Autorzy pracy: Michał Lemański Michał Rozmarynowski I Liceum Ogólnokształcące im. Tadeusza Kościuszki w Wieluniu Pomiar przyspieszenia ziemskiego przy pomocy piłeczki tenisowej

Krótkie wprowadzenie Początki Metoda I Sposób wykonywania pomiaru Wyniki pomiarów Wniosek Metoda II Problem Wahadło matematyczne Wahadło fizyczne Pomiary Wnioski Niepewności zmiennych Podsumowanie

Celem doświadczenia jest wyznaczenie wartości przyspieszenia ziemskiego przy pomocy:  piłki tenisowej,  stopera uruchamianego ręcznie,  kątomierza,  taśmy mierniczej.

Przy pomocy danych przyrządów wydaje się, że jedynym sposobem wyznaczenia przyspieszenia ziemskiego jest swobodny spadek piłki. Tak również i my początkowo sądziliśmy.

Pomiar z wykorzystaniem spadku swobodnego

 Ponieważ ruch spadającej swobodnie piłeczki to ruch jednostajnie przyspieszony (przy założeniu braku oporu powietrza), to droga w tym ruchu wyraża się wzorem:  Po przekształceniach otrzymujemy:  Należy zatem wykonać taśmą mierniczą pomiar wysokości, z której upuszczamy piłeczkę oraz zmierzyć czas spadku stoperem.

 Wysokość  Czas (wyniki 50 pomiarów; dokładność stopera wynosiła 0,01s) l.p t [s]0,66 0,610,720,610,570,560,590,620,65 l.p t [s]0,460,540,570,630,550,560,620,660,690,77 l.p t [s]0,630,620,650,730,700,660,520,540,620,68 l.p t [s]0,610,480,69 0,580,530,540,670,630,55 l.p t [s]0,640,670,540,750,650,590,600,570,720,55

 Grupując czas w przedziały otrzymujemy: Przedział (czas w sekundach)Liczebność

 Przedstawiając powyższe dane na wykresie mamy:  Otrzymujemy:

 Do niepewności ∆t 1 dodajemy dokładność stopera używanego do pomiaru równą 0,01s i otrzymujemy niepewność:  Wynik ten jest znacznie mniejszy od czasu reakcji człowieka, który wynosi 0,2s. Niepewności różnią się o rząd wielkości.  Zatem jako niepewność należy przyjąć czas reakcji eksperymentatora, czyli:  Otrzymujemy:

Źródłem niepewności pomiarowych (tutaj obliczonych metodą najmniej korzystnego przypadku) jest przede wszystkim czas reakcji człowieka rzędu 0,2s. Nie bez wpływu są też dokładność przyrządów pomiarowych (przypomnę: dokładność taśmy mierniczej to 0,01 m, stopera – 0,01s, zatem ich wpływ jest minimalny) i opór powietrza, który występuje pomimo małych rozmiarów piłki. Aby tą metodą otrzymać dokładniejszy wynik, należy zastosować stoper o większej dokładności z automatycznie wyzwalanym początkiem i końcem pomiaru.

Otrzymana niepewność pomiarowa wyniku nie zadowoliła nas. Chcieliśmy znaleźć sposób umożliwiający zmierzenie wartości przyspieszenia ziemskiego z większą dokładnością. Wówczas wymyśliliśmy, aby z taśmy mierniczej i piłki zrobić wahadło.

Pomiar przy użyciu wahadła

Pojawił się jednak problem czy dane wahadło należy traktować jako matematyczne czy fizyczne. Piłka jest co prawda mała, ale czy na tyle mała, by móc ją potraktować jak punkt materialny? W związku z tym postanowiliśmy wykonać porównanie wyników w zależności od przyjętego rodzaju wahadła.

 Wzór na okres drgań:  Na rysunku x to długość taśmy (kolor zielony), L- obwód piłki. Zatem, oznaczając r- promień i n- liczbę wahnięć, mamy:

 Wzór na okres drgań:  Po wyrażeniu przez wielkości mierzone (L, x, t) otrzymujemy:

Wyprowadzone wzory są słuszne tylko dla niewielkich odchyleń nieprzekraczających 5˚. Należy zatem skontrolować kątomierzem wychylenie wahadła. Taśmę mierniczą dociskamy do ściany, aby wyeliminować wpływ ręki eksperymentatora na drgania (wymuszanie drgań). Najlepiej wykorzystać część ściany nad drzwiami, gdyż na piłkę nie będzie działać siła tarcia powstająca w wyniku kontaktu ze ścianą.

Po wykonaniu czterech pomiarów czasu (stoperem o dokładności 0,01s) zauważyliśmy, że niepewności są systematyczne, gdyż rozrzut nie przekracza 0,2s, czyli czasu reakcji człowieka. Przyjęliśmy więc niepewność pomiarową równą właśnie 0,2s.

 Obliczymy ją metodą różniczki zupełnej. Zmienne to L, x oraz t (dla obu rodzajów wahadeł), zatem:  Dla wahadła matematycznego mamy:

 Podstawiając otrzymane pochodne cząstkowe do wzoru na niepewność pomiarową mamy:  Po podstawieniu wartości otrzymujemy:

 Zajmiemy się teraz wzorem na niepewność pomiarową w przypadku wahadła fizycznego.

 Podstawiając otrzymane pochodne cząstkowe do wzoru na niepewność mamy:  Wstawiając dane: n=20; L=0,21m; x=1,5m; t=49s; ∆t=0,2s; ∆L=0,01m; ∆x=0,01m; otrzymujemy wynik:

 Porównując wszystkie wyniki:  Nie ma zatem znaczenia czy wahadło potraktujemy jako matematyczne czy fizyczne. Wyniki są jednakowe i znacznie dokładniejsze niż w przypadku spadku swobodnego. Odbiegają jednak nieco od ustalonej wartości 9,80665 m/s 2 (wartość standardowa).

 Źródłem niepewności pomiarowej wyników uzyskanych w przypadku wahadeł nie jest opór powietrza, gdyż zaniża on wyniki (a nie zawyża).  Postanowiliśmy zatem sprawdzić, która ze zmiennych (x, L, t) ma największy wpływ na niepewność pomiarową.

 Dla wahadła matematycznego mamy: co stanowi 51% niepewności, co stanowi 42% niepewności, co stanowi 7% niepewności.

 Z kolei dla wahadła fizycznego otrzymujemy: co stanowi 51% niepewności, co stanowi 42% niepewności, co stanowi 7% niepewności.

 Widzimy, że największy wpływ na niepewność pomiarową ma pomiar czasu, ale ważny jest także pomiar długości rozwiniętej taśmy. Najmniejszy wpływ na wynik ma pomiar obwodu piłeczki. Niepewność pomiarowa wynika zatem z dokładności przyrządów pomiarowych oraz niedoskonałości ludzkich zmysłów.  Zaskakujący może być fakt, że wpływ niepewności pomiarów czasu, długości wahadła i obwodu piłki na całkowitą niepewność pomiarową dla wahadła matematycznego i fizycznego jest taki sam, co jeszcze raz potwierdza wniosek o dowolności w wyborze rodzaju wahadła.