LICZBY NATURALNE I CAŁKOWITE Gimnazjum w Blachowni Hej, mam na imię Zbigniew! Jestem nauczycielem matematyki. Dziś wprowadzę was w cudowny świat liczb.

LICZBY NATURALNE to 0,1,2,3,4,5,6,7,8 itd. Zbiór wszystkich liczb naturalnych oznaczamy literą N. Pojęcie liczby naturalnej pojawiło się w związku z liczeniem przedmiotów i ustalaniem kolejności. Na pytanie „ile?” odpowiadamy np.: dwa jabłka, dwa ołówki, trzy żarówki itp.

Czy wiesz? Wspólną własnością różnych zbiorów: zbioru dwóch jabłek, dwóch ołówków jest posiadanie tej samej liczby elementów. Mówimy wówczas, że dwa jest liczbą kardynalną. Odpowiadając na pytanie „na którym miejscu?”, używamy zwrotów typu: drugi na mecie, drugi w kolejce itp. Teraz liczba dwa ustala miejsce, ustala kolejność w pewnym ciągu przedmiotów. Tak rozumianą liczbę nazywamy liczbą porządkową. W języku polskim liczby porządkowe mają postać: pierwszy, drugi itd. Liczby naturalne pojawiają się również w innych aspektach np. miarowym(związanym z mierzeniem wielkości), operatorowym(związanym z rozwiązywaniem działań arytmetycznych), kodującym(związanym z kodowaniem informacji).

DODAWANIE LICZB NATURALNYCH- działanie oznaczane krzyżykiem + (plus), które dowolnej parze liczb naturalnych m i n przyporządkowuje taką liczbę naturalną p, że zbiór, który jest złączeniem zbirów rozłącznych n- elementowego i m- elementowego jest zbiorem p- elementowego. Liczbę p zapisujemy jako m+ n lub wynikiem dodawania liczb m i n. Określenia suma używamy w dwóch formach, np. liczba 5 jest sumą liczb 2 i 3, wyrażenie 2+3 jest sumą liczb 2 i 3 liczby. Liczby, które dodajemy nazywamy składnikami = 5 ↨ ↨ ↨ składniki suma To już nasze drugie spotkanie! Dziś dowiemy się jak dodajemy liczby naturalne!

ODEJMOWANIE LICZB NATURALNYCH - działanie odwrotne do dodawania liczb naturalnych. Np. 8-3=5, bo 3+5=8. Ogólnie jeżeli m >n lub m= n, to istnieje dokładnie jedna taka liczba maturalna r, że m= n + r. Tak określoną liczbę r oznaczamy przez m- n i nazywamy różnicą liczb m i n (lub wynikiem odejmowania liczby n od m ). Odjemną nazywamy liczbę, od której odejmujemy, odjemnikiem-liczbę którą odejmujemy. Określenia różnica używamy w dwóch formach: liczba 4 jest różnicą liczb 7 i 3, wyrażenie 7-3 jest różnicą 7 i 3. Zauważmy, że w zbiorze liczb liczb naturalnych nie można od liczby mniejszej odjąć większej = 4 ↨ ↨ ↨ odjemna odjemnik różnica Odejmowanie liczb naturalnych to prosta sprawa. Wystarczy przeczytać powyższy tekst i już to rozumiesz.

MNOŻENIE LICZB NATURALNYCH- Działanie, oznaczane kropką ∙ (razy), polegające na wielokrotnym dodawaniu tej samej liczby, np. 3 ∙ 5=5+5+5 Ogólniej, dla dowolnych liczb naturalnych m i n. m ∙ n= n+n+...+n. Tak określoną liczbę m ∙ n nazywamy iloczynem liczb m i n. Liczby które mnożymy nazywamy czynnikami. Pierwszy czynnik nazywa się mnożną, drugi mnożnikiem. 3 ∙ 5 = 15 ↕ czynniki iloczyn Liczby które przez siebie mnożymy nazywamy czynnikami. Pierwszy czynnik nazywa się mnożną, drugi mnożnikiem. Natomiast wynik mnożenia to iloraz.

