NIEDZIESIĄTKOWE SYSTEMY LICZENIA

Prezentacja na temat: "NIEDZIESIĄTKOWE SYSTEMY LICZENIA"— Zapis prezentacji:

1 NIEDZIESIĄTKOWE SYSTEMY LICZENIA
Gimnazjum im. Dr. Maksymiliana Krybusa w Książu Wielkopolskim ID SZKOŁY 98/80 Grupa 2 98/80_MF_G2

2 Pojęcie i historia systemów
System liczbowy to zbiór reguł do jednolitego zapisywania liczb, które tworzymy za pomocą skończonych zbiorów znaków (cyfr), które można zestawiać na różne sposoby. Rozróżniamy dwa systemy liczbowe: a) pozycyjny b) addytywny W systemie addytywnym wartość przedstawianej liczby jest sumą wartości jej znaków cyfrowych. Na addytywnym systemie zapisu opierają się systemy liczbowe: hieroglificzny, rzymski i alfabetyczny. W pozycyjnym systemie liczbowym liczbę przedstawia się jako ciąg cyfr, a wartość cyfry zależy od miejsca (pozycji) na której się ona znajduje w tym ciągu. Najprostszym i najprymitywniejszym jest jedynkowy system liczbowy. Występuje w nim tylko jeden znak: 1. Tym systemem posługują się Pigmejowie.

3 Każda liczba naturalna większa od jedności może być przyjęta za podstawę systemu (układu) liczenia. Zanim system dziesiątkowy stał się systemem powszechnym, różne plemiona i narody posługiwały się innymi systemami. System dwójkowy spotykano w niedoskonałej formie u niektórych plemion Australii i Polinezji. Układ piątkowy odnajdujemy u indiańskiego plemienia Szoszonów w Południowej Ameryce oraz w języku Wendau na Nowej Gwinei wśród plemion eskimoskich. Starożytni Majowie (Iw. p.n.e.) używali układu dwudziestkowego.

4 Ślady niektórych systemów spotykamy do dnia dzisiejszego
np. zastosowanie systemu dwunastkowego znajdujemy w podziale roku na dwanaście miesięcy. W handlu przetrwała jednostka tuzin. W miarach czasu i kąta zachował się częściowo sześćdziesiątkowy system pochodzący od Babilończyków. Do zapisu cyfr rzymskich wykorzystano system piątkowy: VI=5+1, VIII=5+3, X=5+5, XIII=5+5+3, XX= Do zapisu liczb w innych układach pozycyjnych niż dziesięć przyjęto zasadę: liczbę zapisujemy w nawiasie , a za nawiasem jako indeks dolny zapisujemy liczbę oznaczającą system liczenia lub za liczbą jako indeks dolny w nawiasie zapisujemy liczbę oznaczającą system liczenia: (560104) lub (20312) lub

5 Dwójkowy system liczenia
Do zapisywania każdej liczby w tym systemie mamy dwie cyfry 0 i 1. np = (1001) i = (1111) Dodawanie- przy dodawaniu w systemie dwójkowym dwie jednostki rządu niższego zapisujemy jako jedną jednostkę rzędu następnego. Odejmowanie – wykonujemy analogicznie jak w systemie dziesiątkowym. Np.:

6 Mnożenie i dzielenie – obliczając iloczyny i ilorazy liczb naturalnych w systemie dwójkowym wykorzystujemy tabelę mnożenia. X 1 Np.: * : 101

7 Trójkowy system liczbowy
Trójkowy system liczbowy – pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 3. Do zapisu liczb są potrzebne 3 cyfry: 0, 1 i 2. Cyfry trójkowe często nazywa się tritami na podobieństwo bitów w systemie binarnym. Ilość cyfr do zapisania liczb w systemie trójkowym nie rośnie tak szybko jak w systemie dwójkowym, jednakże jest to nadal znaczna ilość w porównaniu do zapisu dziesiętnego. np =(111112)3 12 =110

8 Dodawanie w systemie trójkowym - jeśli w wyniku dodawania otrzymamy
w jakimś rzędzie trzy jednostki , to stanowią one jedną jednostkę rzędu następnego. Przykłady Odejmowanie w systemie trójkowym-wykonujemy analogicznie jak w systemie dziesiątkowym.

