RÓWNANIA Wprowadzenie.

Prezentacja na temat: "RÓWNANIA Wprowadzenie."— Zapis prezentacji:

1 RÓWNANIA Wprowadzenie

2 Najstarszy egipski papirus, datowany na mniej więcej 2000 lat przed naszą erą dotyczy matematycznych rozważań niejakiego Ahmesa. Henry Rhind przywiózł go w roku 1858 z Egiptu do British Museum i stąd znany jest on powszechnie jako papirus Rhinda.

3 Papirus Rhinda Ahmes podaje w nim 84 ciekawe zadania matematyczne.
W niektórych zadaniach niewiadomą oznacza się słowem aha (mnóstwo, stos)

4 Z wymienionego papirusu pochodzą takie zadania:
1. Suma pewnej wielkości i jej dwóch trzecich i jeszcze jej 1/7 wynosi Jaka to liczba? 2. Aha i siódma część aha dają razem Ile wynosi aha? Zadanie 2 można zapisać w następujący sposób: aha = 19 aha 7 Po obliczeniu wiemy, że aha = 16,625

5 Równania służą do zapisywania i rozwiązywania wielu problemów.
Równanie to dwa wyrażenia połączone znakiem równości. Równania służą do zapisywania i rozwiązywania wielu problemów.

6 X – 4 = 12 Jeżeli liczbę X pomniejszymy o 4 to otrzymamy 12
Możemy to zdanie zapisać przy pomocy równania w taki sposób: X – 4 = 12

7 X + 16 = 37 4 · X = 28 Zapisz podane zdania za pomocą równań:
1. Adam ma x płyt CD polskich wykonawców i 16 zagranicznych, razem ma 37 płyt. X + 16 = 37 2. Liczba 28 jest 4 razy większa od liczby x. 4 · X = 28

8 2 · X + 2 · ( X – 2 ) = 18 Zapisz podane zdanie za pomocą równania:
3. Obwód prostokąta ma 18 cm długości Jeden bok jest o 2 cm krótszy od drugiego. a = X b = X – 2 b = X – 2 Obw = 2 · a + 2 · b a = X Ze wzoru na obwód prostokąta otrzymujemy równanie: 2 · X + 2 · ( X – 2 ) = 18 a b

9 Mówimy, że liczba spełnia równanie, gdy podstawiając ją w miejsce niewiadomej otrzymamy równość prawdziwą. Liczbę tę nazywamy pierwiastkiem równania.

10 2 · x + 3 = 15 Dane jest równanie:
Liczba x = 6 jest pierwiastkiem tego równania, gdyż po wstawieniu w miejsce niewiadomej spełnia to równanie. Sprawdzenie: L = 2 · = = 15 P = 15 L = P

11 Przerysuj tabelkę. Sprawdź, czy wskazana liczba spełnia podane równanie. Zaznacz to w tabeli.
TAK NIE X = – 4 – 2 · x = 8 X = 3 5 · x – 9 = 7 X = 1 3 · x + 12 = 16 – x

12 4 cegły i 2 kg waży tyle, ile 1 cegła i 8 kg. Ile waży 1 cegła?
Przykład: 4 cegły i 2 kg waży tyle, ile 1 cegła i 8 kg. Ile waży 1 cegła? Oznaczmy przez x wagę 1 cegły. x x x x x Oto równanie: 4 · x + 2 = x + 8

13 Z obu szalek zdejmujemy po 1 odważniku, każdy po 2 kilogramy.
Uwaga: W kolejnych krokach należy dążyć do tego, aby po jednej stronie znalazły się tylko niewiadome, a po drugiej tylko liczby. Z obu szalek zdejmujemy po 1 odważniku, każdy po 2 kilogramy. Po lewej stronie zostaną tylko 4 cegły. Po prawej: 1 cegła i 3 odważniki = 6 kg

14 Po zdjęciu z obu szalek po 1 odważniku, sytuację przedstawia rysunek i
otrzymaliśmy równanie: 4 · x = x + 6 Czyli 4 cegły ważą tyle co 1 cegła i 6 kg Teraz z obu szalek zdejmujemy po 1 cegle.

15 3 · x = 6 Otrzymamy równanie: Po lewej stronie zostaną 3 cegły,
po prawej 3 odważniki po 2 kg, czyli 6 kg Otrzymamy równanie: 3 · x = 6 czyli, 3 cegły ważą razem 6 kg.

16 x = 6 : 3 x = 2 kg mieliśmy 3 · x = 6 więc 1 cegła waży:
Odp. Jedna cegła waży 2 kg.

17 Jakie działania można wykonywać rozwiązując równanie?
Biorąc pod uwagę rysunki i tok rozumowania podczas obliczania wagi 1 cegły, można:

18 dołożyć coś jednakowego na obie szalki
lub zdjąć coś jednakowego z obu szalek a waga będzie w równowadze czyli do obu stron równania można dodać lub od obu stron równania można odjąć tę samą liczbę, a równanie będzie równoważne danemu. Np. Od obu stron równania odejmujemy 2 4 · x + 2 = x + 8 – 2 4 · x + 2 – 2 = x + 8 – 2

19 4 · x = x + 6 4 · x – x = x + 6 – x 3 · x = 6 3 · x = 6 3 · x 6 3 3
Otrzymujemy: Od obu stron równania odejmujemy x 4 · x = x + 6 – x Redukujemy wyrazy –x i x 4 · x – x = x + 6 – x 3 · x = 6 A teraz można obie strony równania pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę różną od zera, a równanie będzie równoważne danemu. Obie strony równania dzielimy przez 3 3 · x = 6 : 3 3 · x = x = 2

20 3 x – 4 = 8 – x + x 3 x – 4 + x = 8 – x + x 4 x – 4 = 8 + 4
Zadanie: Rozwiąż równanie 3 x – 4 = 8 – x Do obu stron równania dodajemy x + x Redukujemy niewiadome x po obu stronach 3 x – 4 + x = 8 – x + x Do obu stron równania dodajemy 4 4 x – 4 = 8 + 4 Redukujemy i 4 do zera 4 x – = 4 x = 12 Obie strony równania dzielimy przez 4 : 4 4 · x = x = 3

21 Równania z jedną niewiadomą mogą mieć różną liczbę rozwiązań.
Np. pierwiastkiem równania x + 2x = 3x jest dowolna liczba. Jeśli wybierzesz dowolną, jakąkolwiek liczbę, okaże się, że spełnia ona to równanie. Takie równanie nazywamy tożsamościowym. Inne przykłady takich równań to: x = x 2 (x+1) + 1 = 2 x +3

22 Inny przykład: dane jest równanie x = x + 2.
Nie znajdziesz liczby, która po podstawieniu spełniałaby tę równość. Takie równanie nazywamy sprzecznym. Innymi przykładami są: x+1=x+2 2 (x +1) = 2x

23 K O N I E C