wielkości wynosi X, to zgodnie z podaną wcześniej definicją błędu prawdziwego można zapisać: 1= X—l1 2= X—l2 ... n= X—ln Sumując równania, otrzymuje się , stąd X = /n dąży do zera, dąży do wartości prawdziwej X Wartość średnia:  

= ±5 mm Błąd średni średniej arytmetycznej M: Średnia arytmetyczna:

Średni błąd pojedynczej obserwacji z próby (m): Błąd średni średniej arytmetycznej (M): (po wyrównaniu obserwacji)

Ocena dokładności pomiarów Błąd średniej arytmetycznej M można wyznaczyć jako błąd funkcji: = F(l):   Przyjmując, że suma obserwacji ma odchyleni standardowe σx, otrzymuje się wzór na tzw. średni błąd średniej arytmetycznej:

Próba losowa n obserwacji niejednakowo dokładnych: l1, l2, ..., ln Wyrównanie i ocena dokładności obserwacji bezpośrednich niejednakowo dokładnych Próba losowa n obserwacji niejednakowo dokładnych: l1, l2, ..., ln średnie błędy m1, m2, ..., rnn lub wagi p1, p2, ..., pn , lub

Błąd średni typowej obserwacji o wadze p0=1. Ogólna średnia arytmetyczna (ważona): Błąd średni typowej obserwacji o wadze p0=1. Błąd średni ogólnej średniej arytmetycznej:

= 3.3 mm = 1.2 mm Średni błąd wartości oczekiwanej: = 1.4141.2 mm Średni błąd obserwacji typowej: = 3.3 mm Średni błąd wartości oczekiwanej: = 1.2 mm = 1.4141.2 mm