Prezentacja projektu „Spodnie Talesa” zrealizowanego w ramach programu Edukacja z Internetem TP  Uczestnicy: 16 uczniów klasy II a z Zespołu Szkół i Placówek Oświatowych BSTO im. Zbigniewa Herberta w Bełchatowie  Opiekun: mgr Magdalena Kapsa-Olejnik

Spodnie Talesa „Długości odcinka, wysokości i odległości – koncepcja spodni Talesa, która w życiu naszym gości.”

Grupa I Sylwetka Talesa

Wywiad z Talesem Zobacz film, kliknij na poniższy zrzut ekranowy:

Grupa II Twierdzenie Talesa oraz Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa.

Twierdzenie Talesa Jeżeli dwie proste równoległe przecinają oba ramiona pewnego kąta, to odcinki wyznaczone przez te proste na jednym ramieniu kąta są proporcjonalne do odpowiednich odcinków na drugim ramieniu kąta.

1 krok Rysujemy kąt oraz dwie proste równoległe przecinające oba ramiona tego kąta.

2 krok Z wierzchołka kąta prowadzimy odcinek równoległy do prostych przecinających ramiona kąta.

3 krok Z końców odcinka rysujemy dwie półproste, które są równoległe wzajemnie do siebie. Narysowane półproste tworzą cztery równoległoboki, w któych:

Z równości pól wynika, że:

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa Jeśli na jednym ramieniu kąta o wierzchołku O wybierzemy punkty A i B, a na drugim ramieniu punkty C i D w taki sposób, że zachodzi proporcja to proste AC i BD są równoległe.

Dowód Załóżmy, że punkty A i B leżą na jednym ramieniu kąta o wierzchołku O, a punkty C i D leżą na drugim ramieniu tego kąta oraz zachodzi równość Jeśli przez punkt B poprowadzimy prostą równoległą do prostej AC i przetnie ona ramię kąta w punkcie B’, to z twierdzenia Talesa wynika, że

Z równości wynika, że |OB’| = |OD|, zatem B’ = D, czyli prosta BD jest równoległa do prostej AC.

Prawdopodobnie Tales nie nosił spodni, tylko chiton coś w rodzaju koszuli bez rękawów, czy wobec tego ubranie Talesa w spodnie ma szanse powodzenia?

Grupa III Różne sposoby mierzenia wysokości drzewa wg mistrza z Miletu.

Różne sposoby wyznaczania wysokości drzewa… SPOSÓB I Pewnego słonecznego dnia wraz ze wszystkimi członkami naszej grupy wybrałyśmy się na interesującą wycieczkę...

…to właśnie wtedy sfotografowałyśmy drzewo oraz jego cień... x- wysokość drzewa a- długość cienia drzewa w- wzrost Patrycji b- długość cienia Patrycji

Następnie zmierzyłyśmy długość cienia drzewa, wysokość Patrycji oraz długość jej cienia. Te dane pozwoliły nam na obliczenie wysokości drzewa. Skorzystałyśmy z twierdzenia Talesa. x- wysokość drzewa a- długość cienia drzewa w- wzrost Patrycji b- długość cienia Patrycji a= 3,89 m w= 1,72 m b= 2,4 m Za pomocą tych danych i twierdzenia Talesa obliczyłyśmy, że wysokość drzewa wynosi 2,8 m.

Sposób II Tym razem postanowiłyśmy spróbować czegoś bardziej odważnego, jedna z nas położyła się w pewnej odległości od drzewa...

...ta druga naprowadzana przez osobę leżącą ustawiła się tak, aby z punktu widzenia leżącej, czubek głowy i czubek drzewa pokryły się ze sobą. Zmierzyłyśmy odległości od drzewa do osoby stojącej, następnie od osoby stojącej do stóp osoby leżącej. Były nam również potrzebne wzrosty uczestników. x- wysokość drzewa a- odległość od drzewa do stóp osoby stojącej b- odległość od stóp osoby stojącej do stóp osoby leżącej w1- wzrost osoby leżącej w2- wzrost osoby stojącej a=14,28 m b= 2,9 m w1= 1,60 m w2= 1,72 m Za pomocą tych danych i twierdzenia Talesa obliczyłyśmy, że wysokość drzewa wynosi 5,5 m

Sposób III Pomiar drzewa można przeprowadzić bez konieczności czołgania się po trawie. Jedna z osób staje na stołku, druga zaś staje w takiej odległości, aby z jej punktu widzenia głowa osoby stojącej na stołku pokrywała się z końcem drzewa. Mierzymy wtedy wysokość osoby wraz z wysokością stołka i odległości od drzewa do stołka i od stołka do osoby obserwującej.