DZIELENIE LICZB NATURALNYCH- Działanie oznaczane dwukropkiem : (podzielić), odwrotne do mnożenia liczb naturalnych. Np. 18 : 3= 6, bo 6 *3=18. Ogólnie, dzielenie liczb naturalnych nie jest działaniem określonym dla wszystkich liczb naturalnych np. nie można wykonać dzielenia liczby 6 przez 4. Jeżeli jednak dla liczb naturalnych m i n istnieje taka liczba naturalna q, że m+ q* n, to mówimy, że: - m dzieli się przez n, - n jest dzielnikiem m - m jest wielokrotnością n. Tak określoną liczbę q nazywamy ilorazem(wynikiem dzielenia) m przez n- symbolicznie Q= m : n Liczbę, którą dzielimy, nazywamy dzielną, a przez którą dzielimy- dzielnikiem. 36 : 4 = 9 ↕ ↕ ↕ dzielna dzielnik iloraz

KOLEJNOŚĆ WYKONOWANIA DZIAŁAŃ: - w wyrażeniach liczbowych bez nawiasów w pierwszej kolejności obliczamy potęgowanie i pierwiastkowanie, później mnożenie i dzielenie, a następnie dodawanie i odejmowanie. Działania z każdej wymienionej pary działań wykonujemy w kolejności ich występowania. 6+24:4 ∙ 3= =24-15= ∙[17-4∙(1+9:3)]= 32-2∙(17-4∙4)= 32-2∙1=32-2=30 W przykładzie 6+24:4∙3-15 kolejność działań jest następująca: dzielenie, mnożenie, dodawanie, odejmowanie. W wyrażeniach liczbowych zawierających nawiasy w pierwszej kolejności wykonujemy działania w tych nawiasach, które nie zawierają nawiasów. Podczas tych obliczeń stosujemy kolejność podaną wyżej.

CECHA PODZIELNOŚCI - twierdzenie umożliwiające sprawdzenie, czy dana liczba naturalna podzieli się przez określoną liczbę bez wykonywania samego dzielenia. Liczba naturalna n dzieli się przez: 2, gdy jej ostatnią cyfrą jest 0,2,4,6 lub 8, np , gdy jej ostatnią cyfrą jest 0 lub 5, np. 135, ,gdy jej ostatnią cyfrą jest 0, np , gdy dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 4, np , gdy dwie ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 25, np , gdy trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8, np , gdy suma cyfr jest podzielna przez 3 9, gdy suma cyfr jest podzielna przez 9, np.162 WIELOKROTNOŚĆ LICZBY n- każda liczba postaci 1∙n, 2∙n, 3∙n... Np. liczba 65 jest wielokrotnością liczby 5, gdyż 65=5∙13

LICZBY CAŁKOWITE Liczby całkowite to np.. 0, 1, -1, 2, -2, 3, Każda liczba naturalna jest całkowita, czyli zbiór N wszystkich liczb naturalnych jest zawarty w zbiorze C wszystkich liczb całkowitych. Istnieją liczby całkowite, które nie są naturalne np..-3. Tak więc N jest podzbiorem właściwym zbioru C. Zbiór C wszystkich liczb całkowitych jest nieskończony.

DODAWANIE LICZB CAŁKOWITYCH- Przedstawiamy kilka przykładów ilustrujących dodawanie liczb całkowitych. Liczby te wraz z ich znakami będziemy pisać w nawiasach, a znaki działań- między tymi nawiasami. ODEJMOWANIEM LICZB CAŁKOWITYCH - dla dowolnych liczb całkowitych m i n istnieje ( zawsze!) dokładnie jedna liczba całkowita r taka, że m= n + r. Liczbę nazywamy różnicą liczb całkowitych m i n i oznaczamy ją m – n. Poszukiwanie różnicy r = m - n nazywamy odejmowaniem liczby n od m.

