PODSTAWY STEREOMETRII

POJĘCIA PIERWOTNE Pojęciami pierwotnymi są: Punkt Prosta Płaszczyzna Przestrzeń

POJĘCIA PIERWOTNE Na jednym slajdzie można ująć pojęcia pierwotne w taki sposób że: w pewnej przestrzeni , dwie płaszczyzny (α i β) przebija prosta l w punktach A i B Ω α β l A B

OZNACZENIA – WAŻNE! W dalszej części prezentacji stosujemy oznaczenia: a, b, c – krawędzie (najczęściej podstawy) r – promień podstawy bryły (okręgu) R – promień kuli (większego okręgu) h – wysokość ściany bocznej lub podstawy H – wysokość bryły Pc – pole powierzchni całkowitej bryły Pp – pole powierzchni podstawy bryły Pb – pole powierzchni ścian bocznych bryły (suma pól powierzchni ścian bocznych) V – objętość bryły

GRANIASTOSŁUPY Pp H Graniastosłup jest to wielościan, którego dwie ściany, zwane podstawami, zawarte są w płaszczyznach równoległych, a pozostałe ściany, zwane ścianami bocznymi, są równoległobokami. Podstawy graniastosłupa są wielokątami przystającymi. Krawędzie graniastosłupa, które nie są bokami podstaw, nazywamy krawędziami bocznymi. Jeżeli krawędzie boczne są prostopadłe do podstaw, to graniastosłup nazywamy prostym, w przeciwnym wypadku – pochyłym. Graniastosłup prosty, którego podstawy są wielokątami foremnymi (trójkąt równoboczny, kwadrat, sześciokąt itp.), nazywamy prawidłowym. Graniastosłup, którego podstawy są równoległobokami, nazywamy równoległościanem. Graniastosłup prosty, którego podstawy są prostokątami, nazywamy prostopadłościanem. Prostopadłościan, którego wszystkie krawędzie mają tę samą długość, nazywamy sześcianem.

GRANIASTOSŁUP Pc=2Pp+Pb V=Pp·H W zależności od figury płaskiej, która jest podstawą graniastosłupa, liczymy kilka pól ścian bocznych (najczęściej prostokąty, ewentualnie równoległoboki – dla graniastosłupów pochyłych). Do obliczenia pola całkowitego Pc oraz objętości V graniastosłupa dla dowolnego graniastosłupa stosujemy wzory: Pc=2Pp+Pb V=Pp·H

PROSTOPADŁOŚCIAN Pc=2ab+2bh+2aH V=a·b·H Dla prostopadłościanu stosujemy wzory: a b H Pc=2ab+2bh+2aH V=a·b·H

SZEŚCIAN (HEXAEDR) Dla sześcianu stosujemy wzory: a Pc=6a2 V=a3

OSTROSŁUPY Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą ostrosłupa, jest wielokątem, a pozostałe ściany, zwane ścianami bocznymi, są trójkątami o wspólnym wierzchołku, zwanym wierzchołkiem ostrosłupa. Odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z jego rzutem prostokątnym na płaszczyznę podstawy (spodkiem wysokości) nazywamy wysokością ostrosłupa. Ostrosłup nazywamy prawidłowym, jeżeli jego podstawa jest wielokątem foremnym, a jego spodek wysokości jest środkiem tego wielokąta. Ostrosłup trójkątny nazywamy czworościanem. Pp H W

OSTROSŁUP W zależności od figury płaskiej, która jest podstawą ostrosłupa, liczymy kilka pól ścian bocznych (zawsze trójkąty). Do obliczenia pola całkowitego Pc oraz objętości V ostrosłupa dla dowolnego ostrosłupa stosujemy wzory: Pp H W Pc=Pp+Pb  

OSTROSŁUP ŚCIĘTY Pc=P1+P2+Pb Ostrosłup ścięty jest to część ostrosłupa zawarta między jego podstawą i przekrojem poprzecznym równoległym do płaszczyzny podstawy. Podstawy ostrosłupa ściętego są wielokątami jednokładnymi względem wierzchołka ostrosłupa. Ściany boczne są trapezami. P1 H P2 Pc=P1+P2+Pb  

BRYŁY OBROTOWE Figurą obrotową powstałą przez obrót figury płaskiej f wokół prostej k, zawartej w płaszczyźnie zawierającej figurę f, nazywamy zbiór wszystkich punktów przestrzeni, które są obrazami punktów figury f w obrotach wokół prostej k o kąt o mierze α, gdzie α<0;2>. Prosta k nazywa się osią figury obrotowej. Bryłą obrotową nazywamy bryłę, która jest figurą obrotową

WALEC Pb=2rH Pp=r2 Pc=2Pp+Pb=2r2+2rH=2r(r+H) V=Hr2 Walec jest to bryła obrotowa, która powstaje przez obrót prostokąta wokół prostej zawierającej jeden z jego boków. Podstawami walca nazywamy dwa koła powstałe przez obrót tych boków prostokąta, które są prostopadłe do osi obrotu. Promień podstawy walca nazywamy promieniem walca, zaś odcinek prostopadły do podstaw, którego końce należą do tych podstaw – wysokością walca Pb=2rH Pp=r2 Pc=2Pp+Pb=2r2+2rH=2r(r+H) V=Hr2

STOŻEK Stożek (kołowy prosty) jest to bryła obrotowa, która powstaje przez obrót trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych. Podstawą stożka jest koło powstałe przez obrót przyprostokątnej niezawartej w osi obrotu. Wierzchołek obracanego trójkąta nienależący do podstawy nazywamy wierzchołkiem stożka. Odcinek łączący wierzchołek stożka z jego rzutem prostokątnym na podstawę nazywamy wysokością stożka. Tworzącą stożka nazywamy każdy odcinek zawarty w powierzchni bocznej stożka i łączący wierzchołek z podstawą. Przekrój osiowy stożka to część wspólna stożka i płaszczyzny zawierającej oś stożka. Kąt przy wierzchołku przekroju osiowego nazywamy kątem rozwarcia stożka.

STOŻEK Pb=rl Pp=r2 Pc=Pp+Pb=r2+rl=r(r+l) Dla stożka stosujemy wzory: H r l Pb=rl Pp=r2 Pc=Pp+Pb=r2+rl=r(r+l)  

STOŻEK ŚCIĘTY Pb=(R+r)l Pc=(R2+r2+(R+r)l) Stożek ścięty jest to część stożka zawarta między jego podstawą i przekrojem płaszczyzną równoległą do podstawy. Wysokością stożka ściętego nazywamy odcinek łączący podstawy i prostopadły do nich. H r l R Pb=(R+r)l Pc=(R2+r2+(R+r)l)  

KULA Kula jest bryłą obrotową, która powstaje przez obrót koła wokół osi zawierającej średnicę koła. Powierzchnię kuli nazywamy sferą. Promień kuli (sfery) jest równy promieniowi obracającego się koła. Kołem wielkim kuli nazywamy przekrój kuli, do którego należy jej środek R Pc=4R2  

WIELOŚCIANY FOREMNE Wielościanem foremnym nazywamy wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są przystającymi wielokątami foremnymi i wszystkie kąty dwuścienne wyznaczone przez sąsiednie ściany są równe. Istnieje tylko pięć wielościanów foremnych, my poznamy 3: Czworościan Sześcian – (opisany wzorami wcześniej) Ośmiościan

CZWOROŚCIAN (TETRAEDR) Czworościan jest zbudowany z czterech trójkątów równobocznych.    

OŚMIOŚCIAN (OKTAEDR) Ośmiościan jest zbudowany z ośmiu trójkątów równobocznych.