WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM ELEKTROMAGNETYZM WYKŁAD 3

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Plan wykładu Pole magnetyczne i jego wytwarzanie Pole magnetyczne ruchomych ładunków Pole przewodnika z prądem – prawo Biota-Savarta Ładunek w polu magnetycznym – siła Lorenza Przewodnik z prądem w polu magnetycznym, elektromagnes Oddziaływanie dwóch przewodników z prądem Zjawisko indukcji elektromagnetycznej – strumień indukcji magnetycznej, prawo indukcji Faradaya Reguła Lenza Indukcyjność własna i wzajemna Energia pola magnetycznego Drgania – obwody R, L, C, RLC Drgania elektromagnetyczne tłumione Drgania elektromagnetyczne wymuszone – rezonans

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Pole magnetyczne ruchomych ładunków

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Linie sił pola magnetycznego są zawsze zamknięte nie tak jak linie sił pola elektrycznego, które zaczynają się i kończą na ładunkach Linie sił pola magnetycznego Natężenie pola i linie sił pola magnetycznego Pole magnetyczne prezentujemy graficznie rysując tzw. linie pola magnetycznego czyli linie wektora indukcji magnetycznej B. Wektor B jest styczny do tych linii pola w każdym punkcie, a rozmieszczenie linii obrazuje wielkość pola - im gęściej rozmieszczone są linie tym silniejsze jest pole. Najsilniejsze pole występuje w pobliżu końców magnesu czyli w pobliżu biegunów magnetycznych

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Strumień indukcji magnetycznej dla  = 0 S

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Prawo Gaussa Prawo Gaussa dla pola magnetycznego: Strumień pola magnetycznego przechodzącego przez powierzchnię zamkniętą jest równy zero. S

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Prawo Ampera Obliczymy teraz całkę okrężną z wektora wzdłuż okręgu o promieniu R (cyrkulację wektora ) Wzór powyższy jest słuszny dla dowolnego obwodu L, a także w przypadku gdy przez pole S rozpięte na obwodzie L przepływają kilku prądów I r Indukcja pola magnetycznego w odległości r pochodząca od nieskończonego prostoliniowego przewodu w którym płynie prąd o natężeniu I: c

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Prawo Ampera r Jedną z cech pola jest wektor natężenia pola H a prądu jego natężenie I. Związek łączący te dwie wielkości jest treścią prawa Ampera. Aby ten związek wyprowadzić potrzebujemy cyrkulacji elektronów: lili Cyrkulacje wektora natężenia pola po zamkniętej linii sił pola magn jest równe sumie natężeń prądów objętych tą krzywą

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Prawo Ampera Pole na zewnątrz przewodnika. Natomiast jeżeli chcemy obliczyć pole wewnątrz przewodnika (pręta) to wybieramy kontur kołowy o promieniu r < R, gdzie R jest promieniem przewodnika. Wewnątrz konturu przepływa prąd i będący częścią całkowitego prądu I Obliczmy pole w odległości r od nieskończenie długiego prostoliniowego przewodnika, w którym płynie prąd o natężeniu I. Ponieważ linie pola B wytwarzanego przez przewodnik są współśrodkowymi okręgami więc jako drogę całkowania wybieramy okrąg o promieniu r. W każdym punkcie naszego konturu pole B jest do niego styczne (równoległe do elementu konturu dl).

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Siła Lorenza Na ładunek poruszający się w polu magnetycznym działa siła Lorentza: Jej kierunek i zwrot określa reguła prawej dłoni L

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Ruch ładunku w polu magnetycznym 1. Ładunek porusza się z prędkością v równolegle do B bo 2. Ładunek porusza się z prędkością v prostopadle do B 3. Ładunek porusza się z prędkością v skośnie do B

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Sektrometr masowy Symbol oznacza wektor skierowany przed płaszczyznę rysunku, a symbolem oznaczamy wektor skierowany za płaszczyznę rysunku.

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Siła działająca na przewodnik z prądem

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Oddziaływanie dwóch przewodników z prądem

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Przykład Rozpatrzmy prostokątną ramkę o bokach a i b umieszczoną w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B. Przez ramkę płynie prąd o natężeniu I, a normalna do płaszczyzny ramki tworzy kąt θ z polem B Działanie pola magnetycznego na zamknięty obwód z prądem Rozpatrujemy siłę działającą na każdy z boków. Siły F b działające na boki b znoszą się wzajemnie. Siły F a działające na boki a też się znoszą ale tworzą parę sił dającą wypadkowy moment siły obracający ramkę

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Magnetyczny moment dipolowy Wektor μ jest prostopadły do płaszczyzny ramki z prądem. Pole magnetyczne działa więc na ramkę z prądem momentem skręcającym  obracając ją tak jak igłę kompasu, która umieszczona w polu magnetycznym obraca się ustawiając zgodnie z polem. Obracając dipol magnetyczny pole magnetyczne wykonuje pracę i wobec tego dipol posiada energię potencjalną która jest związana z jego orientacją w zewnętrznym polu magnetycznym dana jest równaniem

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Magnetyczny moment dipolowy Energia osiąga minimum dla momentu dipolowego μ równoległego do zewnętrznego pola magnetycznego B, a maksimum gdy moment dipolowy jest skierowany przeciwnie do pola

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Strumień pola można więc zapisać: Zasada superpozycji – prawo Biota-Savarta Zgodnie z zasadą superpozycji pól magnetycznych indukcja B w dowolnym punkcie pola magnetycznego przewodnika, przez który przepływa prąd o natężeniu I, równa jest sumie wektorowej indukcji  B i, elementarnych pól magnetycznych wytwarzanych przez poszczególne odcinki  l i tego przewodnika

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Wprowadźmy wektor dl którego moduł równy jest długości elementu przewodnika, a kierunek pokrywa się z kierunkiem prądu elektrycznego : Zasada superpozycji – prawo Biota-Savarta Prawo Biota - Sawarta daje możliwość znalezienia indukcji pola magnetycznego prądu, płynącego w przewodniku o skończonych wymiarach i dowolnym kształcie.

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM O powstawaniu siły elektromotorycznej indukcji SEM decyduje szybkość zmian strumienia magnetycznego  B.Ilościowy związek przedstawia prawo Faradaya. Prawo indukcji Faraday’a Analogicznie jak strumień pola elektrycznego E, strumień pola magnetycznego B przez powierzchnię S: W jednorodnym polu magnetycznym wyrażenie upraszcza się do postaci

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Prawo indukcji Faraday’a Zjawisko indukcji elektromagnetycznej polega na powstawaniu siły elektromotorycznej SEM w obwodzie podczas przemieszczania się względem siebie źródła pola magnetycznego i tego obwodu. W obwodzie zamkniętym SEM indukcji wywołuje przepływ prądu indukcyjnego i w powstanie wytwarzanego przez ten prąd indukowanego pola magnetycznego

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Prawo indukcji Faraday’a Strumień zmienia zarówno swoją wartość jak i znak, więc indukowana jest zmienna SEM. Jeżeli ramka obraca się z prędkością kątową ω = α/t to strumień jest wówczas równy: W równaniu przedstawiającym prawo Faradaya występuje znak minus. Dotyczy on kierunku indukowanej SEM w obwodzie zamkniętym. Ten kierunek możemy wyznaczyć na podstawie reguły Lenza.

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Reguła Lentza Prąd indukowany ma taki kierunek, że wytwarzany przez niego własny strumień magnetyczny przeciwdziała pierwotnym zmianom strumienia, które go wywołały. Prąd indukowany wytwarza pole przeciwne do pola magnesu przy jego zbliżaniu, a zgodne z polem magnesu przy jego oddalaniu

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Rozpatrzmy obwód w kształcie prostokątnej pętli jest wyciągany z obszaru stałego pola magnetycznego (prostopadłego do pętli) ze stałą prędkością v. Reguła Lentza Jeżeli ramka przesuwa się o odcinek Δx to obszar ramki o powierzchni ΔS wysuwa się z pola B i strumień przenikający przez ramkę maleje o Jeżeli ta zmiana nastąpiła w czasie Δt to zgodnie z prawem Faradaya wyindukowała się siła elektromotoryczna

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Indukcyjność Urządzeniem, w którym wykorzystano zjawisko indukcji elektromagnetycznej jest transformator. W urządzeniu tym dwie cewki są nawinięte na tym samym rdzeniu (często jedna na drugiej). Jedna z tych cewek jest zasilana prądem przemiennym wytwarzającym w niej zmienne pole magnetyczne, które z kolei wywołuje SEM indukcji w drugiej cewce. Ponieważ obie cewki obejmują te same linie pola B to zmiana strumienia magnetycznego jest w nich jednakowa. Zgodnie z prawem Faradaya gdzie N 1 jest liczba zwojów w cewce pierwotnej, a N 2 liczbą zwojów w cewce wtórnej

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Indukcyjność własna O zjawisku indukcji możemy mówić również w przypadku pojedynczego obwodu. Prąd płynący w obwodzie wytwarza bowiem własny strumień magnetyczny, który przenika przez ten obwód Gdy natężenie prądu przepływającego przez obwód zmienia się to zmienia się też, wytworzony przez ten prąd, strumień pola magnetycznego przenikający obwód, więc zgodnie z prawem indukcji Faradaya indukuje się w obwodzie SEM L- indukcyjność [H=T m 2 /A] Zatem

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Indukcyjność cewki Strumień pola magnetycznego jest równy Indukcyjność L podobnie jak pojemność C zależy tylko od geometrii układu. Indukcyjność cewki możemy zwiększyć wprowadzając do niej rdzeń z materiału o dużej względnej przenikalności magnetycznej μ r.

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM  21 – wytworzony przez cewkę 1, a przenika cewkę 2 Indukcyjność wzajemna

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Energia pola magnetycznego Jeżeli w jakimś punkcie przestrzeni istnieje pole elektryczne o natężeniu E to możemy uważać, że w tym punkcie jest zmagazynowana energia w ilości Podobnie energia może być zgromadzona w polu magnetycznym. Rozważmy na przykład obwód zawierający cewkę o indukcyjności L. Jeżeli do obwodu włączymy źródło SEM (np. baterię) to prąd w obwodzie narasta od zera do wartości maksymalnej I 0. Zmiana prądu w obwodzie powoduje powstanie na końcach cewki różnicy potencjałów ΔV (SEM indukcji ε) przeciwnej do SEM przyłożonej

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Plan wykładu Drgania – obwody R, L, C, RLC Drgania elektromagnetyczne tłumione Drgania elektromagnetyczne wymuszone – rezonans Równania Maxwella

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Drgania elektromagnetyczne Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L (cewki) i pojemności C (kondensatora). Przyjmijmy, że opór elektryczny (omowy) obwodu jest równy zeru (R = 0). W dowolnej chwili energia zawarta w polu elektrycznym kondensatora wynosi: W dowolnej chwili energia zmagazynowana w polu magnetycznym cewki wynosi: LC

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM a) W chwili początkowej na kondensatorze C jest nagromadzony ładunek q, prąd w obwodzie nie płynie. W takiej sytuacji energia zawarta w kondensatorze jest maksymalna. b) Kondensator zaczyna rozładowywać się. W obwodzie zaczyna płynąc prąd o natężeniu I = dQ/dt. W miarę jak maleje ładunek na kondensatorze maleje też energia zawarta w polu elektrycznym kondensatora, a rośnie energia pola magnetycznego, które pojawia się w cewce w miarę narastania w niej prądu. c) Gdy ładunek spadnie do zera cała energia jest przekazana do pola magnetycznego cewki. Jednak pomimo, że kondensator jest całkowicie rozładowany prąd dalej płynie w obwodzie (w tym samym kierunku). Jego źródłem jest SEM samoindukcji powstająca w cewce, która podtrzymuje słabnący prąd. d) Prąd ten ładuje kondensator (przeciwnie) więc energia jest ponownie przekazywana do kondensatora. e) Ładunek na kondensatorze osiąga maksimum i prąd w obwodzie zanika. Stan końcowy jest więc taki jak początkowy tylko kondensator jest naładowany odwrotnie. Drgania elektromagnetyczne

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Drgania elektromagnetyczne Sytuacja powtarza się, tylko teraz prąd rozładowania kondensatora będzie płynął w przeciwnym kierunku. Mamy więc do czynienia z oscylacjami (drganiami) ładunku (prądu). Zmienia się zarówno wartość jak i znak (kierunek) ładunku na kondensatorze i prądu w obwodzie. Opiszmy ilościowo powyższą sytuację porównując ją do drgania klocka przymocowanego do sprężyny: Klocek-sprężyna Obwód LC

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Drgania elektromagnetyczne Całkowita energia układu klocek-sprężyna: Jeżeli układ porusza się bez tarcia to energia układu klocek-sprężyna nie zmienia się w czasie więc dE/dt=0:

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Drgania elektromagnetyczne Całkowita energia układu LC: Skoro w naszym obwodzie R=0 to nie ma E termicznej i E nie zmienia się w czasie więc dE/dt=0:

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Drgania elektromagnetyczne Możemy też skorzystać bezpośrednio z II prawa Kirchhoffa dla naszego obwodu:

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Drgania elektromagnetyczne Uwzględniając, że

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM SZEREGOWY UKŁAD RLC Całkowita energia układu RLC:

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM W tym przypadku w naszym obwodzie R‡0 więc E termiczna występuje i szybkość jej zmian wynosi: Znak – pokazuje, że E maleje SZEREGOWY UKŁAD RLC - DRGANIA TŁUMIONE

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM Energia pola elektrycznego zmienia się okresowo zgodnie z funkcją cos w kwadracie, a amplituda tych zmian maleje wykładniczo w czasie SZEREGOWY UKŁAD RLC - DRGANIA TŁUMIONE

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM SZEREGOWY UKŁAD RLC - DRGANIA WYMUSZONE Jeżeli do obwodu RLC dołączona zostanie zewnętrzna siła elektromotoryczna  to takie drgania ładunku, napięcia i natężenia prądu nazywamy wymuszonymi. Zachodzą z częstością drgań wymuszonych  w Zanim opiszemy powyższy obwód, najpierw przeanalizujmy trzy proste obwody składające się ze źródła SEM i jednego elementu z powyższego obwodu tzn. R, L, C

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM OBCIĄŻENIE OPOROWE Amplitudy napięcia i natężenia prądu dla czysto oporowego obciążenia związane są zależnością: Korzystając z II prawa Kirchhoffa dla tego obwodu:

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM OBCIĄŻENIE OPOROWE

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM OBCIĄŻENIE POJEMNOŚCIOWE Stosując II prawa Kirchhoffa dla tego obwodu znajdujemy napięcie na okładkach kondensatora: Różniczkując to równanie otrzymamy prąd I Wprowadźmy wielkość zwaną reaktancją pojemnościową

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM OBCIĄŻENIE POJEMNOŚCIOWE Zastąpmy sin funkcją cos przesuniętą w fazie: Prąd I wyniesie wówczas: Lub inaczej: Amplitudy napięcia i natężenia prądu dla czysto pojemnościowego obciążenia związane są zależnością:

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM OBCIĄŻENIE POJEMNOŚCIOWE

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM OBCIĄŻENIE POJEMNOŚCIOWE Stosując II prawa Kirchhoffa dla tego obwodu znajdujemy napięcie na okładkach kondensatora: Całkując to równanie otrzymamy prąd I Wprowadźmy wielkość zwaną reaktancją indukcyjną

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM OBCIĄŻENIE POJEMNOŚCIOWE Zastąpmy -cos funkcją sin przesuniętą w fazie: Prąd I wyniesie wówczas: Lub inaczej: Amplitudy napięcia i natężenia prądu dla czysto indukcyjnego obciążenia związane są zależnością:

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM OBCIĄŻENIE POJEMNOŚCIOWE

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM SZEREGOWY UKŁAD RLC - DRGANIA WYMUSZONE

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM SZEREGOWY UKŁAD RLC - DRGANIA WYMUSZONE Wróćmy do naszego obwodu RLC. Z II prawa Kirchhoffa dla tego obwodu wynika, że: Korzystając z wykresów wskazowych: I ze związków amplitud: Otrzymamy wzór na prąd I:

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM SZEREGOWY UKŁAD RLC - DRGANIA WYMUSZONE Wyrażenie z mianownika nosi nazwę impedancji lub zawady: Korzystając z powyższej zależności wzór na prąd I wyniesie: Zaś faza początkowa  wyniesie:

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM SZEREGOWY UKŁAD RLC - DRGANIA WYMUSZONE charakter indukcyjny charakter pojemnościowy stan rezonansu

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM SZEREGOWY UKŁAD RLC - REZONANS Dla danego R amplituda drgań osiąga maksimum gdy wyrażenie w nawiasie w mianowniku = 0 Czyli gdy: Częstość kołowa drgań wymuszonych ω jest równa częstości kołowej drgań swobodnych ω r (rezonansowych - własnych drgań obwodu)

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM MOC W OBWODACH PRĄDU ZMIENNEGO W układzie RLC energia dostarczana jest przez źródło prądu zmiennego. Pewna jej część gromadzona jest w polu elektrycznym kondensatora, inna w polu magn cewki oraz rozpraszana na oporniku w postaci energii termicznej. Chwilowa szybkość rozpraszania energii (moc chwilowa) wyniesie: I = I max sin(  t) P = I 2 R = [(I max ) sin(  t)] 2 R P = (I max ) 2 R sin 2 (  t) U sk = 230VU max = 325V

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM RÓWNANIA MAXWELLA – Pierwsze równanie

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM RÓWNANIA MAXWELLA – Drugie równanie

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM RÓWNANIA MAXWELLA – Trzecie i czwarte równanie

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM RÓWNANIA MAXWELLA – Postać całkowa Prawo Ampera Prawo Coulomba Prawo Gaussa dla pola elektrycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Prawo indukcji Faradaya

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM RÓWNANIA MAXWELLA – Postać różniczkowa Prawo Ampera Prawo Coulomba Prawo Gaussa dla pola elektrycznego Prawo Gaussa dla pola magnetycznego Prawo indukcji Faradaya

WYKŁAD 3-4 ELEKTROMAGNETYZM PRĄD PRZESUNIĘCIA