UNIWERSYTET WARSZAWSKI Systemy finansowe gospodarki SFG ćwiczenia 8 UNIWERSYTET WARSZAWSKI WYDZIAŁ ZARZĄDZANIA Systemy finansowe gospodarki Matematyka finansowa Warszawa 2012 Źródła: prof. Górski Rynkowy system finansowy, Jajuga Inwestycje, prof. Sopoćko Rynkowe instrumenty finansowe

Wartość pieniądza w czasie SFG ćwiczenia 8 Wartość pieniądza w czasie Inwestycja to wyrzeczenie się bieżącej konsumpcji w imię przyszłych, niepewnych korzyści. Ta sama suma pieniężna otrzymana dziś oraz otrzymana w przyszłości, np. za rok, nie mają tej samej wartości Suma otrzymana dziś jest więcej warta od tej samej sumy otrzymanej w przyszłości ze względu na: Spadek siły nabywczej w związku z inflacją Możliwość inwestowania – w przypadku udanej inwestycji uzyskamy dochód Występowanie ryzyka – istnieje możliwość uzyskania w przyszłości sumy mniejszej niż suma, której się spodziewamy w przyszłości Preferowanie konsumpcji bieżącej większość ludzi przedkłada bieżącą konsumpcję ponad przyszłą konsumpcję

Podejmowanie decyzji mających skutki pieniężne SFG ćwiczenia 8 Podejmowanie decyzji mających skutki pieniężne Podejmując decyzje finansowe musimy sprowadzić strumienie finansowe do porównywalności czyli określić ich wartość na określony moment w czasie. Możemy w tym celu posłużyć się wartością bieżącą lub wartością przyszłą. Wartość przyszła (future value FV) – wartość otrzymywana lub płacona w przyszłości lub wartość pieniężna rozpatrywana z punktu widzenia pewnego momentu w przyszłości. Wartość obecna (present value PV) – wartość płacona lub otrzymywana dziś lub wartość pieniężna rozpatrywana z punktu widzenia dnia dzisiejszego

Wartość przyszła SFG ćwiczenia 8 Przykład Kwota 1000 zł jest zainwestowana w depozyt bankowy na okres 3 lat. Oprocentowanie depozytu wynosi 10%. Wartość przyszła wynosi: Kapitalizacja prosta FV = PV(1 + nr) 2. Kapitalizacja roczna FV = PV(1 + r)n 3. Kapitalizacja kwartalna FV = PV(1 + r/m)nm 4. Kapitalizacja ciągła FV = PV*enr

Wartość przyszła SFG ćwiczenia 8 Przykład Kwota 1000 zł jest zainwestowana w depozyt bankowy na okres 3 lat. Oprocentowanie depozytu wynosi 10%. Wartość przyszła wynosi: Kapitalizacja prosta FV = PV(1 + nr) FV=1000(1 + 3 * 0.1)=1300 2. Kapitalizacja roczna FV = PV(1 + r)n FV=1000(1 + 0.1) 3=1331 3. Kapitalizacja kwartalna FV = PV(1 + r/m)nm FV=1000(1 + 0.1/4) 3*4=1344.89 4. Kapitalizacja ciągła FV = PV*enr FV=1000 * e3*0.1=1349.86

Wartość obecna SFG ćwiczenia 8 Przykład Rozważamy inwestycję, która za 3 lata osiągnie wartość 20000 zł, oblicz wartość bieżącą zakładając wymaganą stopę zwrotu na poziomie 8%: Kapitalizacja prosta PV = FV/(1 + nr) 2. Kapitalizacja roczna PV = FV/(1 + r)n 3. Kapitalizacja kwartalna PV = FV/(1 + r/m)nm 4. Kapitalizacja ciągła PV = FV*e-nr

Wartość obecna SFG ćwiczenia 8 Przykład Rozważamy inwestycję, która za 3 lata osiągnie wartość 20000 zł, oblicz wartość bieżącą zakładając wymaganą stopę zwrotu na poziomie 8%: Kapitalizacja prosta PV = FV/(1 + nr) PV=20000(1 + 3 * 0.08)=16129.03 2. Kapitalizacja roczna PV = FV/(1 + r)n PV=20000(1 + 0.08) 3=15876.64 3. Kapitalizacja kwartalna PV = FV/(1 + r/m)nm PV=20000(1 + 0.08/4) 3*4=15769.86 4. Kapitalizacja ciągła PV = FV*e-nr PV=20000 * e-3*0.08=15732.56

Procent prosty i składany SFG ćwiczenia 8 Procent prosty i składany Procent prosty stosuje się dla okresów krótszych niż rok. Procent składany natomiast – dla okresów dłuższych niż rok. Dla okresów krótszych od roku stosuje się procent składany wówczas, gdy występuje kapitalizacja odsetek. Odsetki to nic innego jak cena pieniądza.

Procent prosty SFG ćwiczenia 8 Gdzie: Kn – kapitał końcowy; K0 – kapitał początkowy; i – stopa procentowa; t – czas (np. okres lokaty, pożyczki).

Procent prosty SFG ćwiczenia 8 Jeżeli w trakcie pożyczki nastąpiła zmiana oprocentowania, to stosujemy następujący wzór: Gdzie: i1 - in - zmienne stopy procentowe; t1 - tn – długość obowiązywania danych stóp procentowych.

Procent prosty SFG ćwiczenia 8 Przykład Założono w banku lokatę w wysokości 1 000 zł na 3 miesiące przy stopie procentowej w skali rocznej 10%. Oblicz odsetki oraz kapitał końcowy.

Procent prosty SFG ćwiczenia 8 Przykład Założono w banku lokatę w wysokości 1 000 zł na 3 miesiące przy stopie procentowej w skali rocznej 10%. Oblicz odsetki oraz kapitał końcowy. O (odsetki) = 1000 × 0,1 × 3/12 = 25 (zł.) Kn = 1000 × (1 + 0,1 × 3/12) = 1025 (zł.)

SFG ćwiczenia 8 Przykład Kontrahent A udzielił kontrahentowi B pożyczki w wysokości 300 zł na 6 miesięcy. Partnerzy ustalili, że przez 4 miesiące będzie obowiązywała stopa 12%, a przez 2 kolejne 15%. Tego typu ustalenie było wynikiem antycypacji przez kontrahentów podwyżki stóp procentowych przez bank centralny. Oblicz kwotę do spłacenia przez kontrahenta B.

SFG ćwiczenia 8 Kn = 300 × (1 + 0,12 × 4/12 + 0,15 × 2/12) = 319,5 Przykład Kontrahent A udzielił kontrahentowi B pożyczki w wysokości 300 zł na 6 miesięcy. Partnerzy ustalili, że przez 4 miesiące będzie obowiązywała stopa 12%, a przez 2 kolejne 15%. Tego typu ustalenie było wynikiem antycypacji przez kontrahentów podwyżki stóp procentowych przez bank centralny. Oblicz kwotę do spłacenia przez kontrahenta B. Kn = 300 × (1 + 0,12 × 4/12 + 0,15 × 2/12) = 319,5

Zagadnienie stopy równoważnej SFG ćwiczenia 8 Zagadnienie stopy równoważnej Stopa równoważna jest to taka stopa, której użycie nie zmienia wielkości kapitału końcowego. Przykład Wniesiono do banku depozyt w wysokości 1 000 zł na 3 miesiące przy stopie procentowej w skali rocznej 10%. Oblicz kapitał końcowy przy pomocy stopy rocznej oraz równoważnych: miesięcznej i kwartalnej.

Zagadnienie stopy równoważnej SFG ćwiczenia 8 Zagadnienie stopy równoważnej Stopa równoważna jest to taka stopa, której użycie nie zmienia wielkości kapitału końcowego. Przykład Wniesiono do banku depozyt w wysokości 1 000 zł na 3 miesiące przy stopie procentowej w skali rocznej 10%. Oblicz kapitał końcowy przy pomocy stopy rocznej oraz równoważnych: miesięcznej i kwartalnej. Kn = 1000 × (1 + 0,1 × 3/12) = 1025 (zł) stopa roczna Kn = 1000 × (1 + 0,1/12 × 3) = 1025 (zł) stopa miesięczna Kn = 1000 × (1 + 0,1/4 × 1) = 1025 (zł) stopa kwartalna

Procent składany SFG ćwiczenia 8 Gdzie: i – stopa procentu składanego; n – liczba lat; m – liczba podokresów (np. miesięcy, kwartałów), a więc kapitalizacji w roku.

Procent składany SFG ćwiczenia 8 Jeżeli z okresu na okres zmienia się stopa procentowa, wtedy stosujemy następujący wzór: Gdzie: i1 - in – zmienne stopy procentowe; m1 – mn liczba podokresów (kapitalizacji) dla długości obowiązywania danej stopy procentowej; n1 – nn liczba lat dla długości obowiązywania danej stopy procentowej.

SFG ćwiczenia 8 Przykład Do banku pan X wpłacił kwotę 3 000 zł na 3 lata. Przez pierwszy rok obowiązywała stopa 16% w skali rocznej, zaś kapitalizacja wkładów odbywała się co miesiąc. Przez kolejne 2 lata stopa wynosiła 14% w rozrachunku rocznym, zaś wkłady kapitalizowano kwartalnie. Oblicz kapitał końcowy na koniec 3 roku.

SFG ćwiczenia 8 Kn = 4630,97 Przykład Do banku pan X wpłacił kwotę 3 000 zł na 3 lata. Przez pierwszy rok obowiązywała stopa 16% w skali rocznej, zaś kapitalizacja wkładów odbywała się co miesiąc. Przez kolejne 2 lata stopa wynosiła 14% w rozrachunku rocznym, zaś wkłady kapitalizowano kwartalnie. Oblicz kapitał końcowy na koniec 3 roku. Kn = 4630,97

Dyskontowanie SFG ćwiczenia 8 1 2 Kn K0 Oś czasu Dyskontowanie 1 Oś czasu 2 Kn K0 Dyskontowanie Dyskontowanie to proces przechodzenia z wartości przyszłych na bieżące (z K2 na K0, lecz uwaga także z K2 na K1 itp.) Dyskontowanie odnosi się do różnych funkcji (mechanizmów) wzrostu (zarówno do procentu prostego, składanego, jak i innych)

SFG ćwiczenia 8 Przykład Pan Maciek zapragnął kupić sobie skuter. W tym celu udał się do dwóch sklepów. W pierwszym sklepie zaproponowano mu, by zapłacił 10 000 zł gotówką, a 5 000 zł po roku. W drugim natomiast warunki były następujące: 11 000 zł gotówką i 4 000 zł po dwóch latach. Która z propozycji jest korzystniejsza, jeśli przyjmie się stopę dyskonta w wysokości 11%?

SFG ćwiczenia 8 Przykład Pan Maciek zapragnął kupić sobie skuter. W tym celu udał się do dwóch sklepów. W pierwszym sklepie zaproponowano mu, by zapłacił 10 000 zł gotówką, a 5 000 zł po roku. W drugim natomiast warunki były następujące: 11 000 zł gotówką i 4 000 zł po dwóch latach. Która z propozycji jest korzystniejsza, jeśli przyjmie się stopę dyskonta w wysokości 11%? Odp. Korzystniejsza jest oferta sklepu drugiego.

Stopa równoważna procentu składanego SFG ćwiczenia 8 Stopa równoważna procentu składanego Przykład Założono lokatę w wysokości 1 000 j.p. na 12% na rok wg procentu prostego i składanego. Oblicz kapitał końcowy przy pomocy miesięcznych stóp równoważnych procentu prostego i składanego. Procent prosty Procent składany

Stopa równoważna procentu składanego SFG ćwiczenia 8 Stopa równoważna procentu składanego Przykład Założono lokatę w wysokości 1 000 j.p. na 12% na rok wg procentu prostego i składanego. Oblicz kapitał końcowy przy pomocy miesięcznych stóp równoważnych procentu prostego i składanego. Procent prosty Kn = 1000 (1 + 0,12 × 1/1) = 1120 Miesięczna stopa równoważna im = 12%/12 miesięcy = 1%; zatem Kn = 1000 (1 + 0,01 × 12) = 1120 Procent składany Kn = 1000 (1 + 0,12)1 = 1120 Miesięczna stopa równoważna im = = 0,0095 = 0,95%; zatem Kn = 1000 (1 + 0,0095)12 = 1120

SFG ćwiczenia 8 Wniosek z przykładu: Bez względu na liczbę kapitalizacji kapitał końcowy pozostaje ten sam. Wzór dla przejścia w procencie składanym ze stopy rocznej na równoważną (dla krótszego okresu, np. miesiąca, kwartału itp.) Gdzie: im – stopa równoważna (miesięczna, kwartalna itp.); m – liczba okresów kapitalizacji (liczba podokresów).

Efektywna roczna stopa procentowa SFG ćwiczenia 8 Efektywna roczna stopa procentowa Efektywna roczna stopa procentowa to stopa uwzględniająca całościowy faktyczny przychód z kapitału (przy odsetkach otrzymywanych) lub też całościowy koszt kapitału (przy odsetkach płaconych). Efektywna roczna stopa procentowa od kredytu jest to stopa, która uwzględnia wszystkie koszty obsługi długu, w tym prowizje i zróżnicowanie okresów spłaty (kapitalizacji) odsetek. Zależy zatem od: nominalnej stopy procentowej; częstotliwości spłaty (okresów, w których występuje kapitalizacja); wysokości prowizji i innych kosztów.

Efektywna roczna stopa procentowa od odsetek z lokaty SFG ćwiczenia 8 Efektywna roczna stopa procentowa od odsetek z lokaty Gdzie: refo – efektywna roczna stopa procentowa od odsetek; rnom – roczna stopa nominalna; m – liczba okresów kapitalizacji w roku.

SFG ćwiczenia 8 Przykład Nominalna stopa roczna lokaty wynosi 30%. Bank zastosował kapitalizację dwumiesięczną. Podaj rzeczywistą (efektywną) roczną stopę procentową. Jakub Górka Zakład Bankowości i Rynków Finansowych WZ UW

SFG ćwiczenia 8 Przykład Nominalna stopa roczna lokaty wynosi 30%. Bank zastosował kapitalizację dwumiesięczną. Podaj rzeczywistą (efektywną) roczną stopę procentową. Jakub Górka Zakład Bankowości i Rynków Finansowych WZ UW

Realna roczna stopa zwrotu SFG ćwiczenia 8 Realna roczna stopa zwrotu Zależność między nominalną stopą zwrotu, realną stopą zwrotu i stopą inflacji przedstawia równanie Fishera: 1 + rnom = (1 + rreal) × (1 + i) Zatem: Gdzie: rnom – stopa nominalna (w jednym okresie); rreal – stopa realna (w jednym okresie); i – stopa inflacji (w jednym okresie).

SFG ćwiczenia 8 Przykład Do banku zostaje złożony depozyt na jeden rok. Nominalne oprocentowanie depozytu wynosi 40%. Analitycy przewidują, że w ciągu najbliższego roku inflacja ukształtuje się na poziomie 35%. Oblicz oczekiwaną realną roczną stopę zwrotu.

SFG ćwiczenia 8 Przykład Do banku zostaje złożony depozyt na jeden rok. Nominalne oprocentowanie depozytu wynosi 40%. Analitycy przewidują, że w ciągu najbliższego roku inflacja ukształtuje się na poziomie 35%. Oblicz oczekiwaną realną roczną stopę zwrotu.

SFG ćwiczenia 8 Dyskonto handlowe Dyskonto matematyczne Odsetki handlowe Rachunek „w stu” Dyskonto matematyczne Odsetki matematyczne (proste) Rachunek „od sta” Dyskonto handlowe to odsetki potrącane z góry od wartości nominalnej papieru wartościowego (np. weksla), który został sprzedany przed terminem jego płatności. Z dyskontem handlowym związana jest bardzo ważna zasada matematyki finansowej: Zasada równoważności stopy dyskontowej i stopy procentowej: Roczna stopa dyskontowa d i roczna stopa procentowa r są równoważne w czasie n, jeśli dyskonto oraz odsetki obliczone przy tych stopach dla tej samej pożyczki są równe. Odsetki wytworzone przez kapitał w danym okresie czasu nazywamy dyskontem matematycznym. Ten typ dyskonta ma głównie zastosowanie przy kredytach bankowych.

Dyskonto handlowe i matematyczne (rachunek „w stu” i „od sta”) SFG ćwiczenia 8 Dyskonto handlowe i matematyczne (rachunek „w stu” i „od sta”) Przykład Pan Jakub prowadzi interesy z panem Maćkiem. Postanowił kupić od pana Maćka towary o wartości 100 j.p., niestety pan Jakub nie miał w chwili zakupu pieniędzy. Dlatego pan Maciek udzielił mu kredytu kupieckiego zabezpieczonego wekslem. Weksel płatny jest za 3 miesiące od daty przekazania towaru. Obaj panowie zgodzili się, że odsetki będą liczone procentem prostym według stopy 10%. Określ sumę wekslową, jaką pan Jakub musi spłacić panu Maćkowi.

Dyskonto handlowe i matematyczne (rachunek „w stu” i „od sta”) SFG ćwiczenia 8 Dyskonto handlowe i matematyczne (rachunek „w stu” i „od sta”) Przykład Pan Jakub prowadzi interesy z panem Maćkiem. Postanowił kupić od pana Maćka towary o wartości 100 j.p., niestety pan Jakub nie miał w chwili zakupu pieniędzy. Dlatego pan Maciek udzielił mu kredytu kupieckiego zabezpieczonego wekslem. Weksel płatny jest za 3 miesiące od daty przekazania towaru. Obaj panowie zgodzili się, że odsetki będą liczone procentem prostym według stopy 10%. Określ sumę wekslową, jaką pan Jakub musi spłacić panu Maćkowi. matematyczne

SFG ćwiczenia 8 c.d. przykładu Pan Maciek tego samego dnia, w którym otrzymał weksel od pana Jakuba, zorientował się, że może zrobić dobry interes na zakupie akcji prywatyzowanego banku państwowego. Niestety jednak zamiast gotówki dysponował tylko wekslem otrzymanym od pana Jakuba. Nie zastanawiając się wiele, udał się do najbliższego banku, gdzie zdyskontował weksel handlowo również według stopy 10%. Dyskonto weksla Dyskonto weksla to kwota potrącana przez bank z uwagi na nabycie weksla handlowego przed terminem jego płatności. Kwota dyskonta zależy od liczby dni pomiędzy dniem złożenia weksla do dyskonta w banku do dnia poprzedzającego dzień płatności weksla. 

SFG ćwiczenia 8 c.d. przykładu Pan Maciek tego samego dnia, w którym otrzymał weksel od pana Jakuba, zorientował się, że może zrobić dobry interes na zakupie akcji prywatyzowanego banku państwowego. Niestety jednak zamiast gotówki dysponował tylko wekslem otrzymanym od pana Jakuba. Nie zastanawiając się wiele, udał się do najbliższego banku, gdzie zdyskontował weksel handlowo również według stopy 10%. Dyskonto weksla Dyskonto weksla to kwota potrącana przez bank z uwagi na nabycie weksla handlowego przed terminem jego płatności. Kwota dyskonta zależy od liczby dni pomiędzy dniem złożenia weksla do dyskonta w banku do dnia poprzedzającego dzień płatności weksla.  Wniosek: Pan Maciek otrzymał mniejszą kwotę pieniężną od pierwotnego długu pana Jakuba, gdyż bank naliczył mu odsetki od sumy wekslowej, czyli od większej podstawy.

SFG ćwiczenia 8 Przykład Hurtownik sprzedał detaliście partię zabawek. Detalista zapłacił za partię wekslem płatnym w terminie 3 miesięcy. Suma wekslowa została policzona „od sta” przy stopie 25% i wyniosła 16 000 j.p. 20 dni przed datą zapadalności weksla hurtownik zdyskontował walor w banku przy stopie 27% (banki stosują dyskonto handlowe). Oblicz cenę partii zabawek oraz kwotę wypłaconą hurtownikowi przez bank. Dyskonto matematyczne – cena partii zabawek Dyskonto handlowe – kwota wypłacona hurtownikowi przez bank Dyskonto weksla Dyskonto weksla to kwota potrącana przez bank z uwagi na nabycie weksla handlowego przed terminem jego płatności. Kwota dyskonta zależy od liczby dni pomiędzy dniem złożenia weksla do dyskonta w banku do dnia poprzedzającego dzień płatności weksla. 

SFG ćwiczenia 8 Przykład Hurtownik sprzedał detaliście partię zabawek. Detalista zapłacił za partię wekslem płatnym w terminie 3 miesięcy. Suma wekslowa została policzona „od sta” przy stopie 25% i wyniosła 16 000 j.p. 20 dni przed datą zapadalności weksla hurtownik zdyskontował walor w banku przy stopie 27% (banki stosują dyskonto handlowe). Oblicz cenę partii zabawek oraz kwotę wypłaconą hurtownikowi przez bank. Dyskonto matematyczne (od sta) – cena partii zabawek Dyskonto handlowe (w stu) – kwota wypłacona hurtownikowi przez bank Dyskonto weksla Dyskonto weksla to kwota potrącana przez bank z uwagi na nabycie weksla handlowego przed terminem jego płatności. Kwota dyskonta zależy od liczby dni pomiędzy dniem złożenia weksla do dyskonta w banku do dnia poprzedzającego dzień płatności weksla. 

Procent składany kapitalizowany z góry SFG ćwiczenia 8 Procent składany kapitalizowany z góry Odsetki w tego typu lokacie obliczane są i kapitalizowane z góry.

SFG ćwiczenia 8 Przykład Oblicz wartość końcową depozytu o wartości 1 000 j.p. po 4 latach, liczonego dla porównania procentem składanym kapitalizowanym z dołu oraz z góry przy stopie 10%.

SFG ćwiczenia 8 Przykład Oblicz wartość końcową depozytu o wartości 1 000 j.p. po 4 latach, liczonego dla porównania procentem składanym kapitalizowanym z dołu oraz z góry przy stopie 10%.

SFG ćwiczenia 8 Tabela wzorów służących do porównania stóp nominalnych, okresowych (równoważnych) i efektywnych dla 1 roku Stopa okresowa Stopa nominalna Stopa efektywna Gdzie: r – efektywna stopa roczna; i1 – nominalna stopa roczna; im – (nominalna) stopa okresowa; m – liczba okresów (kapitalizacji).

SFG ćwiczenia 8 DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