Matematyka I

Definicja funkcji jednej zmiennej Niech X i Y oznaczają dowolne niepuste zbiory. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru X przyporządkowujemy dokładnie jeden element y ze zbioru Y to mówimy, że została określona funkcja f odwzorowująca zbiór X w zbiór Y : f : X ⟶Y lub x ⟶ y = f(x); y = f(x) x ∊ X Własności funkcji: 1. Różnowartościowość 2. Monotoniczność (rosnąca, malejąca, stała) 3. Parzystość 4. Ekstrema lokalne funkcji (minimum, maksimum) 5. Asymtoty funkcji (ukośna, pionowa, pozioma)

Funkcje elementarne Każdą funkcję, którą można otrzymać z funkcji 1)y = c c  R(funkcja stała) 2)y = x(funkcja tożsamościowa) 2)y = a x 0 < a  1(funkcja wykładnicza) 3)y = sin x(funkcja trygonometryczna) przez dokonanie na nich skończonej liczby operacji dodawania, mnożenia, dzielenia, odwracania i składania nazywamy funkcją elementarną. Pozostałe funkcje nazywamy funkcjami nieelementarnymi

Granica lewostronna funkcji Liczba g jest lewostronną granicą funkcji f(x) w punkcie x 0 co zapisujemy: jeżeli dla dowolnej liczby  > 0 istnieje taka liczba  > 0, że zachodzi |f(x) – g| <  dla x  D spełniających warunek x 0 –  < x < x 0, tj.

Granica lewostronna funkcji y x x 0 –  g +  g g –  x0x0

Granica prawostronna funkcji jeżeli dla dowolnej liczby  > 0 istnieje taka liczba  > 0, że |f(x) – g| <  dla x  D spełniających warunek x 0 < x < x 0 + , tj. Liczba g jest prawostronną granicą funkcji f(x) w punkcie x 0 co zapisujemy:

Granica funkcji w punkcie Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f(x) w punkcie x 0, co zapisujemy jeżeli istnieją granice lewostronna i prawostronna funkcji f(x) w punkcie x 0 i obie są równe g tj. Definicja równoważna:

Granica funkcji w punkcie x y y=f(x) x0x0 x0+x0+ x0 – x0 –  g –  g + g +  g

Granica niewłaściwa funkcji Mówimy, że +  jest lewostronną granicą (niewłaściwą) w punkcie x 0, co zapisujemy jeżeli dla dowolnej liczby M  > 0 istnieje taka liczba  >0, że f(x)>M dla x  D spełniających warunek x 0 –  < x < x 0, tj. Uwaga: analogicznie definiujemy prawostronną granicę niewłaściwą + 

Granica niewłaściwa – lewostronna y x x 0 –  M x0x0

Granica niewłaściwa funkcji Mówimy, że –  jest lewostronną granicą (niewłaściwą) w punkcie x 0, co zapisujemy jeżeli dla dowolnej liczby M  > 0 istnieje taka liczba  >0, że f(x)<–M dla x  D spełniających warunek x 0 –  < x < x 0, tj. Uwaga: analogicznie definiujemy prawostronną granicę niewłaściwą – 

y x x 0 –  –M–M x0x0

Granica funkcji przy x  +  Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji przy x  + , co zapisujemy jeżeli dla dowolnej liczby  > 0 istnieje taka liczba K >0, że |f(x) – g| K, tj. Uwaga: analogicznie definiujemy granicę funkcji przy x  – 

Granica niewłaściwa funkcji przy x  +  Mówimy, że funkcja dąży do -  przy x  + , co zapisujemy jeżeli dla dowolnej liczby M  > 0 istnieje taka liczba K >0, że f(x) K, tj. Uwaga: analogicznie definiujemy granicę niewłaściwe +  i –  funkcji przy x  – 

y x K –M–M

Granica niewłaściwa funkcji przy x  +  Mówimy, że funkcja dąży do +  przy x  + , co zapisujemy jeżeli dla dowolnej liczby M  > 0 istnieje taka liczba K >0, że f(x)>M dla x  D spełniających warunek x>K, tj. Uwaga: analogicznie definiujemy granicę niewłaściwą –  funkcji przy x  +  oraz granice niewłaściwe +  i –  funkcji przy x  – 

Przykład granicy niewłaściwej y x

Przykłady: granice funkcji y=f(x) x y x 0 =1 0 3

Twierdzenia o granicach (1) Jeżeli istnieją granice dwóch funkcji oraz to 1) 2) 3) Uwaga: twierdzenie można uogólnić na granice jednostronne oraz granice w nieskończoności (x  ) pod warunkiem, że g 2  0

Twierdzenia o granicach (2) Uwaga: twierdzenie można uogólnić na granice jednostronne oraz granice w nieskończoności (x  ) gdy g 1 >0; i –  gdy g 1 <0 gdy g 1 >0; i –  gdy g 1 <0 Jeżeli: to:

Twierdzenia o granicach (3) Jeżelioraz to Uwaga: twierdzenie można uogólnić na granice jednostronne oraz granice w nieskończoności (x  )

Twierdzenia o granicach (4) Jeżeli i f(x)>0 w pewnym sąsiedztwie x 0, to, gdy a > 0, oraz – , gdy a < 0 Uwaga: twierdzenie można uogólnić na granice jednostronne oraz granice w nieskończoności (x  )

Twierdzenia o granicach (5) Symbole „nieoznaczone”:

Przykłady obliczania granic D: x≠ ± 1

Symbole nieoznaczone – przykłady

27 Z definicji logarytmu wynikają wzory: Szczególne przypadki własności logarytmów:

Twierdzenia dotyczące logarytmów:

e – liczba Nepera; liczba Eulera

Ciągłość funkcji Funkcję y=f(x) nazywamy ciągłą w punkcie x 0, jeżeli istnieje granica funkcji w tym punkcie i granica ta równa jest wartości funkcji w tym punkcie, tj.: Funkcję y=f(x) nazywamy ciągłą lewostronnie w punkcie x 0, jeżeli Funkcja jest ciągła w przedziale otwartym (a,b) jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału Funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym [a,b] jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału oraz jest ciągła prawostronnie w punkcie a i ciągła lewostronnie w punkcie b

Twierdzenia o ciągłości 1) Suma dwóch funkcji ciągłych w danym punkcie jest funkcją ciągłą w tym punkcie 2) Iloczyn dwóch funkcji ciągłych w danym punkcie jest funkcją ciągłą w tym punkcie 3) Iloraz dwóch funkcji ciągłych w danym punkcie takim, że dzielnik jest różny od zera, jest funkcją ciągłą w tym punkcie

Twierdzenie o ciągłości funkcji elementarnych Każda funkcja elementarna jest funkcją ciągłą w dowolnym punkcie swojej dziedziny

Przykład 1: funkcja nieciągła w x=0 x y y=f(x)

Przykład 2: funkcja nieciągła w x=0 Signum (znak) liczby rzeczywistej x to funkcja, oznaczana jako sign(x) lub sgn(x), zdefiniowana jako:

PODSTAWY RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO

Pochodna funkcji w punkcie Pochodną (pierwszego rzędu) funkcji y=f(x) w punkcie x 0 nazywamy granicę, do której dąży stosunek przyrostu funkcji  y do odpowiedniego przyrostu zmiennej niezależnej  x, gdy przyrost zmiennej niezależnej dąży do zera, czyli granicę: Pochodna funkcji w punkcie jest liczbą ! Jeżeli granica nie istnieje, to w tym punkcie funkcja nie ma pochodnej.

Pochodna funkcji – interpretacja x y y=f(x) x0x0 x0+xx0+x f(x 0 ) f(x 0 +  x) y=ax+b f ’(x 0 )=a=tg  0 00 (sieczna) (styczna) ∆y∆y ∆x∆x

Pochodna funkcji  y=ax+b f ’(x 0 )=a=tg  0  Pochodna funkcji w punkcie x 0 jest liczbowo równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie (x 0 )  Wyznaczanie pochodnej nazywamy różniczkowaniem  Inne oznaczenia pochodnej:

Funkcja pochodna Jeżeli funkcja f(x) ma pochodną w każdym punkcie x  X, to funkcję f’: x  f’(x), x  X nazywamy funkcją pochodną lub krótko: pochodną funkcji f na zbiorze X Tak więc pochodna funkcji ogólnie (w pewnym przedziale) jest funkcją. Przykład: Prędkość jest pochodną drogi „po czasie”:

Pochodna – warunek istnienia Jeżeli funkcja ma w danym punkcie pochodną skończoną, czyli jest w tym punkcie różniczkowalna, to jest w tym punkcie ciągła funkcja różniczkowalna  funkcja ciągła UWAGA: twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe Nie każda funkcja ciągła w danym punkcie ma pochodną w tym punkcie funkcja ciągła ⇏ funkcja różniczkowalna

Przykład: funkcja f(x)=|x| x y y=|x| 0 Pochodna ciągłej funkcji f(x)=|x| w punkcie x=0 nie istnieje (funkcja nie ma pochodnej w tym punkcie) Funkcja w pkt x=0 jest ciągła:

