© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Metody optymalizacji Energetyka - studia stacjonarne I stopnia Wykład /2016 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wielocelowe programowanie liniowe

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Kryterium oceny decyzji/rozwiązania - pojedyncze kryterium: problemy jednokryterialne - wiele kryteriów: problemy wielokryterialne

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Problemy podejmowania decyzji wielokryterialnych mogą być ogólnie zakwalifikowane do dwóch kategorii:  problemy decyzji wieloatrybutowych (Multiple Attribute Decision Problem - MADP)  problemy decyzji wielocelowych (Multiple Objective Decision Problem - MODP)

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Problemy decyzji wieloatrybutowych Cechą wyróżniającą problemy decyzji wieloatrybutowych MADP jest to, że istnieje ograniczona (i przeliczalnie mała) liczba ustalonych wcześniej opcji decyzyjnych. Każda opcja posiada określony, związany z nią, poziom osiągnięcia uznanych za istotne przez decydenta atrybutów/cech (które niekoniecznie muszą być kwantyfikowalne) i na których podstawie podejmowana jest decyzja

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Problemy decyzji wielocelowych W przypadku problemów decyzji wielocelowych MODP nie określana jest wcześniej liczba opcji z wartościami właściwych dla problemu atrybutów. Zamiast tego problemy te posiadają: (1) zbiór kwantyfikowalnych celów na podstawie których podejmowana jest decyzja; (2) zbiór dobrze określonych ograniczeń na wartości różnorakich atrybutów (zmiennych decyzyjnych) możliwych opcji

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Porównanie: Cecha Problem MADPMODP Ocena oparta oAtrybutyCele CelNie wyrażany wprostWyraźnie określony AtrybutWyraźnie określonyNie wyrażany wprost Ograniczenie Nie występują (włączone w atrybuty) Występują Opcja Skończona liczba, dyskretne (wcześniej określone) Nieskończona liczba, (pojawiają się w trakcie procesu decyzyjnego)

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Zagadnienie wieloatrybutowe – przykład (Problem wyboru samolotów myśliwskich) Pewne państwo zdecydowało się zakupić flotę odrzutowych myśliwców w USA. Urzędnicy Pentagonu przedstawili informację o właściwościach czterech modeli, które mogą być sprzedane do tego kraju. Zespół analityków Sił Powietrznych zainteresowanego kraju zgodził się, że należy rozważać sześć charakterystyk (atrybutów). Są to: maksymalna prędkość (A1), zasięg latania (A2), maksymalny ładunek użyteczny (A3), koszt zakupu (A4), niezawodność (A5), manewrowalność (A6). Wartości tych atrybutów zostały przedstawione w tablicy Myśliwiec Atrybut A1A2A3A4A5A6 M średniab. wysoka M niskaśrednia M wysoka M średnia Który z samolotów powinien wybrać zainteresowany kraj, jeżeli chciałby mieć samolot jak najszybszy, o jak największym zasięgu, jak największej ładowności, jak najtańszy, jak najbardziej niezawodny i jak najwyższych zdolnościach manewrowych?

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Zagadnienie wielocelowe – przykład Firma produkuje dwa produkty. Kierownictwo zdecydowało, że pragnie znaleźć plan produkcji, który będzie:  maksymalizować całkowite zyski,  maksymalizować spodziewaną liczbę „opanowanych” części rynku,  spełnić ograniczenia procesowe (tj. dostępność surowca),  uniknąć nasycenia rynku (tj. być w stanie sprzedać wszystkie wyprodukowane wyroby Każda jednostka produktu 1 przynosi zysk w wysokości 3 jednostek pieniężnych, a drugiego 1 jednostkę. Ustalono, że każda sprzedana jednostka produktu 1 spowoduje zdobycie 2 jednostek udziału na rynku, a drugiego produktu 3 jednostek udziału. Ponadto wiadomo, że jednostka produktu 1 potrzebuje 2 jednostki surowca do wyprodukowania, a jednostka produktu 2 tylko 1 jednostkę oraz, że dostępnych jest w rozważanym przedziale czasu tylko 50 jednostek surowca. W końcu ekspertyza rynku wskazuje, że nie więcej niż 20 jednostek produktu 1 i nie więcej niż 30 jednostek produktu 2 powinno być produkowane w rozważanym przedziale czasu

