Epidemie w sieciach złożonych

Prezentacja na temat: "Epidemie w sieciach złożonych"— Zapis prezentacji:

1 Epidemie w sieciach złożonych
Mirosław Król Wojciech Lechowicz

2 Przypomnienie Sieć: - w interpretacji fizycznej to zbiór wierzchołków (węzłów) połączonych krawędziami - w interpretacji matematycznej- graf o N wierzchołkach i E krawędziach, oznaczany symbolem: G(N,E) - podzbiór przestrzenny w zbiorze przestrzenno -czasowym , czyli systemie. Sieć prosta: - podzbiór przestrzenny systemu o nieograniczonych zasobach. Sieć złożona: - sieć, która w przeciwieństwie do sieci prostej jest podzbiorem przestrzennym systemu, który posiada ograniczone zasoby i nie znajduje się w równowadze termodynamicznej.

3 Z historii sieci ( i epidemii)
W Europie przełomu XIII i XIVwieku bardzo popularna była instytucja wędrownych szkolarzy. Z instytucją tą rozpoczęli rozpoczęli walkę średniowieczni inkwizytorzy

4 Z historii sieci ( i epidemii)
Bernard Gui, wielki inkwizytor przełomu XIII i XIVw., pierwszy dostrzegł, że aby skutecznie walczyć z wirusem herezji, należy przestać atakować wszystkich podejrzanych, a zająć się tropieniem najbardziej aktywnych węzłów (czyli najbardziej skutecznych szkolarzy) w sieci przenoszącej tego wirusa.

5 Z historii sieci ( i epidemii)
Związek między działalnością inkwizycji, a współczesną teorią sieci dostrzegł Edwin Bendyk. Dodatkowo, w napisanej przez siebie książce zwrócił on uwagę na to, że większość zjawisk rozprzestrzeniania się, można modelować w taki sam sposób.

6 Modelowanie epidemii Pierwszy znany opis rozprzestrzeniania się epidemii oparty na równaniach różniczkowych został stworzony przez D.Bernoullego

7 Modelowanie epidemii Twórcami ponadczasowego modelu rozprzestrzeniania się epidemii, opartego na układzie równań różniczkowych byli Kermack i McKendrick. S --> I --> R gdzie: „-->”- przejście między stanami Zgodnie z modelem SIR przebieg choroby prowadzi do podziału rozważanej populacji na trzy grupy: S- podatnych (ang. Susceptible), czyli takich, którzy mogą zachorować I- zainfekowanych(ang. Infected), którzy chorują i roznoszą infekcje R- ozdrowiałych (ang. Recovered), którzy wyzdrowieli i nabyli odporność

8 Modelowanie epidemii S --> I --> S
Model rozprzestrzeniania się epidemii SIR można uogólnić , np. do modelu: S --> I --> S W którym zakłada się istnienie tylko dwóch grup osobników zdrowych(S) i chorych(I). S --> I --> R --> S Który rozważa wpływ przejściowego okresu uodpornienia R na dynamikę rozprzestrzeniania się choroby. S --> E --> I --> R W którym sekwencję zmian stanów uzupełnia się dodatkowym stanem E, który reprezentuje osobników w utajonym stadium choroby.

9 Modelowanie epidemii Dzięki opisanym modelom można tworzyć układy równań różniczkowych, które opisują rozprzestrzenianie się epidemii w czasie. Przykładowo:

10 Kiedy wybucha epidemia?
Sieci regularne

11 Kiedy wybucha epidemia?
Sieci regularne Choroba ma szansę przybrać w populacji formę epidemii, jeśli tempo rozprzestrzeniania się patogenu jest większe od pewnej progowej wartości: Gdzie: (k)-gęstość sieci So- początkowa liczba zainfekowanych osobników

12 Kiedy wybucha epidemia?
Sieci bezskalowe (np. sieci społeczne czy internet) Przeprowadzając podobne rozważania w przypadku sieci bezskalowych, można dojść do wniosku, że próg epidemii jest w nich równy: Gdzie: (k)-gęstość sieci

13 Jak zatrzymać epidemię?
W sieciach bezskalowych epidemii nie można zatrzymać, posługując się tradycyjnymi metodami. W sieciach regularnych można to zrobić, gdyż poprzez np. Szczepienia Hospitalizację zarażonych Zwiększanie wydatków na służbę zdrowia Da się zmniejszać wartość parametru β,opisującego prawdopodobieństwo zachorowania i zwiększać wartość parametru γ reprezentującego prawdopodobieństwo wyzdrowienia we wzorze:

14 Jak zatrzymać epidemię?
W sieciach bezskalowych, w których do wybuchu epidemii wystarcza ,by nosicielem wirusa był najbardziej aktywny osobnik (człowiek/zwierzę/komputer), jedynym skutecznym sposobem walki z epidemią jest sposób, o którym mówił Bernard Gui, czyli tropienie i eliminacja kluczowych węzłów (hubów)

15 Jak zatrzymać epidemię?
Prawdopodobieństwo Ps(t) przeżycia wirusów w Internecie w funkcji czasu t, który upłynął od momentu ich powstania.

16 Podsumowanie