Twierdzenia o pochodnych: pochodna sumy, iloczynu i ilorazu funkcji Jeżeli istnieją pochodna f’(x) funkcji f(x) oraz pochodna g’(x) funkcji g(x) to: 1) [a. f(x)]’= a. f’(x) a  R, a=const. 2) [f(x)+g(x)]’= f’(x)+g’(x) 3) [f(x). g(x)]’= f’(x). g(x) + f(x). g’(x) 4) g(x)  0

Twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji złożonej Jeżeli funkcja złożona F(x)=f(g(x)) jest określona w pewnym otoczeniu punktu x 0, funkcja u=g(x) jest różniczkowalna w punkcie x 0, a funkcja f(u) jest różniczkowalna w punkcie u 0 =g(x 0 ), to pochodna funkcji złożonej F(x)=f(g(x)) istnieje i jest równa: F’(x)=f’(u 0 ). g’(x 0 ) (Pochodna funkcji złożonej jest iloczynem pochodnej funkcji zewnętrznej i wewnętrznej)

Twierdzenia o pochodnych: podstawowe wzory

Przykłady obliczania pochodnych

Pochodna funkcji złożonej

Wyrażenia nieoznaczone {  /  } Reguła de L'Hospitala Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w pewnym sąsiedztwie punktu x 0 oraz 1)i Uwaga: 1) twierdzenie można zastosować również dla (x  ) 2) twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe!!! 2)istnieje (właściwa lub niewłaściwa) granica to istnieje również granica, przy czym

Wyrażenia nieoznaczone {  /  } Reguła de L'Hospitala, przykład

Wyrażenia nieoznaczone {0/0} Reguła de L'Hospitala Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w pewnym sąsiedztwie punktu x 0 oraz 1)i 2)istnieje (właściwa lub niewłaściwa) granica to istnieje również granica przy czym Uwaga: 1) twierdzenie można zastosować również dla (x  ) 2) twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe!!!

Wyrażenia nieoznaczone {0/0} Reguła de L'Hospitala, przykład

Monotoniczność a pochodne y x x0x0 1) Jeżeli pochodna funkcji jest w pewnym przedziale dodatnia, to funkcja jest w tym przedziale rosnąca, tj. x2x2 x1x1 f(x 2 ) f(x 1 )

Monotoniczność 2)Jeżeli pochodna funkcji jest w pewnym przedziale ujemna, to funkcja jest w tym przedziale malejąca, tj. x0x0 f(x 1 ) f(x 2 ) x1x1 x2x2

Monotoniczność 3)Jeżeli pochodna funkcji jest każdym punkcie pewnego przedziału równa zeru, to funkcja ma w tym przedziale wartość stałą, tj.

Różniczka funkcji Różniczką funkcji f w punkcie x 0 nazywamy iloczyn pochodnej tej funkcji w tym punkcie przez dowolny przyrost ∆ x zmiennej niezależnej: a różniczkę w dowolnym punkcie x dla przyrostu ∆ x zapisujemy: lub (Różniczka jest stosowana powszechnie w rachunku błędów)

Różniczka funkcji – interpretacja x y y=f(x) x0x0 ∆x f(x 0 ) dy  y=f(x 0 + ∆ x)- f(x 0 ) f(x 0 + ∆ x) x0+∆xx0+∆x

Różniczka funkcji –interpretacja i zastosowanie Dla dostatecznie małych ∆ x ≈ dx dozwolony jest zapis: lub Dla dostatecznie małych ∆x przyrost funkcji można zastąpić różniczką: ∆ f = df, wówczas:

Różniczka funkcji – przykład zastosowania Obliczyć przybliżoną wartość funkcji ln x w punkcie x = 1,004; ln 1,004 (  wartość „dokładna”)

Pochodna drugiego rzędu Pochodną rzędu drugiego (drugą pochodną) funkcji y=f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Oznaczamy ją symbolami:

Pochodna rzędu n Definicja: Pochodną rzędu n (n-tą pochodną) funkcji y=f(x) nazywamy pochodną pochodnej rzędu n-1. Oznaczamy ją symbolami:

Ekstrema funkcji (minima i maksima lokalne) Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji Jeżeli funkcja różniczkowalna w pewnym przedziale, osiąga w pewnym punkcie wewnętrznym x = x 0 tego przedziału ekstremum lokalne, to pochodna w tym punkcie równa się zeru f’(x 0 ) = 0 Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.

y = x 3 y’= 3x 2 dla x = 0 y’ = 0, a funkcja w tym punkcie nie ma ekstremum y x y = x 3

Ekstrema funkcji (minima i maksima lokalne) Warunek wystarczający istnienia ekstremum Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w otoczeniu punktu x 0 i f’(x 0 )=0 oraz 1) f’(x)>0 dla x x 0 to funkcja ta ma w punkcie x 0 maksimum lokalne 2) Jeżeli f’(x) 0 dla x>x 0 to funkcja ta ma w punkcie x 0 minimum lokalne Inaczej: gdy pochodna przy przejściu zmiennej niezależnej (x) przez pkt. x 0 zmienia znak z dodatniego na ujemny to w pkt. x 0 jest maksimum, gdy zmienia znak z ujemnego na dodatni - minimum.

Maksimum lokalne y x x0x0 f’(x 0 )=0 oraz f’(x)>0 dla x x 0

Minimum lokalne y x x0x0 Jeżeli f’(x 0 ) = 0 oraz f’(x) 0 dla x>x 0

Monotoniczność, ekstremum – przykład x y y=f(x) Funkcja malejąca dla x  (- ,1) x 0 =2 Funkcja malejąca dla x  (1,2) Funkcja rosnąca dla x  (2,+  ) Minimum lokalne dla x 0 =2

Wypukłość i wklęsłość wykresu funkcji Definicja Wykres funkcji nazywamy wypukłym w przedziale (a,b), jeżeli istnieje sąsiedztwo punktu x 0 z przedziału (a,b), że punkty wykresu funkcji w tym przedziale leżą powyżej stycznej do wykresu funkcji f(x) w punkcie x 0. Wykres funkcji nazywamy wklęsłym w przedziale (a,b), jeżeli istnieje sąsiedztwo punktu x 0 z przedziału (a,b), że punkty wykresu funkcji w tym przedziale leżą poniżej stycznej do wykresu funkcji f(x) w punkcie x 0.

y xx0x0 y x x0x0 wypukławklęsła a b

Wypukłość, wklęsłość a druga pochodna Twierdzenia: Jeżeli druga pochodna funkcji jest w pewnym przedziale dodatnia, to funkcja jest w tym przedziale wypukła. Jeżeli druga pochodna funkcji jest w pewnym przedziale ujemna, to funkcja jest w tym przedziale wklęsła.

Punkt przegięcia wykresu funkcji Definicja: Funkcja y=f(x) posiada w punkcie x 0 punkt przegięcia wykresu funkcji, gdy 1) istnieje styczna do wykresu w punkcie x 0 2) wykres posiada różne wypukłości w prawostronnym i lewostronnym sąsiedztwie punktu x 0

Punkty przegięcia krzywej y x x1x1 x2x2 y = f(x 1 ) P(x1,y1)P(x1,y1)P(x2,y2)P(x2,y2) Styczne do krzywych w punktach x 1 i x 2

Punkt przegięcia a druga pochodna Twierdzenie (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia): Jeżeli funkcja y=f(x) ma ciągłą drugą pochodną, to w punkcie przegięcia x 0 wykresu funkcji wartość drugiej pochodnej f’’(x 0 ) jest równa zeru Jest to warunek konieczny, ale nie wystarczający. (Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe). Np. y = x 4 y’= 4x 3 y’’ =12x 2 y’’= 0 dla x = 0 a funkcja ta nie ma dla x = 0 punktu przegięcia, w punkcie tym funkcja ma minimum

Punkty przegięcia Warunek wystarczający istnienia punktów przegięcia Jeżeli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w otoczeniu punktu x 0 i oraz f’’(x) 0 dla x > x 0 lub f’’(x)>0 dla x x 0 to funkcja ma punkt przegięcia w pkt. x 0 Inaczej: Jeżeli druga pochodna przy przejściu przez punkt x 0 zmienia znak to ma w tym punkcie przegięcie

Wypukłość, wklęsłość, punkt przegięcia – przykład y=f(x) x y 103 Funkcja malejąca dla x  (3,+  ) Funkcja wklęsła dla x  (2,4) Maksimum lokalne dla x 0 =3 24 Funkcja rosnąca dla x  (- ,3) Funkcja wypukła dla x  (4,+  ) Funkcja wypukła dla x  (- ,2) Punkt przegięcia dla x=4 Punkt przegięcia dla x=2

Asymptoty funkcji 1. Asymptota pionowa x = a jest asymptotą pionową funkcji f(x) gdy istnieje przynajmniej jedna jednostronne niewłaściwa granica w pkt. „a” lub 2. Asymptota ukośna Prostą o równaniu y = mx + n nazywamy asymptotą ukośną krzywej y = f(x) w ± , gdy: Przy czym

Asymptota pozioma y = mx + n Gdy m = 0 asymptota ma równanie y = n i jest równoległa do osi Ox. Nazywa się asymptotą poziomą. Krzywa ma asymptotę pozioma y = n przy x ± , gdy

Asymptota pionowa i pozioma x y y=f(x) x 0 =2 x = 1 jest asymptotą pionową y = 2 jest asymptotą poziomą

y x y= f(x) y = mx + n Asymptota ukośna

Przykład – badanie przebiegu zmienności funkcji  Zbadać przebieg zmienności funkcji: 1. Dziedzina: x ∊ R\4; D: (- ,4) ⋃ (4,+  ) 2. Miejsca zerowe: x 1 = 0 x 2 = 3 3. Granice i asymptoty W pkt. x=4 obie granice są niewłaściwe, a więc prosta o równaniu x=4 jest asymptotą pionową obustronną.

asymptoty ukośne prosta jest asymptotą ukośną funkcji 4. Ekstrema funkcji Badanie I pochodnej w. konieczny w. wystarczający

dla x 0 oraz dla 2<x<6 f’(x)<0 w pkt. x=2 funkcja ma maksimum dla 2 6 f’(x)>0 w pkt. x=6 funkcja ma minimum Badanie II pochodnej dla x ∊D (tj. x≠4) f’’(x)≠0 co oznacza, że funkcja nie posiada p. przegięcia f’(x) x

x -  … 2…..4……6 …+  f’(x) f’’(x) f(x) -- 1 -- ++ 9 ++ maxmin f(x) x Asymptota ukośna y = x + 1 Asymptota pionowa x = 4

Funkcje wielu zmiennych

Funkcja dwóch zmiennych Definicja Mówimy, że w zbiorze płaskim D  R 2 została określona funkcja f dwóch zmiennych, jeżeli każdemu elementowi (x, y)  D jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba z  R, co zapisujemy f: D  R, D  R 2 lub z = f(x, y)

Wykres funkcji dwóch zmiennych Definicja Wykresem funkcji dwóch zmiennych z=f(x,y) nazywamy zbiór wszystkich punktów (x, y, z) w przestrzeni R 3, których współrzędne spełniają równanie funkcji tj. dla których z=f(x,y). Wykresem funkcji z=f(x,y) jest pewna powierzchnia w przestrzeni trójwymiarowej

Wykres funkcji dwóch zmiennych – paraboloida hiperboliczna

Granica funkcji dwóch zmiennych Definicja Funkcja z=f(x,y) w punkcie (x 0,y 0 ) posiada granicę g, jeżeli dla dowolnego  >0 istnieje takie  >0, że zachodzi |f(x,y)-g|<  dla wszystkich punktów (x,y) należących do dziedziny i sąsiedztwa punktu (x 0,y 0 ) o promieniu 

Ciągłość funkcji dwóch zmiennych Definicja Funkcja z=f(x,y) jest ciągła w punkcie (x 0,y 0 ), jeżeli posiada skończoną granicę g w tym punkcie i granica ta równa jest wartości funkcji w tym punkcie

Twierdzenia o ciągłości funkcji dwóch (wielu) zmiennych 1) Suma dwóch funkcji ciągłych w danym punkcie jest funkcją ciągłą w tym punkcie 2) Iloczyn dwóch funkcji ciągłych w danym punkcie jest funkcją ciągłą w tym punkcie 3) Iloraz dwóch funkcji ciągłych w danym punkcie takim, że dzielnik jest różny od zera, jest funkcją ciągłą w tym punkcie

Pochodna cząstkowa f x ’ funkcji w punkcie Pochodną cząstkową (pierwszego rzędu) względem zmiennej x funkcji dwóch zmiennych z=f(x,y) w punkcie (x 0, y 0 ) nazywamy granicę (jeżeli istnieje) ilorazu różnicowego Inne oznaczenia pochodnej cząstkowej :

Pochodna cząstkowa f y ’ funkcji w punkcie Pochodną cząstkową (pierwszego rzędu) względem zmiennej y funkcji dwóch zmiennych z=f(x,y) w punkcie (x 0, y 0 ) nazywamy granicę (jeżeli istnieje) ilorazu różnicowego Inne oznaczenia pochodnej cząstkowej :

Pochodna cząstkowa funkcji – interpretacja graficzna z x y z=f(x,y) x0x0 x0+xx0+x y0y0 y0+yy0+y   y=y 0 x=x 0

Pochodna cząstkowa drugiego rzędu funkcji w punkcie Pochodną cząstkową drugiego rzędu funkcji dwóch zmiennych z=f(x,y) w punkcie (x 0, y 0 ) nazywamy pochodną cząstkową względem odpowiedniej zmiennej pierwszej pochodnej cząstkowej, jeżeli istnieje

Pochodne cząstkowe funkcji - przykład

Różniczka zupełna funkcji dwóch zmiennych Różniczką zupełną dz funkcji z=f(x,y) klasy C 1 (tj. mającej ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego) w punkcie (x 0,y 0 ) dla przyrostu (dx,dy) nazywamy wyrażenie: dz przedstawia liniową część przyrostu  z  z  dz w przypadku „małych” przyrostów dx i dy

Różniczka funkcji – przykład zastosowania Oblicz maksymalny błąd bezwzględny i względny przy obliczaniu objętości walca o podanej wysokości i promieniu podstawy, wyznaczonych z podaną dokładnością: h=25  0,05 cm, r=12  0,01 cm

Podstawy rachunku całkowego

Funkcja pierwotna Definicja Funkcją pierwotną funkcji f(x) w pewnym przedziale nazywamy każdą funkcję F(x), której pochodna F’(x)=f(x) dla każdego x z przedziału Twierdzenie Dwie funkcje pierwotne mające w danym przedziale tę samą skończoną pochodną różnią się co najwyżej o stałą.

Funkcja pierwotna Przykład:f(x)=2x dla tej funkcji istnieje rodzina funkcji pierwotnych które różnią się stałą F(x)=x 2 +C C  R(gdyż(x 2 +C)’ = 2x) F 1 (x)= x 2 +5 gdyż F’ 1 (x) = 2x F 2 (x)= x 2 -3 F’ 2 (x) = 2x F 3 (x)= x 2 +  F’ 3 (x) = 2x

F(x) x F 1 (x) F 2 (x) F 3 (x) F 4 (x) Dana funkcja f(x) ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych różniących się jedynie stałą F(x) = x 2 +C

Funkcja pierwotna Twierdzenie  Dla każdej funkcji ciągłej w pewnym obszarze domkniętym istnieje funkcja pierwotna również ciągła w tym obszarze

Całka nieoznaczona Definicja Całką nieoznaczoną funkcji f(x), oznaczaną symbolem nazywamy wyrażenie F(x)+C, gdzie F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), a C  R jest dowolną stałą, tj. gdzie

Całka nieoznaczona – podstawowe wzory

Własności całek nieoznaczonych Twierdzenia: 1)(addytywność całki względem funkcji podcałkowej) Całka sumy (różnicy) jest sumą (różnicą) całek 2)Stały czynnik można wyłączyć przed znak całki

Własności całek nieoznaczonych 3) Całkowanie przez podstawienie Jeżeli funkcja t = g(x) ma ciągłą pochodną w przedziale x ∊ oraz g(x) ∊, a funkcja f(t) jest ciągła w przedziale t ∊, to po scałkowaniu prawej strony w otrzymanym wyniku należy podstawić t=g(x)

Własności całek nieoznaczonych 4)(wzór na całkowanie przez części) Jeżeli funkcje f(x) i g(x) mają ciągłą pochodną, to Jeżeli jest dana całka, to aby zastosować całkowanie przez części należy ją przedstawić w postaci t(x) = f(x) ⋅ g’(x) Jeżeli u i v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to:

Całkowanie – przykłady

Całkowanie przez części

Całka oznaczona 1)Dana funkcja f(x) ograniczona w przedziale [a, b] 2)Dokonujemy tzw. normalnego podziału przedziału [a, b] na n części a= x 0 < x 1 < x 2 <... < x n-1 < x n =b, takich, że max(  x i )  0 gdy n  3)dowolnie wybieramy punkty  i  [x i-1, x i ] 4)w każdym przedziale wyznaczamy wartość f(  i ).  x i gdzie  x i = x i - x i-1 5)dodajemy wszystkie składniki z p-tu 4, tj. S n = f(  1 ).  x 1 + f(  2 ).  x f(  n-1 ).  x n-1 + f(  n ).  x n 6)wyznaczamy granicę S otrzymanej sumy przy  x i  0 (n   )

Całka oznaczona Definicja Jeżeli ciąg {S n } dla n   jest zbieżny do tej samej granicy przy każdym normalnym ciągu podziałów niezależnie od wyboru punktu  i, to funkcję f(x) nazywamy funkcją całkowalną w przedziale [a,b], a granicę ciągu {S n } przy n  nazywamy całką oznaczoną funkcji f(x) w granicach od a do b i oznaczamy symbolem czyli

Całka oznaczona f(x) x a = x 0 x1x1 x2x2 x3x3 xixi x n = bx i–1 x n–1 11 22 33 ii nn

Całka oznaczona a- dolna granica całkowania b - górna granica całkowania f(x)- funkcja podcałkowa x- zmienna całkowania Całka oznaczona jest liczbą!!! Całka nieoznaczona jest funkcją!!!

Całka oznaczona – interpretacja geometryczna x y y=f(x) 0... a=x 0 b=x n x1x1 11 nn x n-1 22 x2x2 x2x2 xnxn x1x1 f(  1 )

Całka oznaczona – interpretacja geometryczna x y y=f(x) 0 ab

Całka oznaczona – interpretacja geometryczna x y y=f(x) 0 ab

Całka oznaczona – istnienie Twierdzenia: 1)Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym [a, b], to jest w tym przedziale całkowalna 2) twierdzenie „mocniejsze” Jeżeli funkcja f(x) jest ograniczona w przedziale domkniętym [a, b] oraz ciągła w nim z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, to jest w tym przedziale całkowalna

Własności całek oznaczonych Twierdzenia: 1) Zmiana granic całkowania 2)Stały czynnik można wyłączyć przed znak całki oznaczonej 3) (addytywność całki względem funkcji podcałkowej) Całka sumy jest sumą całek

Całka oznaczona-właściwości x y y=f(x) 0 ac 2) Addytywność całki względem przedziału całkowania Jeżeli a  b  c,to b

Związek pomiędzy całką oznaczoną i nieoznaczoną Twierdzenie (wzór Newtona-Leibniza): Jeżeli funkcja F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), ciągłej w przedziale [a, b] (tzn. F’(x)=f(x) lub ∫ f(x)dx=F(x)+C), to Inne równoważne zapisy:

Całka oznaczona – przykłady Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji y=x 2 oraz y=x+2 x y y=x y=x 2

Całka niewłaściwa funkcji Całka właściwa: 1) przedział całkowania [a, b] jest skończony oraz 2) funkcja podcałkowa f(x) jest ograniczona w tym przedziale Całka niewłaściwa: 1) funkcja podcałkowa f(x) jest nieograniczona w tym przedziale (symbol jak całka właściwa)! 2) lub przedział całkowania [a, b] jest nieskończony

Całka niewłaściwa funkcji nieograniczonej w przedziale skończonym (ograniczonym) a/ Osobliwość w lewym końcu przedziału Niech funkcja f(x): 1/ jest określona w przedziale (a,b> 2/ jest całkowalna w przedziale, gdzie a<h<b, 3/ jest nieograniczona w każdym przedziale (a,h), co wyrażamy mówiąc, że funkcja f ma osobliwość w lewym końcu przedziału (a,b> y x abh

 Wówczas nie istnieje całka oznaczona (Riemanna)  Natomiast dla każdego h, a<h<b, istnieje całka oznaczona  I można rozważać istnienie granicy tej całki Jeśli granica ta istnieje i jest skończona, to granicę tą nazywamy całką niewłaściwą funkcji f(x) od a do b (z osobliwością w pkt. a i oznaczamy symbolem identycznym do całki oznaczonej mówimy, że całka niewłaściwa funkcji f od a do b istnieje, a całka jest zbieżna.

Jeżeli granica tej całki nie istnieje lub jest nieskończona, to mówimy, że całka niewłaściwa funkcji f od a do b nie istnieje, albo, że jest rozbieżna. Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale (a,b>, a funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f, to całka niewłaściwa funkcji f oda do b (z osobliwością w pkt a) wyraża się równością: Z zapisu tego wynika, że całka ta istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona granica

Całka niewłaściwa funkcji nieograniczonej 2/ Analogicznie możemy rozważyć osobliwość w prawym końcu przedziału y x abk

Całka niewłaściwa funkcji nieograniczonej 3/ Osobliwość na obu końcach przedziału y x abhkc

Całka niewłaściwa funkcji nieograniczonej 4/ Osobliwość wewnątrz przedziału y x abhkc

Całka niewłaściwa – przykład y 1 x210 k h 6

Całka niewłaściwa – przykłady całka rozbieżna !!!

Całka niewłaściwa w przedziale nieograniczonym (+  ) Jeżeli funkcja f(x) jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale skończonym [a, u] gdzie u>a oraz istnieje granica to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji f(x) w przedziale [a, +  ) i oznaczamy symbolem

Całka niewłaściwa w przedziale nieograniczonym (-  ) Przedział nieograniczony z prawej strony Jeżeli funkcja f(x) jest: 1/ określona w przedziale <a,  ) 2/ całkowalna w każdym przedziale, gdzie h>a to całkę niewłaściwą funkcji f od a do  definiujemy wzorem: ah x y

O ile granica ta istnieje i jest skończona, mówimy wówczas, ze całka funkcji f od a do  istnieje i jest zbieżna. Jeśli zaś granica ta nie istnieje lub jest nieskończona to mówimy, że całka funkcji f od a do  nie istnieje, albo, że jest rozbieżna. dla przedziału nieograniczonego z lewej strony

Całka niewłaściwa – przykład y 1 0 x -2-3

Całka niewłaściwa – przykłady

Elementarne wiadomości o równaniach różniczkowych

Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci F(x, y, y’)=0 w którym F jest funkcją trzech zmiennych, y jest niewiadomą funkcją zmiennej x określoną w pewnym przedziale, a y’ – pochodną tej niewiadomej funkcji. pochodna y’ (dy/dx) musi występować (występuje w sposób istotny), pozostałe argumenty nie muszą, tj. nie musi występować x lub y. Przykłady y–y’+x-1=0e x +y’=0 y’–3y=0y’+2=0

Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równanie różniczkowe F(x, y, y’)=0 można w pewnych przypadkach zapisać w następującej postaci: y’ = f(x,y) gdzie f jest jest funkcją ciągłą w pewnym obszarze D ∊ R 2 ; Jest to tzw. postać normalna.

Rozwiązanie szczególne równania różniczkowego Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną) równania różniczkowego F(x, y, y’)=0 nazywamy każdą różniczkowalna funkcję y=  (x), która spełnia to równanie dla każdej wartości x z pewnego przedziału. Wykres funkcji y=  (x) nazywamy krzywą całkową równania F(x, y, y’)=0 Przykład y’–2x=0 y=  (x)=x 2 Istnieje nieskończenie wiele rozwiązań szczególnych

Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego Rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) równania różniczkowego F(x, y, y’)=0 nazywamy funkcję y=  (x,C) która dla każdej wartości C należącej do pewnego przedziału jest rozwiązaniem szczególnym równania F(x, y, y’)=0. Rozwiązanie ogólne jest rodziną rozwiązań szczególnych tego równania Rozwiązanie szczególne otrzymujemy przyjmując konkretną stałą wartość C

Rozwiązanie równania różniczkowego – warunki początkowe Warunki początkowe rozwiązania: Warunek początkowy, to taka para liczb (x 0, y 0 ), która z wszystkich funkcji (będących rozwiązaniem ogólnym) pozwala wybrać jedną i ustalić C Żądamy, aby krzywa całkowa równania przechodziła przez punkt (x 0,y 0 ), tj. zagadnienie sprowadza się do wyznaczenia C 0 parametru C z równania y 0 =  (x 0,C 0 ) Po podstawieniu otrzymanej wartości C 0 do rozwiązania ogólnego otrzymujemy rozwiązanie szczególne spełniające warunki początkowe: y=  (x,C 0 )=  (x)

Rozwiązanie ogólne i szczególne – przykład x y 1 1 y=x 2 +3 y=x 2 -2 (...) (1,4)  rozwiązanie ogólne  rozwiązanie szczególne spełniające warunki początkowe

Rozwiązanie równania różniczkowego przez rozdzielenie zmiennych Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu postaci luby’= f(x) ∙ g(y) Metoda rozwiązania: rozdzielenie zmiennych całkowanie różniczek całka ogólna rozwiązanie ogólne

Równania różniczkowe - przykłady

Rozwiązanie równania różniczkowego przez rozdzielenie zmiennych – przykład Wyznacz równanie rozpadu promieniotwórczego. Liczba jąder dN atomów pierwiastka rozszczepionych w czasie dt jest proporcjonalna do liczby jąder atomowych istniejących. Współczynnik proporcjonalności jest ujemny (–  gdyż liczba nierozszczepionych jąder atomowych maleje w czasie, to stała rozpadu).\ Oblicz czas połowicznego zaniku pierwiastka  1/2.

Rozwiązanie równania różniczkowego przez rozdzielenie zmiennych – przykład N N0N0 0 t N 0 /2  1/2

Równanie Bernulliego Równanie różniczkowe postaci * Nazywamy równaniem Bernulliego; Równanie to sprowadzamy do równania liniowego wprowadzając nową niewiadomą, funkcję t=t(x): ** Mnożąc przez obie strony rów. * mamy i po uwzględnieniu w powyższym rów.** otrzymujemy r. liniowe

Literatura do cz. I  Krysicki W., Włodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa 1998  Steiner E., Matematyka dla chemików, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa 2001  K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow, Matematyka dla studentów studiów technicznych, tom 1, HELPMATH, Łódź, 2007

Symbol Newtona

Trójkąt Pascala