Analiza numeryczna i symulacja systemów Równania różniczkowe zwyczajne cz.3: Zagadnienie brzegowe (BVP) Janusz Miller

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 2 Przypomnienie z poprzedniego wykładu: Zagadnienie początkowe Metody sekwencyjne Jawne metody Rungego-Kutty

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 3 Plan wykładu Niejawne (półjawne) metody Rungego-Kutty - postać, - zalety, wady w algorytmach sekwencyjnych. Zagadnienie brzegowe - algorytmy sekwencyjne + metoda strzału, * trudne systemy dynamiczne - równania sztywne (stiff equations) - chaos deterministyczny. * zarys metod kontynuacyjnych. + metoda strzałów wielokrotnych. - algorytmy kolokacyjne + zastosowanie niejawnych metod RK + sformułowanie problemu w algorytmie kolokacyjnym. Rozwiązywanie układu równań nieliniowych a optymalizacja.

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 4 Metody Rungego-Kutty - przypomnienie Jawne metody Rungego-Kutty (explicit Runge-Kutta ERK) ss sssss bbbb aaac aac ac 121 1,      Tablica Butchera:

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 5 Metody Rungego-Kutty - przypomnienie Klasyczna metoda Rungego-Kutty (RK4) - 4 etapowa, 4. rzędu. Tablica Butchera :

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 6 Niejawne metody RK (fully implicit - FIRK)

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 7 Diagonal implicit Runge-Kutta - DIRK

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 8 Niejawne metody Rungego-Kutty (IRK)- zastosowanie Różnica formalna (w stosunku do metod jawnych): - żaden element tablicy Butchera nie musi być równy zeru. Konsekwencje w praktyce: - zastosowane w algorytmie sekwencyjnym - krok po kroku od 0 do t K - wymagają np. iteracyjnego rozwiązania układu równań nieliniowych. Kiedy znika przewaga metod jawnych: - gdy nie można wykonać kroku metodą jawną - gdy warunek początkowy nie jest “kompletny”, czyli nie jest to zagadnienie początkowe (IVP).

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 9 Problem brzegowy w rozwiązywaniu równań różniczkowych zwyczajnych Równanie różniczkowe - sprowadzone do układu równań 1. rzędu Warunek początkowy Jeżeli t 1 = t 2 = t 3 =...=t n to jest to zagadnienie początkowe (IVP). W przeciwnym przypadku - zagadnienie brzegowe (BVP).

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 10 Problem brzegowy w rozwiązywaniu równań różniczkowych zwyczajnych Przykłady: 1. Trafianie w cel (golf, strzał armaty, lądowanie samolotu, parkowanie samochodu, umieszczenie satelity na wybranej orbicie, np. geostacjonarnej) Zazwyczaj poza warunkami początkowymi dobierane są parametry równania, np. sterowanie wzdłuż trajektorii. 2.Procesy cykliczne np. produkcja elementów o powierzchni napylanej w próżni w wąskim przedziale wysokich temperatur, rozruch np. wielkiego pieca, hodowla karpia, bakterii. 3.Obiekty o parametrach rozłożonych np. drgania belki, membrany. Ustalone: v 0,x 0,y 0, x K,y K Kąt = ?

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 11 Problem brzegowy - metoda strzałów Konsekwencje IVP-> BVP: - trudniejszy problem istnienia i jednoznaczności rozwiązania, - rozwiązywanie numerycznie nie tak proste jak IVP. Metoda strzałów - przykład zastosowania metody sekwencyjnej w BVP (w odróżnieniu od metod kolokacyjnych): - wybieramy pierwsze przybliżenie warunku początkowego, - wykonujemy krok, tj. wyznaczamy następny punkt trajektorii, - otrzymany punkt traktujemy jako warunek początkowy dla kolejnego kroku - i tak (sekwencyjnie) do końca trajektorii. Jeżeli trajektoria nie trafia w cel, to modyfikujemy (poprawiamy) warunek początkowy i powtarzamy ww. czynności - aż trajektoria trafi w cel. Przykład z armatą: Do jakiego zagadnienia można sprowadzić problem trafienia w cel? Których metod nie można zastosować?(Pochodna funkcji jest znana?)

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 12 Problem brzegowy - przypadek wielowymiarowy System opisywany większą liczbą (n) równań różniczkowych: Jak rośnie koszt obliczeniowy? - koszt wyznaczenia pojedynczej trajektorii rośnie liniowo n, - koszt rozwiązywania nieliniowego układu równań rośnie wykładniczo z wzrostem nie n lecz liczby swobodnych warunków początkowych (albo końcowych). W praktyce ważniejsza od kosztu obliczeniowego jest zbieżność algorytmu. Równania (systemy) szczególnie „zagrożone” niezbieżnością: - chaos determinictyczny, - równania „sztywne”.

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 13 Systemy chaotyczne Określenie: Jeżeli zachowanie się systemu dynamicznego jest bardzo wrażliwe na małe bodźce zewnętrzne, które pomimo bezpośrednio niewielkiego wpływu na stan systemu doprowadzają w dłuższym horyzoncie czasowym do znacznego oddalenia od pierwotnej trajektorii, po której poruszałby się system nie poddany bodźcom, to mówimy, że występuje tu chaos deterministyczny. System chaotyczny - częste w ekonomii, biologii. Klasyczny abstrakcyjny przykład: System Lorenza Źródło:

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 14 Systemy sztywne W matematyce równania sztywne, to równania różniczkowe, których rozwiązania metodami numerycznymi, mimo małego kroku całkowania, są niestabilne. Zdefiniowanie, które równania różniczkowe należą do klasy równań sztywnych nastręcza trudności, ponieważ nie istnieje precyzyjna definicja sztywności. Jednak główna idea opiera się na fakcie,że równania sztywne zawierają człony, które mogą prowadzić do nagłej zmiany “kierunku trajektorii” - rozwiązania, np. zbliżanie zapałki do palnika i zapłon. To zjawisko zachodzi gdy system zawiera elementy o zróżnicowanych stałych czasowych - Wtedy wartości własne macierzy zlinearyzowanego równania prawej strony równania różniczkowego (funkcji f) mają wartości różniące się o kilka rzędów. Przykład - orbity Arenstorfa

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 15 „Trudne” równania różniczkowe Przykład: Problem trzech ciał Rozważamy 3 ciała o masach m 1 > m 2 ; m 3 ~ 0 (np. Ziemia, Księżyc, satelita) Założenia: - orbity są kołowe, - m 3 porusza się w płaszczyźnie obrotu Ziemi i Księżyca wokół ich środka masy - jednostka masy – m 1 + m 2, - jednostka długości – odległość między m 1, a m 2,, - jednostka czasu – okres obrotu m 1 i m 2 wokół ich środka masy. Równania:

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 16 „Trudne” równania różniczkowe Szczególny przypadek - poszukiwanie rozwiązań cyklicznych Stan końcowy ma być równy początkowemu - po cyklu każda zmienna stanu musi „powrócić” do wartości początkowej. Trzeba spełnić tyle warunków ile jest równań (4). Np. obrity Arenstorfa

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 17 „Trudne” równania różniczkowe Przykład równań „sztywnych” - orbity Arenstorfa

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 18 Przykład zaburzenia warunku początkowego o 0.1%

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 19 Metody homotopijne (kontynuacyjne) Homotopia – ciągłe przejście między dwoma przekształceniami ciągłymi przestrzeni topologicznych, tj. takie, za pomocą którego można w jednostce czasu w wyniku ciągłej deformacji z jednego przekształcenia otrzymać drugie. Warunek: znamy rozwiązanie podobnego problemu i jest ciągłe „przejście” do problemu nowego. Niech będą przekształceniami ciągłymi określonymi na przestrzeniach topologicznych oraz będzie przedziałem jednostkowym. Jeżeli istnieje ciągłe odwzorowanie takie, że oraz dla, to nazywa się je homotopią przekształceń i i oznacza, same przekształcenia określa się wtedy jako homotopijne.

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 20 Metody homotopijne (kontynuacyjne) cd. Przykład 1: (rozwiązywanie równań nieliniowych) Szukamy miejsca zerowego funkcji Wady: -W systemach chaotycznych lub sztywnych krok parametru p musi być mały. Dlatego koszt obliczeniowy jest zwykle duży. Można nie zauważyć innego rozwiązania (lepszego). Zaleta: Zbieżność (jeżeli rozwiązanie istnieje). Łatwo znajdujemy jedno z miejsc zerowych funkcji Tworzymy funkcję i szukamy jej miejsc zerowych dla wartości p zmienianych od 0 do 1. Przykład 2: Przesuwanie wahadła odwróconego

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 21 Alternatywy wobec metody strzałów - metoda strzałów wielokrotnych Inne podejście: Skoro system jest wrażliwy na małe zmiany np. warunków początkowych (tj. koniec trajektorii przesuwa się gwałtownie przy nawet małym przesunięciu jej początku), to podzielmy całą trajektorię na drobniejsze odcinki czasowe. To prowadzi do zmiany dotychczasowego - sekwencyjnego - sposobu rozwiązywania BVP. Dla przypomnienia: Metoda strzałów (jednokrotnych) sprowadza się do wielokrotnego rozwiązywania zagadnienia początkowego z kolejnymi przybliżeniami warunków początkowych (zmiennymi decyzyjnymi w każdej iteracji są swobodne warunki początkowe). W metoda strzałów wielokrotnych zwiększamy liczbę odcinków trajektorii - jest ich więcej, ale są krótkie. Idea: na krótkim odcinku trajektoria nie oddali się znacznie od przewidywanego toru.

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 22 Metoda strzałów wielokrotnych - prosty przykład

23 t y 1, y 2 t1t1 t2t2 t5t5 t3t3 t4t4 tKtK t6t6 0 y 10 y 1K y 21 y 11 y 20 Metoda strzałów wielokrotnych - inny przykład

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 24 Zmienne decyzyjne Należy znaleźć takie wartości tych zmiennych, aby trafić w cel oraz spełnić warunki ciągłości trajektorii: Problem sprowadza się do rozwiązania 13 równań z 13 niewiadomymi. Jak obliczyć i od czego zależą np. Metoda strzałów wielokrotnych - inny przykład - cd.

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 25 Metoda strzałów wielokrotnych - podsumowanie Skutki: - jest więcej „warunków początkowych” (każdy odcinek ma swój), - jest więcej zmiennych decyzyjnych, - jest więcej warunków, które mają być spełnione - nie tylko trafienie w cel, ale także ciągłość trajektorii. Sformułowanie problemu (podobne jak w metodzie strzałów jednokrotnych): Rozwiązać układ równań nieliniowych (wynikających z warunku trafienia w cel i warunków ciągłości trajektorii w punktach jej podziału) Różnica tylko ilościowa - liczba równań i zmiennych wielokrotnie większa niż w metodzie strzałów jednokrotnych. Koszt obliczeniowy: - zwiększony w jednej iteracji (większy wymiar przestrzeni, w której rozwiązujemy układ równań), - liczba iteracji (powinna być) mniejsza. (Jedna iteracja to obliczenie trajektorii - w całości albo w kawałkach)

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 26 Alternatywy wobec metody strzałów: Metody kolokacyjne Idea: Znaleźć przybliżone rozwiązanie w przestrzeni skończenie wymiarowej (zazwyczaj - sklejanych wielomianów niskiego stopnia). W wybranych punktach (punktach kolokacji) rozwiązanie to ma spełniać dane równanie różniczkowe. Położenie punktów kolokacji (ich odcięta) ma decydujący wpływ na rząd metody. Istnieją położenia optymalne (maksymalizujące rząd) - podobnie jak w kwadraturach np. Gaussa Grupy: - Gaussa - punkty kolokacji wewnątrz odcinka, - Lobatto - punkty kolokacji wewnątrz odcinka + na obu granicach, - Radaua - punkty kolokacji wewnątrz odcinka + na jednej granicy.

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 27 Przykład metody kolokacyjnej - Radau IIA Szukamy aproksymacji trajektorii y(t) w postaci funkcji odcinkami wielomianowej. Wartości i-tego wielomianu będą obliczane tylko w K+1 (=4) punktach Radaua -bazowy wielomian Lagrange’a

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 28 Przykład metody kolokacyjnej - Radau IIA Wielomian interpolacyjny ma w punktach spełniać równanie różniczkowe. Dla i-tego wielomianu można je zapisać w postaci Zmienne decyzyjne to Należy znaleźć takie wartości, dla których ww. równanie jest spełnione. Otrzymujemy rozwiązanie w postaci sklejonych wielomianów 3. stopnia.

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 29 Metoda kolokacyjna Radau IIA a FIRK Metoda Radau IIA spełnia wszystkie warunki 3 etapowej, w pełni niejawnej metody Rungego-Kutty. Dla s=3 jest to metoda 5. rzędu. Uwaga! W przypadku metod FIRK jest inna (niż dla metod jawnych) zależność p od s.

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 30 Metoda strzałów wielokrotnych a metody kolokacyjne Podział w metodach strzałów wielokrotnych doprowadzony do kroku prowadzi do metody „czysto” kolokacyjnej. Różnica między metodami sekwencyjnymi a kolokacyjnymi: Sekwencyjne - w zewnętrznej pętli algorytmu zmieniamy warunki początkowe, - w pętli wewnętrznej znajdujemy trajektorię (zawsze ciągłą). Kolokacyjne - równocześnie ze znajdowaniem warunków początkowych „uciąglamy” trajektorię - oba „procesy” odbywają się równocześnie, na tym samym poziomie. Główny problem - jak rozwiązać duży układ równań nieliniowych (szczególnie duży w przypadku metod kolokacyjnych).

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 31 Metoda rozwiązywania układów równań nieliniowych Czy wszystkie metody rozwiązywania jednego równania nieliniowego można zastsować do układów równań? Np. bisekcji? Rozważmy układ n rónań nieliniowych Zadanie rozwiązania układu równań sprowadzamy do problemu optymalizacji

ANiSS 2014/15 - Równania różniczkowe zwyczajne cz.3 - BVP 32 O czym należy pamiętać: Różnice między metodami jawnymi i niejawnymi - postać wzoru i konsekwencje obliczeniowe. Róznica między zagadnieniem początkowym a brzegowym. Algorytm metody strzału. Problemy ze zbieżnością metody strzałów w przypadkach chaosu deterministycznego i równań sztywnych. Algorytm strzałów wielokrotnych - “zyski i straty”. Zasada metod kolokacyjnych i “pokrewieństwo” z metodą strzałów wielokrotnych. Różnica między metodą sekwencyjną a kolokacyjną. Przekształcenie zadania rozwiązania układu równań nieliniowych w problem optymalizacji.