© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej MATEMATYCZNE MODELOWANIE PROCESÓW BIOTECHNOLOGICZNYCH Temat – 5 Modelowanie różniczkowe

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 2 Uwagi wstępne O modelowaniu różniczkowym mówimy wtedy gdy główne równania modelu są równaniami różniczkowymi. W zależności od typu równań różniczkowych mamy: Modelowanie różniczkowe zwyczajne gdy główna niewiadoma jest funkcją jednej zmiennej a zasadnicze równanie modelu jest równaniem zwyczajnym. Modelowanie różniczkowe cząstkowe gdy główna niewiadoma jest funkcją wielu zmiennych a równanie jest równaniem cząstkowym.

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 3 Równania różniczkowe zwyczajne Ogólną postać zwyczajnego równania różniczkowego można przedstawić w postaci: - niewiadoma funkcja zmiennej rzeczywistej x - pochodna rzędu „n” funkcji f(x) Rząd najwyższej pochodnej występującej w równaniu nazywamy rzędem równania.

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 4 Równania różniczkowe zwyczajne Konkretne przykłady zwyczajnych równań różniczkowych:

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 5 Klasyfikacja równań różniczkowych zwyczajnych W zależności od rodzaju funkcji F wiążącej funkcję, jej pochodne i parametry równania różniczkowe dzielimy na liniowe i nieliniowe. W równaniach liniowych funkcja F ma charakter liniowy. Równanie liniowe można przedstawić w postaci: - współczynniki równania liniowego. Jeżeli funkcje te są stałymi liczbami, wtedy równanie określamy jako równanie liniowe ze stałymi współczynnikami.

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 6 Klasyfikacja równań różniczkowych zwyczajnych - funkcja określająca tzw. jednorodność równania. - oznacza że liniowe równanie różniczkowe jest jednorodne. W przeciwnym przypadku równanie jest niejednorodne. Równanie, w którym arbitralnie przyjmujemy że Φ=0 nazywamy równaniem jednorodnym stowarzyszonym. Równania, których nie można przedstawić w powyższej liniowej postaci nazywamy równaniami nieliniowymi.

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 7 Rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych Niewiadomą w równaniu różniczkowym zwyczajnym jest funkcja jednej zmiennej. Rozwiązanie równania polega na znalezieniu tej niewiadomej funkcji. W przeciwieństwie jednak do równań algebraicznych gdzie rozwiązaniami są konkretne liczby, rozwiązaniem danego równania różniczkowego nie jest jedna funkcja, ale pewna klasa (zbiór) funkcji. Mówimy, że na ogół rozwiązanie równania różniczkowego nie jest jednoznaczne.

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 8 Rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych O tym która z funkcji należących do tej klasy odpowiada fizycznie modelowanej zależności decydują tzw. warunki dodatkowe, różnie nazywane w zależności od ich charakteru. W fizyce i inżynierii najczęściej wyróżniamy tzw. warunki początkowe i brzegowe. Całą klasę funkcji spełniających dane równanie różniczkowe nazywamy całką lub rozwiązaniem ogólnym. W zapisie rozwiązania ogólnego mamy na ogół pewną liczbę stałych, których wartość dobiera się na podstawie warunków dodatkowych. Konkretną funkcję spełniającą zarówno główne równanie różniczkowe jak i warunki dodatkowe nazywamy całką szczególną lub rozwiązaniem szczególnym. Zadaniem modelowania różniczkowego jest właśnie znalezienie takiej funkcji.

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 9 Rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych Równanie różniczkowe np.: Rozwiązanie ogólne Warunki dodatkowe Rozwiązanie szczególne +

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 10 Rodzaje warunków dodatkowych Liczba niezbędnych warunków dodatkowych jest na ogół równa rzędowi równania różniczkowego. Warunki dodatkowe mają na ogół charakter równań algebraicznych wiążących wartość funkcji i jej pochodnych w pewnych wybranych punktach zmiennej x. W modelach fizycznych i inżynieryjnych zmienna ta odpowiada na ogół czasowi lub odległości. W sytuacji gdy x jest czasem, wybrany punkt najczęściej jest momentem początkowym procesu. W takim przypadku warunek dodatkowy nazywamy warunkiem początkowym. W sytuacji gdy zmienna x jest zmienną przestrzenną, oznacza ona zazwyczaj miejsce w aparacie. Skrajne wartości tej zmiennej oznaczają wtedy fizycznie brzegi aparatu. W takim przypadku warunki dodatkowe nazywamy warunkami brzegowymi.

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 11 Rodzaje warunków dodatkowych W przypadku równań II rzędu najczęściej występujących w modelowaniu mamy na 2 warunki dodatkowe. W zależności od rodzaju tych warunków wyróżniamy: 1. Zagadnienie początkowe (zagadnienie Cauchy’ego) 2. Zagadnienie brzegowe (zagadnienie Sturma - Liouville’a)

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 12 Rozwiązywanie równań różniczkowych Rozwiązywanie równań różniczkowych to osobna bardzo obszerna dziedzina matematyki. Ogólnie metody rozwiązywania równań różniczkowych możemy podzielić na: - metody analityczne, w których otrzymujemy rozwiązanie w postaci konkretnego dokładnego wzoru, - metody aproksymacyjne (przybliżone), w których otrzymane rozwiązanie ma postać wzoru przybliżonego, - metody numeryczne, w których rozwiązanie otrzymujemy w postaci tablicy wartości funkcji w szeregu punktach zmiennej x.

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 13 Rozwiązywanie równań różniczkowych Przed rozpoczęciem poszukiwania odpowiedniej metody należy stwierdzić czy dane równanie posiada w ogóle jakieś rozwiązanie, istnieją bowiem równania różniczkowe nie posiadające rozwiązań. Zagadnienie istnienia rozwiązań jest zagadnieniem czysto matematycznym i w praktyce inżynier rzadko się nim zajmuje zakładając na ogół rozwiązalność danego równania. Jednak w przypadkach gdy równanie jest nietypowe należy również zająć się tym problemem.

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 14 Równania różniczkowe I rzędu Równania I rzędu tzn. takie w których występuje pochodna I rzędu występują bardzo często w różnego rodzaju zagadnieniach modelowania. Przykładowo prawie cała kinetyka chemiczna jest oparta na równaniach I rzędu. Niektóre postacie równań I rzędu nadają się do rozwiązań analitycznych. Przypomnę teraz Państwu często stosowane metody analityczne rozwiązywania równań I rzędu. Ogólna postać równania I rzędu jest następująca: Dosyć często równanie powyższe można przekształcić do postaci: Postać powyższa jest bardzo użyteczna w różnego rodzaju metodach numerycznych np. w metodzie Eulera czy Runge – Kutty.

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 15 Analityczne metody rozwiązywania równań różniczkowych I rzędu Jeżeli funkcja φ(y,x) w powyższej postaci da się zapisać za pomocą iloczynu lub ilorazu dwu funkcji osobno zmiennej y i osobno zmiennej x wtedy mamy do czynienia z równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych: Zapisując pochodną w postaci różniczkowej otrzymujemy postać nadającą się do bezpośredniego całkowania: gdzie funkcje G(y) i F(x) są to funkcje pierwotne funkcji g(y) i f(x).

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 16 Analityczne metody rozwiązywania równań różniczkowych I rzędu cd. Druga ważna grupa równań I rzędu, które można rozwiązać analitycznie to równania liniowe. Dowolne równanie liniowe I rzędu można zawsze zapisać w postaci: Jeżeli funkcja Φ(x)=0 to mamy równanie jednorodne, w którym można rozdzielić zmienne:

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 17 Analityczne metody rozwiązywania równań różniczkowych I rzędu cd. Z kolei równanie niejednorodne możemy rozwiązać tzw. metodą uzmienniania stałej korzystając z otrzymanego powyżej rozwiązania równania jednorodnego, zakładając że stała K w tym rozwiązaniu jest funkcją zmiennej x:

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 18 Analityczne metody rozwiązywania równań różniczkowych I rzędu cd. Podstawiając otrzymaną postać pochodnej do równania niejednorodnego otrzymujemy:

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 19 Analityczne metody rozwiązywania równań różniczkowych I rzędu cd. Podstawiając wyrażenie określające funkcję K(x) do postulowanej na początku postaci rozwiązania otrzymujemy całkę ogólną naszego równania: gdzie:

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 20 Analityczne metody rozwiązywania równań różniczkowych I rzędu cd. Jako przykład rozważmy równanie: Podstawiając do wzoru otrzymujemy: Widać, że jest to równie liniowe niejednorone w którym: W celu zastosowania otrzymanego wcześniej wzoru, wykonujemy przekształcenia:

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 21 Analityczne metody rozwiązywania równań różniczkowych I rzędu cd. Otrzymana postać rozwiązania zawiera stałą C, którą można wyznaczyć za pomocą warunku dodatkowego np. y(1)=0. Podstawiając ten warunek do postaci otrzymanej funkcji otrzymujemy konkretne rozwiązanie:

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 22 Liniowe równania różniczkowe dowolnego rzędu Znaczna część modelowania inżynieryjnego opiera się na równaniach transportu pędu, ciepła i masy, które są równaniami II rzędu. Na ogół są to też równania liniowe. Umiejętność zatem rozwiązywania liniowych równań różniczkowych jest bardzo ważna. Przypomnę teraz Państwu najważniejsze elementy teorii liniowych zwyczajnych równań różniczkowych. Przypomnijmy ogólną postać liniowego równania stopnia n: Współczynniki równania Funkcja określająca niejednorodność równania Dla równania jednorodnego

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 23 Zasadnicze twierdzenie dotyczące liniowych równań zwyczajnych Ogólna postać niejednorodnego liniowego równania różniczkowego n – tego rzędu. Równanie jednorodne stowarzyszone (1) (2) W celu rozwiązania równania (1) należy najpierw znaleźć n liniowo niezależnych rozwiązań (całek) równania jednorodnego (2). Rozwiązania te nie muszą spełniać żadnych warunków dodatkowych. Niechaj będą to funkcje: - niezależne liniowo całki szczególne równania(2)

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 24 Zasadnicze twierdzenie dotyczące liniowych równań zwyczajnych Ogólna postać niejednorodnego liniowego równania różniczkowego n – tego rzędu. Równanie jednorodne stowarzyszone (1) (2) W drugim kroku należy znaleźć jedno rozwiązanie szczególne równania (1). Niech będzie to funkcja: - całka szczególna równania (1) Mając do dyspozycji układ liniowo niezależnych całek równania (2) i jedną całkę szczególną równania (1) można skonstruować całkę ogólną równania (1) za pomocą zasadniczego twierdzenia teorii równań liniowych:

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 25 Zasadnicze twierdzenie dotyczące liniowych równań zwyczajnych Całka ogólna równania (1) ma postać sumy kombinacji liniowej rozwiązań liniowo niezależnych y i (x) oraz rozwiązania szczególnego y s (x). Współczynniki kombinacji liniowej są stałymi całkowania a ich wartość dobiera się w ten sposób aby wszystkie warunki dodatkowe zostały spełnione.

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 26 Rozwiązywanie równań o stałych współczynnikach W przypadku, gdy współczynniki równania są stałymi liczbami tzn. dla równań o stałych współczynnikach istnieje analityczna metoda znajdowania układu niezależnych rozwiązań równania (2). Załóżmy, że równanie (2) ma postać: W celu rozwiązania tworzymy tzw. równanie charakterystyczne, które jest algebraicznym równaniem liniowym stopnia n ze względu na niewiadomą (rzeczywistą lub zespoloną) „r”. Współczynniki w równaniu charakterystycznym mają takie same wartości jak w zasadniczym równaniu różniczkowym. - równanie charakterystyczne

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 27 Rozwiązywanie równań o stałych współczynnikach Zasadnicze twierdzenie algebry mówi, że każde równanie powyższej postaci ma n pierwiastków (niektóre z nich mogą być wielokrotne). Metodami algebry rozwiązujemy równanie charakterystyczne i znajdujemy pierwiastki: - równanie charakterystyczne - pierwiastki równania charakterystycznego Można wykazać, że w przypadku gdy wszystkie pierwiastki r są różne to określają one układ liniowo niezależnych funkcji będących rozwiązaniami równania jednorodnego (2):

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 28 Rozwiązywanie równań o stałych współczynnikach Przykład: Należy znaleźć funkcję y=f(x) spełniającą równanie różniczkowe oraz warunki dodatkowe Zgodnie z przedstawioną powyżej metodą należy najpierw rozwiązać algebraiczne równanie charakterystyczne: Pierwiastkami tego równania są liczby: Całkę ogólną naszego równania różniczkowego można przedstawić za pomocą wyrażenia:

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 29 Rozwiązywanie równań o stałych współczynnikach W celu wyznaczenia stałych całkowania A 1, A 2 i A 3 należy zróżniczkować powyższe wyrażenie i wykorzystać warunki dodatkowe: Uwzględnienie warunków dodatkowych prowadzi do układu 3 równań liniowych z trzema niewiadomymi:

© Prof. Antoni Kozioł, Wydział Chemiczny Politechniki Wrocławskiej 30 Rozwiązywanie równań o stałych współczynnikach Rozwiązanie tego układu równań prowadzi do: Nasza niewiadoma funkcja ma postać: