Liczby 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …(i tak dalej) nazywamy liczbami naturalnymi. Tak jak z liter tworzy się słowa, tak z cyfr tworzymy liczby. Dowolną liczbę naturalną w systemie używanym przez nas można zapisać za pomocą cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, przy czym znaczenie cyfry zależy od miejsca, które ona zajmuje w zapisie liczby. Na przykład 4087 to 4 tysiące, 0 setek, 8 dziesiątek i 7 jedności.

Zbiór liczb całkowitych można zdefiniować jako rozszerzenie zbioru liczb naturalnych o wszystkie wyniki operacji odejmowania liczb naturalnych od zera. Mówiąc prosto jest to zbiór składający się z zera oraz wszystkich ciągów (1, 2, 3, 4, …) oraz (- 1, -2, -3, -4, …).

7 5 4 9 1 8 2 6 10 3

5 4 -1 3 -2 -4 -3 1 -5 2

Na liczbach naturalnych określamy intuicyjnie podstawowe działania arytmetyczne: dodawanie, mnożenie. Wyniki tych dwóch działań wykonanych na liczbach naturalnych zawsze należą do zbioru liczb naturalnych. 7zł 3 15zł

Inaczej sprawa wygląda z operacjami odwrotnymi (wynikiem odejmowania może być liczba ujemna, a wynikiem dzielenia liczba wymierna).

Wyróżniamy cztery działania na liczbach całkowitych Wyróżniamy cztery działania na liczbach całkowitych. Są to: dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie. •

Pierwsze z działań - dodawanie - polega na łączeniu kilku części w jedną całość - sumę. 18 + 6 = 24 4 + 5 = 9 składnik składnik suma 52 + 17 = 69 3 + 4 = 7

Drugie z nich – odejmowanie – polega na zmniejszeniu jednej wielkości o drugą. 8 - 1 = 7 9 odjemna odjemnik różnica 3= 27 - 6 = 21 - 34 - 29 = 5 6

Można to zapisać również tak: Trzecie – mnożenie – to dodawanie do siebie pewnej liczby tyle razy, ile wyznacza druga. Można to zapisać również tak: 4 * 15 = 60 • 2 7 * 8 = 56 5 * 25 = 125 4 * 2 = 8

Ostatnie z działań – dzielenie – to czynność sprawdzająca ile razy dana liczba zmieści się w innej. Niestety, NIE WSZYSTKIE PARY LICZB CAŁKOWITYCH MOŻNA PRZEZ SIEBIE PODZIELIĆ!!! 9 : 3 = 3 90 : 9 = 10 60 : 5 = 12 6 : 2 = 3

Kasia i Marek liczą kwiatki rosnące w ich ogródku. Marek zapisał tak: 3 • 3 + 2 Kasia obliczyła, że mają 15 kwiatków, a Marek uważa, że 11. Marek zapomniał o nawiasach. Prawidłowy zapis wygląda tak: 3 • (3 + 2) Dlaczego ich wyniki się różnią? Gdzie popełniły błąd?

Najpierw wykonujemy działania w nawiasach. 10 : (5 – 3) Jeśli jest kilka nawiasów, to najpierw wykonujemy działanie w tym nawiasie, który nie ma wewnątrz już żadnych innych nawiasów. 100 – [2 • (15 + 5) – 4] Mnożenie i dzielenie wykonujemy przed dodawaniem i odejmo- waniem. 10 + 48 : 4

Kolejność wykonywania działań na liczbach naturalnych ( )

12 : 2 • 3 Jak liczyć, gdy mamy dwa działania i nie ma nawiasu? Jest mnożenie i dodawanie (lub odejmowanie) Jest dzielenie i dodawanie (lub odejmo- wanie) Nie ma mnożenia ani dzielenia Jest mnożenie i dzielenie Wykonuj po kolei od lewej do prawej strony Wykonuj po kolei od lewej do prawej strony Najpierw pomnóż Najpierw podziel 5 + 6 • 2 5 – 6 : 2 5 – 2 + 6 12 : 2 • 3 3 6 12 3 18 9 17 2

Reszta z tego dzielenia jest równa 0, więc mówimy, że liczba 15 jest podzielna przez 5 lub, że 15 dzieli się przez 5. 15 : 5 = 3 r. 0 Reszta z tego dzielenia nie jest równa 0, wiec mówimy, że liczba 17 nie jest podzielna przez 5 lub, że 17 nie dzieli się przez 5. 17 : 5 = 3 r. 2 Liczba 35 jest podzielna przez następujące liczby: 1, 5, 7 i 35. Mówimy, że liczby 1, 5, 7, i 35 to dzielniki liczby 35.

4 • 0 = 0 Każda z tych liczb jest wynikiem pomnożenia liczby 4 przez jakąś liczbę naturalną. 4 • 1 = 4 4 • 2 = 8 Takie liczby nazywamy wielokrotnościami liczby 4. 4 • 3 = 12 4 • 4 = 16 ... Liczby: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 ... To wielokrotności liczby 4.

Liczby, które są podzielne przez 2, nazywamy liczbami parzystymi. Pamiętaj, że liczba 0 też jest liczbą parzystą! Cztery cukierki 4 : 2 = 2 Liczby, które nie są podzielne przez 2, nazywamy liczbami nieparzystymi. Trzy cukierki 3 : 2 = 1 r. 1

Chcąc sprawdzić, czy liczba naturalna jest podzielna przez 2, wystarczy sprawdzić, czy jej ostatnia cyfra dzieli się przez 2 (a więc ostatnia cyfrą musi być 0, 2, 4, 6 lub 8). Chcąc sprawdzić, czy liczba naturalna jest podzielna przez 5, wystarczy sprawdzić, czy jej ostatnia cyfra dzieli się przez 5 (a więc ostatnia cyfrą musi być 0 lub 5). Chcąc sprawdzić, czy liczba naturalna jest podzielna przez 10, wystarczy sprawdzić jej ostatnią cyfrę - musi być 0.

Chcąc sprawdzić, czy liczba naturalna jest podzielna przez 3, wystarczy sprawdzić, czy suma jej cyfr dzieli się przez 3. Na przykład: Liczba 11301 jest podzielna przez 3, bo suma jej cyfr (1 + 1 + 3 + 0 + 1) wynosi 6, a 6 dzieli się przez 3. Chcąc sprawdzić, czy liczba naturalna jest podzielna przez 9, wystarczy sprawdzić, czy suma jej cyfr dzieli się przez 9. Na przykład: Liczba 81450 jest podzielna przez 9, bo suma jej cyfr (8 + 1 + 4 + 5 + 0) wynosi 18, a 18 dzieli się przez 9.

+ = 2 + 2 = 4 Suma dwóch liczb parzystych jest liczbą parzysta. + = 3 + 3 = 6 Suma dwóch liczb nieparzystych jest liczbą parzystą. + = 2 + 3 = 5 Suma liczby parzystej i nie parzystej jest liczbą nieparzystą.

Na poniższym rysunku przedstawiono drzewo genealogiczne Na poniższym rysunku przedstawiono drzewo genealogiczne. Ty też posiadasz swoje drzewo.

Myślałeś kiedyś o tym, ilu prapradziadków posiadałeś Myślałeś kiedyś o tym, ilu prapradziadków posiadałeś? Odpowiedź może być prostsza niż myślisz!

2 rodzice 2 • 2 = 4 dziadkowie pradziadkowie 2 • 2 • 2 = 8 2 • 2 • 2 • 2 = 16 prapradziadkowie praprapradziadkowie 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32

Liczba osób w kolejnych pokoleniach przodków to iloczyny dwójek Liczba osób w kolejnych pokoleniach przodków to iloczyny dwójek. Takie iloczyny możemy zapisać w postaci potęgi. Czytamy: 2 • 2 = 22 dwa do potęgi drugiej lub kwadrat liczby 2 2 • 2 • 2 = 23 dwa do potęgi trzeciej lub sześcian liczby 2 2 • 2 • 2 • 2 = 24 dwa do potęgi czwartej 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 25 dwa do potęgi piątej

Przykłady potęg: Liczę, ile jest talerzy na trzech stołach: 3 • 3 3 • 3 = 32 = 9

Potęga to wielokrotne mnożenie tej samej liczby Czyli: 3 • 3 • 3 = 33 Potęgi 4 • 4 • 4 = 43 5 • 5 • 5 • 5 = 54

54 Wykładnik potęgi Podstawa potęgi Podstawa potęgi to liczba którą mnożymy Wykładnik potęgi określa ile razy mnożymy podstawę

5 • 5 • 5 • 5 = 54 Weźmy na przykład to 5 • 5 • 5 • 5 = 54 Suma tych liczb równa się wykładnikowi 5 • 5 • 5 • 5 = 54 Podstawa potęgi

A jeśli podstawa potęgi jest ujemna? To proste, jeśli wykładnik jest parzysty (2, 4, 6 itd.) wynik będzie dodatni, a jeśli nieparzysty (1, 3, 5 itd.) wynik będzie ujemny (-5)4 = (-5) • (-5) • (-5) • (-5) = 625 (-3)3 = (-3) • (-3) • (-3) = (-27)

Mnożenie potęg o tej samej podstawie Mnożąc potęgi o jednakowych podstawach, wykładniki dodajemy, a podstawę zostawiamy nie zmienioną Spójrzmy na to inaczej... Czyli: 52 • 53 = 52+3 = 55 + Mnożenie potęg o tej samej podstawie • = = Inaczej: (5 • 5) • (5 • 5 • 5) = 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 55

Dzielenie potęg o tej samej podstawie Dzieląc potęgi o jednakowych podstawach,wykładniki odejmujemy, a podstawę zostawiamy bez zmian Podobnie jak poprzednio: Czyli: 55 : 53=55-3=52 Dzielenie potęg o tej samej podstawie - : = = Inaczej: (5 • 5 • 5 • 5 • 5) : (5 • 5 • 5) = = 5 • 5 = 52

Potęgowanie iloczynu (5 • 4)2 = 52 • 42 = 202 Inaczej: Potęga iloczynu jest równa iloczynowi potęg Czyli: (5 • 4)2 = 52 • 42 = 202 Potęgowanie iloczynu Inaczej: 5 • 5 • 4 • 4 = (5 • 4) • (5 • 4) = 20 • 20 = 202

Potęgowanie ilorazu (4 : 2)2 = 42 : 22 = 22 Potęga ilorazu jest równa ilorazowi potęg Czyli: (4 : 2)2 = 42 : 22 = 22 Potęgowanie ilorazu

Potęgowanie potęgi (52)5 = (5)2 • 5 = 510 Inaczej: Potęgując potęgę, wykładniki mnożymy, a podstawę pozostawiamy bez zmian Czyli: (52)5 = (5)2 • 5 = 510 Potęgowanie potęgi Inaczej: (5 • 5) • (5 • 5) • (5 • 5) • (5 • 5) • (5 • 5) = 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5 = 510

Każdy z nas nieustannie korzysta z liczb naturalnych w życiu codziennym. Używamy ich w postaci pieniędzy… widzimy je na kartkach kalendarza oraz na tarczach zegarów…

Pomagają nam w życiu codziennym… % 3 6/2=3 100 2+2=? 2784 …i ułatwiają nam komunikację. 0,8

Korzystamy z nich podczas nauki w szkole, w pracy oraz podczas większości codziennych czynności.

Trochę inaczej jest z ujemnymi liczbami całkowitymi... Spotykamy się z nimi niezbyt często- zazwyczaj przy określaniu temperatury, terenów poniżej poziomu morza czy przy pożyczkach i kredytach.

Tak więc, z liczbami całkowitymi mamy do czynienia każdego dnia i w każdym miejscu. 31 -8 4 7