POTĘGA O WYKŁADNIKU NATURALNYM- Przez potęgę naturalną liczby rzeczywistej a 0 należy rozumieć skrócony zapis mnożenia liczby a prze samą siebie n razy: A n = a ∙ a ∙ a ∙a... Liczbę a nazywamy podstawą potęgi, liczbę n- wykładnikiem potęgi. Witajcie na kolejnej lekcji! Dzisiaj zajmiemy się czymś trudniejszym niż dotychczas, a mianowicie potęgowaniem. To trudny temat ale mam nadzieję, że dzięki minie uda wam się to zrozumieć.

POTĘGA O WYKŁADNIKU CAŁKOWITYM- Pojęcie potęgi o wykładniku całkowitym można wprowadzić w sposób poglądowy. Weźmy dwa ciągi, ciąg liczb naturalnych i odpowiadający mu ciąg potęg naturalnych liczby rzeczywistej a 0: 1, 2, 3,..., n,... a 1 =a, a 2, a 3,..., a n,... Czytając oba ciągi z prawa na lewo widać, że przejście w pierwszym ciągu od dowolnej liczby naturalnej do sąsiedniej mniejszej ma charakter skokowy, polegający na odejmowaniu jedynki, natomiast przejście w drugim ciągu od dowolnej liczby do sąsiedniej lewej polega na wykonaniu dzielenia przez a. Postępując we wskazany sposób, przy odjęciu jedynki od 1 otrzymujemy 0 oraz dzieląc przez a otrzymujemy 1, co zapisuje się a 0 =1. Podobnie odejmując jedynkę od 0 otrzymujemy –1 oraz dzieląc a 0 =1 przez a otrzymujemy 1 / a, co zapisuje się a -1 = ½. W podany sposób dochodzi się do definicji: A 0 = 1 a -n = 1 / a n.

To już koniec naszej nauki teraz przyszedł czas na sprawdzenie wiadomości! Przygotowałem dla was test sprawdzający. Przy każdym pytaniu kliknijcie odpowiedź, którą uważacie za słuszną, wtedy na ekranie waszego monitora wyświetli się czy udzieliliście prawidłowej odpowiedzi bądź nie! Na razie! WASZ PROFI!!!

1.Podaj wynik sumy liczb:9 i 7: a)a)16 b)b)17 c)c)2 2.Która grupa liczb jest zbiorem liczb naturalnych? a)a)7, -8, 9, -5 b)b)3, 3, 1 / 2 c)c)1, 4, 8 3.Jak nazywa się wynik odejmowania? a)a)odjemnik b)b)różnica c)c)iloraz

4.Jaka jest jest różnica liczb i 1023 a)a)10842 b)b)4566 c)c) Przedstaw za pomocą mnożenia wynik sumy liczb : a)a)8*5 b)b)8*8 c)c)8*4 6.Ile jabłek dostanie każde z 13 dzieci jeżeli jabłek jest 78: a)a)4 b)b)7 c)c)6

7.Jaka jest wspólna najmniejsza wielokrotność liczb 6 i 7: a)a)38 b)b)11 c)c)42 8.Która grupa przedstawia liczby całkowite: a)a)2,9,7,3 b)b)1, -4, 4,-8 c)c)wszystkie odpowiedzi są poprawne 9.Podaj sumę liczb –72+(-24) a)-a)-96 b)b)96 c)c)48

10.Podaj różnicę liczb –8-(-3) a) a) -5 b) b) -11 c)c)5 11.Czy 420 jest wielokrotnością 2: a) a) Tak b) b) Nie 12.Wybierz poprawne zdanie: a)a)Liczba 1456 jest wielokrotnością liczby 3 b) b) Liczba 936 jest wielokrotnością liczby 156 c)c)Liczba 1234 jest wielokrotnością liczby 6.

Spróbuj jeszcze raz

Opracowały: Sonia Wilk i Nina Nowacka Gimnazjum w Blachowni ul. Bankowa 13 Opiekun: Karolina Przybył I jak, spodobała Wam się matematyka? Ćwiczenia czynią mistrza! Wierzcie Mi. Powodzenia!