Wielokąty foremne.

Prezentacja na temat: "Wielokąty foremne."— Zapis prezentacji:

1 Wielokąty foremne

2 Trójkąt równoboczny Trójkąt równoboczny – trójkąt, który ma wszystkie boki równej długości. Jego własności: wszystkie kąty są równe i mają miarę 60°, wysokość wynosi wysokość trójkąta równobocznego dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne, wysokości trójkąta i dwusieczne jego kątów zawierają się w symetralnych boków tego trójkąta, obwód wynosi L=3a,

3 Kwadrat Kwadrat - czworokąt, który ma wszystkie boki tej samej długości i cztery kąty proste. Jego własności: przekątne kwadratu są wzajemnie prostopadłe oraz mają jednakową długość; punkt przecięcia przekątnych dzieli każdą z nich na dwie równe części; punkt przecięcia przekątnych jest środkiem symetrii kwadratu; przekątne kwadratu zawarte są w dwusiecznych jego kątów; każde dwa kwadraty są do siebie podobne.

4 Pięciokąt foremny Pięciokąt foremny – to pięciokąt wypukły o wszystkich bokach tej samej długości i wszystkich kątach równych (108˚). Konstrukcja: Rysujemy okrąg o środku S. Rysujemy średnicę okręgu i prostopadły do niej promień BS. Wyznaczamy połowę jednego z promieni zawierających się w średnicy – punkt A. Odmierzamy odległość AB tworząc łuk od punktu A, wyznaczający punkt C jego przecięcia na średnicy. Odcinek BC jest długością boku pięciokąta.

5 Sześciokąt foremny Sześciokąt foremny - sześciokąt wypukły o wszystkich bokach równej długości i wszystkich kątach równych (120˚). Jego własności: Kąt środkowy okręgu opisanego, oparty na boku, ma miarę Promień okręgu opisanego: R=a Promień okręgu wpisanego: Pole powierzchni sześciokąta foremnego: Obwód ma długość: 6a

6 Siedmiokąt foremny Siedmiokąt foremny - wielokąt foremny o siedmiu równych bokach oraz kątach wewnętrznych o mierze 128,(571428)°. Niemożliwy do skonstruowania za pomocą cyrkla i linijki. Ma dwa razy więcej przekątnych niż boków. Własności: Obwód: L=7a Pole powierzchni: Miara kąta środkowego okręgu opisanego, opartego na boku: Miara kąta wewnętrznego:

7 Ośmiokąt foremny Ośmiokąt foremny - figura wypukła, która ma wszystkie 8 boków równej długości i 8 kątów równej wielkości. Własności Pole powierzchni: Obwód: L=8a Długość promienia okręgu opisanego na ośmiokącie foremnym: Długość promienia okręgu wpisanego w ośmiokąt foremny: Ośmiokąt foremny można skonstruować również rysując dwie proste prostopadłe przecinające się w środku okręgu oraz dwusieczne otrzymanych kątów prostych. Punkty przecięcia się tych prostych z okręgiem są wierzchołkami ośmiokąta foremnego.

8 Siedemnastokąt foremny
Siedemnastokąt foremny to siedemnastokąt wypukły o wszystkich bokach równej długości i wszystkich kątach równych (mają po 180°(17-2)/17 ≈ °). Siedemnastokąt foremny można skonstruować cyrklem i linijką. Możliwość konstrukcji udowodnił Carl Friedrich Gauss w 1796, pierwszą bezpośrednią konstrukcję przedstawił jednak Erchinger kilka lat później. Składała się aż z 64 kroków, toteż wkrótce zostały przedstawione inne, z których jedną z elegantszych jest konstrukcja podana przez H. W. Richmonda w 1893 roku:

9 Twierdzenie Gaussa-Wantzela
Twierdzenie Gaussa-Wantzela – twierdzenie geometrii euklidesowej, które mówi, że n-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą postaci , gdzie są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Jak dotąd znane jest tylko 5 liczb pierwszych Fermata: F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = i nie wiadomo czy jest ich więcej.

10 Twierdzenie Gaussa-Wantzela
Z twierdzenia wynika, że możliwe jest skonstruowanie wielokątów foremnych o następującej liczbie boków: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, … W roku 1894 nauczyciel gimnazjum Johann Gustav Hermes przedstawił klasyczną konstrukcję kąta foremnego (65537 jest największą znaną liczbą pierwszą Fermata). Pracował nad nią 10 lat, jej opis zajmuje 200 stron.

11 Wielokąty foremne w przestrzeni
Wielokąty foremne są ścianami wielu wielościanów. Wśród nich możemy wyróżnić: wielościany foremne (platońskie), których jest 5 wielościany półforemne (archimedesowe), w liczbie 13 graniastosłupy prawidłowe o kwadratowych ścianach bocznych antygraniastosłupy, których ściany boczne są trójkątami równobocznymi wielościany Johnsona, w liczbie 92

12 Wielokąty foremne w przestrzeni
Wielościany foremne:

13 Wielokąty foremne w przestrzeni
Przykładowe wielościany półforemne:

14 Wielokąty foremne w przestrzeni
Przykładowe wielościany Johnsona: