Treść dzisiejszego wykładu l Weryfikacja statystyczna modelu ekonometrycznego –błędy szacunku parametrów, –istotność zmiennych objaśniających, –autokorelacja, –heteroskedastyczność. l Zmienne zero-jedynkowe

Weryfikacja statystyczna modelu l Badanie liniowości modelu l Badanie normalności rozkładu składnika losowego l Badanie autokorelacji składnika losowego l Badanie homoskedastyczności składnika losowego l Badanie istotności zmiennych objaśniających

Błędy szacunku parametrów l Macierz kowariancji estymatora a: D 2 (a) =  2 (X T X) -1 Estymator wariancji  2  składnika losowego: l Estymator macierzy kowariancji estymatora a: Średni błąd szacunku parametru  j : Średni względny błąd szacunku parametru  j :

Przykład l Oszacowany model: l Oszacowanie wariancji składnika losowego: S 2 = 0.75S = 0.87 l Średnie błędy szacunku dla zmiennej –X 1 :0.68 –X 2 :0.87 l Oszacowany model: l Średnie względne błędy szacunku dla zmiennej –X 1 :272% –X 2 : 16%

Przykład

Istotność zmiennych objaśniających l Badanie, czy dana zmienna objaśniająca lub zbiór zmiennych objaśniających mają istotny wpływ na zmienną objaśnianą. l Istotność pojedynczej zmiennej - test t-Studenta: –Para hipotez: H 0 :  j  = 0, H 1 :  j  0. –Statystyka testowa : ma rozkład t-Studenta z = n - (k + 1) stopniami swobody. –Wnioskowanie: jeśli |t| > t ,  odrzucamy H 0  zmienna X j jest istotna, jeśli |t|  t ,  nie ma podstaw do odrzucenia H 0  zmienna X j jest nieistotna

Przykład l Oszacowany model: Liczba stopni swobody:  = 2. Poziom istotności:  = 0,05. Wartość krytyczna:t 0.05; = 4,3027. l Wartości testowe: –X 1 :-0,37, –X 2 : 6,35. l Zmienne istotne: –tylko X 2.

Istotność zmiennych objaśniających l Istotność zmiennych - test F: –Para hipotez: H 0 :  1 =  2 =... =  k = 0, H 1 :  1  0 lub  2  0 lub... lub  k  0. –Statystyka testowa: ma rozkład F-Snedecora z r 1 = k i r 2 = n - (k + 1) stopniami swobody. –Wnioskowanie: jeśli F > F ,r1,r2  odrzucamy H 0  przynajmniej jedna zmienna objaśniająca jest istotna, jeśli F  F ,r1,r2  nie ma podstaw do odrzucenia H 0  żadna zmienna objaśniająca nie jest istotna.

Przykład l Liczba stopni swobody licznika:r 1 = 2. l Liczba stopni swobody mianownika:r 2 = 2. l Wartość krytyczna:F 0,05;2;2 = 19,00 l Statystyka testowa:F* = 180,33. l Wniosek: R 2 jest istotne.

Autokorelacja składników losowych model standardowy, ale D 2 (  ) =  =  2 . Autokorelacja składników losowych - sytuacja, gdy składniki losowe dotyczące różnych obserwacji są skorelowane, a więc gdy macierz  nie jest diagonalna. l Przyczyny autokorelacji: –natura niektórych procesów gospodarczych, –psychologia podejmowania decyzji, –niepoprawna postać funkcyjna modelu, –wadliwa struktura dynamiczna modelu, –pominięcie w specyfikacji modelu ważnej zmiennej, –zabiegi na szeregach czasowych

Schemat autoregresyjny pierwszego rzędu: AR(1) l Założenia: –stacjonarny proces stochastyczny, –homoskedastyczność. l Macierz kowariancji składników losowych  s - współczynnik korelacji pomiędzy składnikami losowymi, odległymi o s okresów.

Schemat autoregresyjny pierwszego rzędu: AR(1) l Założenie:  t =  t-1 +  t, gdzie  - współczynnik autokorelacji,  -  składnik losowy spełniający: E(  ) =0, D 2 (  ) =    I. l Wariancja składnika losowego: D 2 (  t ) =  2 =   2 / (1 -  2 ) l Macierz kowariancji składników losowych:

Skutki autokorelacji l Estymator MNK jest nieefektywny, ale jest nieobciążony. l Estymator wariancji estymatorów MNK jest obciążony. l Średnie błędy szacunku są niedoszacowane. l Wartości statystyk t są przeszacowane. l Przeszacowany jest współczynnik determinacji.

Skutki autokorelacji

Uogólniona MNK Założenie:D 2 (  ) =  2  i wszystkie parametry są znane. l Estymator UMNK (estymator Aitkena) jest BLUE: a = (X T  -1 X) -1 X T  -1 y l W przypadku procesu AR(1):

Estymatory współczynnika autokorelacji l współczynnik korelacji reszt l skorygowany współczynnik korelacji reszt: l estymator nieobciążony

Testowanie zjawiska autokorelacji l Test Durbina-Watsona –Para hipotez: H 0 :  = 0, H 1 :  > 0 (jeśli est.  > 0) lub  < 0 (jeśli est.  < 0). –Statystyka testowa:

Wnioskowanie w teście Durbina-Watsona odrzucić H 0 - autokorelacja dodatnia obszar niekonkluzywności obszar niekonkluzywności odrzucić H 0 - autokorelacja ujemna nie ma podstaw do odrzucenia H 0 0dLdL dUdU 24 - d U 4 - d L 4

Przykład l Statystyka testowa:DW = 2, d L = 0,946 d U = 1, d U = 2, d L = 3,054 4 l Wniosek: brak autokorelacji.

Heteroskedastyczność Heteroskedastyczność - zjawisko polegające na niejednorodności wariancji składników losowych w obrębie próby. Elementy leżące na głównej przekątnej macierzy  = D  (  )  nie są jednakowe. l Skutki heteroskedastyczności: –estymatory MNK są nieefektywne, ale nieobciążone i zgodne, –obciążone są estymatory wariancji estymatorów parametrów strukturalnych.

Jak poznać heteroskedastyczność?

Testowanie heteroskedastyczności l Test Goldfelda - Quandta –Para hipotez: H 0 :  1 2  =  2 2, H 1 :  1 2  1 2. –Statystyka testowa:

Przykład l Pierwsza podpróba:obserwacje i l Druga podpróba:obserwacje l Ocena wariancji I:277100,40. l Ocena wariancji II:1739,40. l Statystyka testowa:159,31. l Wartość krytyczna:2,15. l Wniosek: wariancje w podpróbach są istotnie różne, zatem występuje heteroskedastyczność.

Zmienne zero - jedynkowe l Zmienna zero -jedynkowa - zmienna, która przyjmuje tylko dwie wartości jeden lub zero. l Wykorzystywane są do: –zastępowania zmiennych niemierzalnych, –wyróżniania pewnych okresów, –... l UWAGA: Możliwa dokładna współliniowość!