9 Mnożenie i dzielenie- obliczając iloczyny i ilorazy liczb naturalnych
w systemie trójkowym możemy posługiwać się tabelą X 1 2 11 * : 20 _- 110

10 Zapis liczby całkowitej w systemie piątkowym ma postać:
System piątkowy Układ piątkowy należy do tych układów, który rzeczywiście istniał i funkcjonował w pewnych zakamarkach kuli ziemskiej. Podstawą układu piątkowego jest liczba 5, a wszystkie liczby można zapisywać pięcioma cyframi: 0, 1, 2, 3, 4. Jednostka każdego następnego rzędu jest pięć razy większa od jednostki rzędu poprzedniego. Kolejne pozycje w liczbie systemu piątkowego oznaczają: 50 - liczba jednostek liczba piątek liczba dwudziestek piątek liczba sto dwudziestek piątek itd. Zapis liczby całkowitej w systemie piątkowym ma postać: ai-1ai a2a1a0   =   ai-1 · 5i-1 + ai-2 · 5i a2 · 52 + a1 · 51 + a0 · 50

11 Dodawanie i odejmowanie – w piątkowym systemie liczenia możemy utworzyć tabelę, która ułatwia dodawanie liczb. X 1 2 3 4 10 11 12 13 1 2 3 4 10 11 12 13 X 1 2 3 4 X 1 2 3 4 np.

12 Mnożenie i dzielenie – obliczając iloczyny, ilorazy w systemie piątkowym posługujemy się tabelą.
X 1 2 3 4 11 12 14 22 13 31 np.

13 Szóstkowy system liczbowy
Podstawą tego systemu jest liczba sześć. Do zapisu liczb potrzebne jest 6 cyfr: 0, 1, 2, 3, 4 i 5. Szóstkowy system liczbowy może być uznany jako przydatny w badaniach liczb pierwszych, ponieważ wszystkie liczby pierwsze wyrażone w tym systemie, z wyjątkiem 2 i 3, kończą się cyfrą 1 lub 5. np. (2)6 = 210 , (3)6 = 310, (21)6 = 1310 , (111)6 = 4310, (115)6 = (125)6 =

14 Dwunastkowy (duodecymalny ) system liczbowy
W tym systemie podstawą pozycji są kolejne potęgi liczby 12. Do zapisu liczb potrzebne jest dwanaście cyfr. Poza cyframi dziesiętnymi od 0 do 9 używa się pierwszych dwóch liter alfabetu łacińskiego: A i B. A oznacza 10, a B oznacza 11. Liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi liczby stanowiącej podstawę systemu. np =6×12² + 11× ×120 =(6B4)

15 Liczby w niedziesiątkowych systemach liczenia

16 Zamiany systemów liczenia
Przeliczanie systemu dziesiątkowego na system np. szóstkowy 100 : 6 = 16 r Dzielimy liczby w systemie dziesiątkowym 16 : 6 = 2 r przez cyfrę (liczbę), która jest podstawą 2 : 6 = 0 r nowego systemu. Cyfry reszt czytane od dołu dają nam liczby zapisane w nowym systemie. 100(10) = 244(6) Przeliczanie systemu dziesiątkowego na system siódemkowy 132 : 7 = 18 r 6 18 : 7 = 2 r 4 7 = r 2 132(10) = 246(7)

17 Przeliczanie systemu trójkowego na system dwójkowy
= (……..) Zapisujemy nową podstawę q w starym systemie oraz obliczamy kolejne potęgi podstawy q, aż do przekroczenia danej liczby. Daną liczbę przedstawiamy następująco: ( 20121) = ( )

18 Zastosowanie niedziesiątkowych systemów liczenia
System dwójkowy ma zastosowanie w informatyce, oparty jest na dwóch liczbach 0 i 1. Znak dwójkowy (0 lub 1) nazywamy bitem. Nazwa bit pochodzi od angielskiego określenia Binary Digit (dwójkowa cyfra). Do skrócenia zapisu liczb w systemie dwójkowym wykorzystuje się system ósemkowy. System szesnastkowy używa się do adresowania komórek pamięci przez urządzenia lub do kodowania kolorów użytych na stronach internetowych.

19 System dwunastkowy używany był na Bliskim Wschodzie
System dwunastkowy używany był na Bliskim Wschodzie. W Babilonii używano go równolegle z systemem dziesiętnym, z tym, że system dwunastkowy (o zapisie pozycyjnym) stosowano przy skomplikowanych obliczeniach (np. w zakresie astronomii), zaś systemu dziesiętnego używały szerokie masy ludności w życiu codziennym (aramejski system liczbowy) . W niewielkim zakresie systemu dwunastkowego używano także w starożytnym Rzymie, gdzie starożytna jednostka As (jednostka monetarna lub wagowa) składała się z 12 uncji.

20 Prezentację wykonali: Adrianna Nowaczyk, Joanna Łeńska, Monika Falbierska, Natalia Weiss, Mateusz Dyderski, Paweł Jędrzejczak, Bartosz Śmiejczak, Jakub Fiebig, Mikołaj Ratajczak, Maciej Karczewski, Adrian Mikołajczak.