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Wielocelowe programowanie liniowe Fakt: Większość literatury i podręczników z zakresu programowania liniowego ogranicza się do,,tradycyjnego”, to znaczy z pojedynczą funkcją celu, modelu liniowego Powód: Z punktu widzenia teorii optymalizacji bardziej dogodna matematycznie sytuacja - można bez ograniczeń mówić o poszukiwaniu rozwiązań optymalnych, wykorzystać ogólne pojęcia optymalności, itp.

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Wielość funkcji celu Nie będą nas interesowały przypadki, kiedy możliwe jest znalezienie całkowicie optymalnego rozwiązania Np. jeżeli dla przykładowego zagadnienia

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Wielość funkcji celu Rozwiązanie całkowicie optymalne Mówi się, że jest rozwiązaniem całkowicie optymalnym, wtedy i tylko wtedy, jeżeli istnieje takie, że

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Wielość funkcji celu Weźmy przykład – dwucelowe zagadnienie programowania liniowego

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Przedstawienie w przestrzeni opcji decyzyjnych (w przestrzeni decyzji)

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Transformacja

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Przedstawienie w przestrzeni kryteriów (w przestrzeni celów)

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Ogólne sformułowanie wielocelowego zagadnienia programowania liniowego; k - fukncji celu, m - ograniczeń gdzie

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Optymalizacja z jedną funkcją celu (jednocelowa)  Funkcja celu z odwzorowuje punkty przestrzeni decyzyjnej w R  W R istnieje naturalny kanoniczny porządek  Zdefiniowanie optymalnego rozwiązania np. minimalizacji jest proste Konsekwencja:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Optymalizacja z wieloma funkcjami celu (wielocelowa)  Funkcja celu z=[z 1, z 2,......, z k ] odwzorowuje punkty przestrzeni decyzyjnej w R k, k>1  Problem: W R k nie istnieje naturalny kanoniczny porządek  Istnieją różne pojęcia optymalności, które zależą od wybranego w R k porządku Konsekwencja:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Optymalizacja z wieloma funkcjami celu (wielocelowa) Wyboru porządku należy dokonać – np. zależnie od problemu decyzyjnego  Jeżeli można podać ranking funkcji celu – np. z 1 jest ważniejsza niż z 2, wybrany zostanie porządek leksykograficzny  Jeżeli interesują nas rozwiązania dla których poprawienie wartości jednej funkcji np. z 1 nie może się odbyć bez pogorszenia co najmniej jednej z pozostałych, wybrany zostanie porządek Pareto

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Rozwiązanie jest nazywane Pareto optymalnym, wtedy i tylko wtedy, jeżeli nie istnieje inny takie, że Rozwiązanie optymalne w sensie Pareto (rozwiązanie Pareto optymalne) Rozwiązanie jest nazywane Pareto optymalnym (minimalizacja), jeżeli nie istnieje Korzystając z określenia porządku Pareto, można to też sformułować: i

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Graficzne wyznaczenie zbioru Pareto dla pokazanego ostatnio przykładu a) w przestrzeni decyzji

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe b) w przestrzeni celów

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Alternatywy strategii poszukiwania rozwiązań Pareto-optymalnych I. Wykorzystanie klasycznych metod optymalizacji jednocelowej operujących na pojedynczych punktach przestrzeni decyzyjnej – wyrażenie preferencji decydenta odbywa się przed optymalizacją – poszukiwanyjest jeden punkt zbioru Pareto II. Wykorzystanie metod optymalizacji operujących na populacjach punktów przestrzeni decyzyjnej (np.. algorytmy genetyczne) – poszukiwanie zbioru Pareto – wyrażenie preferencji po optymalizacji