Za pomocą odpowiednich wielkości i twierdzenia Talesa możemy wyznaczyć wysokości drzewa. x - wysokość drzewa y+g - odległość osoby stojącej na podłożu z - wysokość osoby stojącej na stołku g - odległość osoby stojącej na stołku do osoby stojącej na podłożu z = 2,10 m y = 1,63 m g = 1,48 m Wysokość naszego drzewa wynosi 4,41 metra.

Sposób IV Jak wyznaczyć odległość drzewa, które znajduje się na przeciwległym brzegu rzeki ?

Po drugiej stronie rzeki… Zobacz film, kliknij na poniższy zrzut ekranowy:

y - szukana odległość a - odległość drugiej osoby od startu pierwszej osoby b - odległość przebyta prostopadle do brzegu rzeki c - odległość przebyta równolegle do brzegu rzeki a= 6,50 m b= 6,50 m c= 13 m Odległość drzewa, które znajdowało się na przeciwległym brzegu drogi wynosi 6,5 metra.

GRUPA IV Jak podzielić odcinek w stosunku 1:√2 ?

Podział odcinka na równe części Konstrukcja krok po kroku: 1. Rysujemy dowolną półprostą o początku w punkcie A, nachyloną do odcinka AB pod kątem różnym od 180 °.

2. Na półprostej p, z punktu A, odkładamy odcinek o dowolnej długości. 3.Na półprostej p odkładamy kolejne odcinki o tej samej długości. Powtarzamy to tyle razy na ile dzielimy odcinek(w tym wypadku 5).

4. Teraz kreślimy prostą przechodzącą przez punkt B i punkt, który narysowaliśmy jako ostatni na półprostej p. 5. Kreślimy proste równoległe do narysowanej prostej, przechodzące przez punkty znajdujące się na półprostej p. Dzielą one odcinek AB na pięć równych części.

Oto animacja:

Podział odcinka w stosunku 1:√2. Konstrukcja krok po kroku: 1. Rysujemy dowolną półprostą o początku w punkcie A, nachyloną do odcinka AB pod kątem różnym od 180 °. 2.Następnie konstruujemy kwadrat o boku mającym długość 1, wówczas jego przekątna będzie wynosiła √2.

3.Na półprostej p, z punktu A, odkładamy odcinek mający długość Na półprostej p odkładamy kolejny odcinek o długości √2.

5. Teraz kreślimy prostą przechodzącą przez punkt B i punkt, który narysowaliśmy jako ostatni na półprostej p. 6. Kreślimy prostą równoległą do narysowanej prostej, która przechodzi przez punkt znajdujący się na półprostej p. Proste te dzielą odcinek w stosunku 1:√2. a:b = 1:√2

Oto animacja:

GRUPA V Jak geodeta oraz fotograf wykorzystują Twierdzenie Talesa?

Dom o szerokości 15 m sfotografowano aparatem, którego odległość soczewki od błony fotograficznej jest równa 8 cm. Oblicz odległość aparatu od domu, jeżeli szerokość domu na zdjęciu jest równa 10 cm. Odległość aparatu od domu wynosi 12 metrów. Obraz i fotografia

Jakiej wielkości jest obraz na ekranie? b-odległość aparatu projekcyjnego od ekranu c-wielkość obrazu w aparacie projekcyjnym a-odległość obrazu na slajdzie od środka soczewki x-szukana wielkość obrazu na ekranie

Stacja Napędowa Przenośnik taśmowy – urządzenie transportowe, które służy do transportu materiałów sypkich. Stacja napędowa napędza przenośnik służący do transportu węgla i w tym celu trzeba ją ustawić w odpowiedniej pozycji. To potężne urządzenie jest przesuwane za pomocą pojazdu gąsienicowego TUR.

Schemat ilustrujący wykorzystanie twierdzenia Talesa podczas ustawiania stacji napędowej

Dalmierz Dalmierz – przyrząd służący do obliczania odległości bez konieczności jej przebywania. Łata niwelacyjna (geodezyjna) – przyrząd geodezyjny stosowany w niwelacji. Na przedniej stronie łaty umieszczony jest opis - grafika ułatwiająca odczyt. Jest ona wykonana w kontrastowych kolorach (białe tło i czerwone / czarne - kolejne metry). Krzyż kresek – dwie proste prostopadłe do siebie, gdzie na prostej pionowej znajdują się dwie krótkie kreski. Patrząc przez lunetę widzimy krzyż kresek. Krzyż ten wyznacza nam na łacie niwelacyjnej pewne wartości.

Wykorzystanie twierdzenia Talesa podczas pomiaru dalmierzem

Wizyta w biurze geodety Ania z łatą niwelacyjną Ewa sprawdza działanie niwelatora

Prezentacja została wykonana przez uczniów klasy II a z Zespołu Szkół i Placówek Oświatowych BSTO im. Zbigniewa Herberta w Bełchatowie 2009