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Zadanie, które posłuży do ilustrowania jednego z podejść optymalizacji wielocelowej Firma produkuje dwa produkty. Zarząd wyraził życzenie, aby znaleźć program produkcji, który:  maksymalizuje całkowity zysk,  maksymalizuje spodziewaną,,przechwytywaną” część rynku (udziały na rynku),  spełnia ograniczenia procesu produkcji (tzn. dostępności surowców),  nie doprowadza do nasycenia rynku (tzn. mamy możliwość sprzedania całej wytworzonej produkcji). Ponadto wiadomo:  jedna jednostka produktu 1. zapewnia dochód w wysokości 3 jednostek pieniężnych (jp.), a jedna jednostka produktu jp.;  oszacowano, że każda sprzedana jednostka produktu 1. powiększy rynek o dwie jednostki udziału na rynku, a jedna jednostka produktu 2. - o 3 jednostki;  wytworzenie jednostki produktu 1. wymaga zużycia 2 jednostek surowca, a jednostki produktu jednostki; tylko 50 jednostek surowca jest dostępnych w rozważanym okresie czasu;  badania rynku wskazują, że nie więcej niż 20 jednostek produktu pierwszego i nie więcej niż 30 jednostek produktu drugiego.

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Analityczne sformułowanie zagadnienia: Oznaczmy: - liczba wyprodukowanych jednostek produktu 1 - liczba wyprodukowanych jednostek produktu 2 Znaleźć wartości i takie, które: (czyli całkowity zysk w rozważanym okresie czasu) maksymalizują spełniając: (czyli przechwycone w rozważanym okresie czasu udziały w rynku) maksymalizują (ograniczenie dostępności surowca) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.) (warunki nieujemności)

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 26 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Graficzne rozwiązanie zagadnienia Punkty wierzchołkowe:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 27 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Metody poszukiwania rozwiązań wielocelowych zagadnień liniowych 1. Sprowadzenie do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez uznanie/wybranie jednej funkcji celu i zamianę pozostałych na ograniczenia Przejaw zwyciężania podejścia,,tradycyjnego" - niezależnie od wymagań formułowanych przez decydenta, sugerowanie, że powinno być zastosowane podejście z jedną funkcją celu

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 28 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Przykład Przyjmiemy całkowity zysk jako pojedynczy cel i będziemy traktować powiększenie udziału na rynku jako ograniczenie. To ostatnie przekształcenie możemy zrealizować przez przyjęcie pewnego akceptowalnego lub pożądanego powiększenia udziału na rynku. Przykładowo przyjmijmy, że takim pożądanym powiększeniem udziału na rynku jest osiągnięcie poziomu 100 jednostek. Model naszego przykładowego problemu będzie miał wówczas postać Znaleźć wartości i taki, które: maksymalizują (czyli całkowity zysk w rozważanym okresie czasu) spełniając: (pożądane powiększenie udziału na rynku) (ograniczenie dostępności surowca) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.) (warunki nieujemności)

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 29 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Graficzne rozwiązanie Punkty wierzchołkowe Rozwiązanie optymalne

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 30 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Zalety  Możemy bezpośrednio zastosować istniejące algorytmy lub oprogramowanie PL do rozwiązania zaproponowanego modelu. Musimy jednak pamiętać (a często zapomina się o tym), że otrzymane rozwiązanie jest właściwe dla modelu po transformacji ale niekoniecznie dla oryginalnego modelu (a w szczególności dla rozważanego problemu) Wady  Jeżeli nie jesteśmy ostrożni (i/lub szczęśliwi), konwersja celu w (twarde) ograniczenie może prowadzić do modelu, który jest matematycznie niedopuszczalny (np. w naszym przykładzie, jeżeli użylibyśmy wartości 120 zamiast 100 dla PS ograniczenia powiększenia udziałów na rynku, nasz model byłby matematycznie niedopuszczalny)

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 31 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Wady – c.d.  Przetworzony cel, lub cele, są traktowane jako twarde ograniczenia przez algorytmy PL. Zatem jeżeli nawet bylibyśmy skłonni pogodzić się z udziałem mniejszym niż 100 w rozważanym okresie, rozwiązanie takie nie zostanie wygenerowane przez algorytmy PL  Ma miejsce duża subiektywność w wyborze pojedynczego celu, który będzie wykorzystany w przetransformowanym modelu - wynik może różnić się istotnie w zależności od wyboru

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 32 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Pokazaliśmy graficznie na jednym przykładzie, że metoda sprowadzenia do jednocelowego zagadnienia liniowego poprzez wskazanie jednej funkcji celu i zamianę pozostałych na ograniczenia prowadzi do wybrania jednego z rozwiązań Pareto optymalnych Czy ten wynik ma cechy ogólności? Będziemy rozważaną metodę skalaryzacji nazywali metodą ε- ograniczenia (MO) (ang. constraint method)

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 33 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Sformułowanie oryginalne (WCPL) Sformułowanie metody ograniczenia Niech będzie optymalnym rozwiązaniem zagadnienia metody ograniczenia

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 34 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Twierdzenie MO1 Jeżeli jest unikatowym rozwiązaniem optymalnym zagadnienia MO, dla pewnych wartości tojest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 35 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Twierdzenie MO2 Jeżeli jest jest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL, to jest optymalnym rozwiązaniem zagadniena MO, dla pewnych wartości

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 36 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Przykład:

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 37 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe 2. Sprowadzenie do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez agregację funkcji celu - metoda agregacji, metoda ważenia Będziemy rozważaną metodę skalaryzacji nazywali metodą ważenia (ang. weighting method) Przykład Jeden cel mierzony jest w dolarach (zysk) a drugi w uzyskiwanym udziale na rynku (np. pewna miara,,lojalności" kupujących dany produkt przejawiająca się w większym prawdopodobieństwie powtórzenia zakupu danego towaru). Jeżeli można przetworzyć jeden z nich, powiedzmy pozyskane udziały na rynku, w dolary zysku (lub alternatywnie, dolary zysku w jednostki udziału na rynku), to będziemy mogli złożyć obydwa cele w jeden, który będzie mierzony w jednakowych jednostkach. Faktycznie, jeżeli taka kombinacja wydaje się rozsądna i może być zrealizowana, to na pewno powinna być wykorzystana w modelach wielocelowych

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 38 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Załóżmy, że jesteśmy w stanie, dla naszego przykładu, znaleźć funkcję użyteczności, i że ma ona formę sumy z wagami: dla pierwszego celu 0.6, a dla drugiego, 0.4. Uzyskamy wówczas następujący model naszego zagadnienia: Znaleźć wartości i takie, które: maksymalizują (zagregowane funkcje celu w wybranych jednostkach użyteczności) spełniając: (ograniczenie dostępności surowca) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.) (warunki nieujemności)

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 39 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Graficzne rozwiązanie Punkty wierzchołkowe Rozwiązanie optymalne

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 40 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Zalety  Możemy bezpośrednio zastosować istniejące algorytmy lub oprogramowanie PL do rozwiązania zaproponowanego modelu. Wady  Istotny czas i ostrożność są potrzebne dla określenia odpowiedniej funkcji użyteczności  Różne zastosowane założenia i leżąca u podstaw teoria użyteczności mogą nie najlepiej odpowiadać sytuacji

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 41 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Podobnie jak poprzednio, pokazaliśmy graficznie na jednym przykładzie, że metoda sprowadzenia do jedno-celowego zagadnienia liniowego poprzez zaproponowanie zagregowanej – ważonej funkcji celu prowadzi do znalezienia/wybrania jednego z rozwiązań Pareto optymalnych Czy ten wynik ma cechy ogólności?

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 42 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Sformułowanie oryginalne (WCPL) Sformułowanie metody ważenia (MW) Niech będzie optymalnym rozwiązaniem zagadnienia metody ważenia gdzie

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 43 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Twierdzenie MW1 Jeżeli jest rozwiązaniem optymalnym zagadnienia MW, dla pewnych wartości tojest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL Warunek twierdzenia może być zamieniony innym brzmiącym: unikatowym rozwiązaniem optymalnym zagadnienia MW, dla pewnych wartości

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 44 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Twierdzenie MW2 Jeżeli jest jest rozwiązaniem Pareto optymalnym zagadnienia WCPL, to jest optymalnym rozwiązaniem zagadnienia MW, dla pewnych wartości

© Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 45 Metody optymalizacji - Energetyka 2015/2016 Wielocelowe programowanie liniowe Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu