Wybrane algorytmy wykorzystujące pojęcia z matematyki wyższej

Prezentacja na temat: "Wybrane algorytmy wykorzystujące pojęcia z matematyki wyższej"— Zapis prezentacji:

1 Wybrane algorytmy wykorzystujące pojęcia z matematyki wyższej
Koło Naukowe Matematyków Uniwersytet Rzeszowski Krzysztof Gąsior Wybrane algorytmy wykorzystujące pojęcia z matematyki wyższej

2 wiele problemów rozwiązywanych komputerów to problemy matematyczne”(2)
„Matematyka często przeplata się z informatyka i wiele problemów rozwiązywanych za pomocą komputerów to problemy matematyczne”(2)

3 Wprowadzenie Czy zastanawialiście się kiedyś:
jak działają programy wykorzystujące pojęcia matematyczne? dlaczego różne implementacje tej samej metody teoretycznej dają niekiedy różne wyniki lub z różną dokładnością? jak dokładnie program został zaimplementowany? algorytm Euklidesa sito Erastotelesa algorytm Fermata

4 Przypomnienie Algorytm jest przepisem na rozwiązanie postawionego zadania, będącym określonym układem elementarnych instrukcji wraz z porządkiem ich wykonania. Sposoby zapisu algorytmu: opisu słownego listy kroków schematu blokowego lub innego grafu programu komputerowego

5 Przypomnienie c.d. Cechy każdego algorytmu:
Skończoność co oznacza, że realizowany ciąg operacji powinien mieć swój koniec Określoność co oznacza, że zarówno operacje, jak i porządek ich wykonywania powinny być ściśle określone, nie zostawiając miejsca na dowolną interpretację użytkownika Ogólność algorytm nie ogranicza się do szczegółowego przypadku, ale odnosi się do pewnej klasy zadań Efektywność algorytm prowadzi do rozwiązania możliwie najprostszą drogą

6 Do czego służą algorytmy w matematyce?
W matematyce algorytm jest pojęciem służącym do formułowania rozwiązań i badania rozstrzygalności problemów

7 Obliczenie wartości logarytmu naturalnego
Zadanie Oblicz wartość ln 4; Rozwiązanie: Wartość ln 4 możemy wyznaczyć przy pomocy: kalkulatora; gotowych programów np.: Excela, Matematica, Matlab; skonstruować własny programu;

8

9

10 Jak można napisać własny program?
Z analizy matematycznej wiadomo, że: Powyższą całkę możemy policzyć za pomocą algorytmów numerycznych: metoda prostokątów metoda trapezów metoda parabol (Simpsona) metoda Romberga metoda Monte Carlo

11 Metoda Monte Carlo Metoda Monte - Carlo jest prostą metodą, którą stosuje się w metodach numerycznych. Metoda ta służy do modelowania procesów złożonych, które nie mogą być modelowane za pomocą bardziej wyrafinowanych metod (tzn. o większej złożoności obliczeniowej).

12 Przykład zastosowania Monte Carlo – obliczanie całki
- początek przedziału całkowania - koniec przedziału całkowania - funkcja podcałkowa - punkty losowo wybierane z przedziału - ilość losowanych punktów

13 Metoda Monte Carlo

14 ( ) Schemat Blokowy Start Czytaj (a, n); s = 0; i = 1; Pisz (s); Stop
NIE ( ) ; 1 - = a n s Pisz (s); i++; Stop

15

16

17 Obliczanie wyznacznika macierzy
Zadanie Oblicz wyznacznik macierzy:

18 =WYZNACZNIK.MACIERZY(B2:F6)

19

20 Jak można stworzyć własny program?
Twierdzenie (o rozwinięciu Laplace’a). Niech będzie dana macierz gdzie n > 1. Wówczas jest rozwinięciem Laplace’a względem j - tej kolumny.

21 Wzór rekurencyjny n – stopień macierzy

22 Wzór rekurencyjny Definicja Podwyznacznikiem (minor) macierzy A nazywamy wyznacznik macierzy powstałej przez skreśleniu i − tego wiersza i j − tej kolumny tej macierzy i jest oznaczany przez

23 Tworzenie programu Aby uniknąć zbędnego kopiowania elementów w programie wyliczającym wyznacznik macierzy, będziemy przekazywali tylko obraz minora w postaci wektora wiersza, a jego wymiar będzie oznaczał rozważaną kolumnę.

24 Tworzenie programu cd. - wektor wiersza numer kolumny = 2

25

26

27

28 Problem maksymalizacji zysku produkcji
Zakład produkuje dwa wyroby, zużywając do tego celu pewną ilość środków produkcji, z których cztery: energia elektryczna, stal, drewno oraz praca są limitowane. W produkcji są zużywane w ilościach: Wyrób Energia Stal Drewno Praca I 5 6 10 II 25

29 Problem maksymalizacji zysku produkcji
Zasoby tych środków wynoszą: energia – 1200 jednostek, stal – 600 jednostek, drewno – 420 jednostek, praca – 900 jednostek. Ile poszczególnych wyrobów powinien produkować zakład, aby zysk jego był maksymalny, jeżeli jednostkowy wynosi: z produkcji wyrobu I – 10 zł, wyrobu II – 20 zł. Zakładamy przy tym, że siła robocza musi być wykorzystana w takiej ilości jaką dysponuje.

30 Schemat rozwiązania Określenie danych wejściowych i celu, czyli wyniku
Stworzenie modelu matematycznego Znaleźnie metody rozwiązania, czyli algorytmu Stworzenie własnego programu lub skorzystanie z już istniejącego Analiza poprawności rozwiązania

31 Programowanie liniowe
Programowanie linowe jest działem matematyki poświęconym teorii i praktycznym algorytmom wyznaczania ekstremum funkcji wielu zmiennych przy ograniczeniach na obszar ich zmienności.

32 Programowanie liniowe
Zagadnie programowania linowego formułuje się w następujący sposób: min (max) warunki ograniczające funkcja celu (funkcja ekonomiczna)

33 Programowanie liniowe
Wspomniany wcześniej problem jest klasycznym przykładem zagadnienia programowania linowego. Funkcja celu - zmienne decyzyjne Warunki ograniczające bilans energii bilans stali bilans drewna bilans pracy warunki nieujemności

34 Obszar spełniający wszystkie warunki – obszar dopuszczalny
Metoda graficzna Twierdzenie. Jeżeli istnieje rozwiązanie optymalne zadania programowania liniowego, to istnieje wierzchołek zbioru dopuszczalnego będący rozwiązaniem optymalnym. Rozwiązaniem zadania jest x1= 60 i x2 = 30 w którym funkcja celu osiąga wartość f(60, 30) = 1200 A(30, 60) Obszar spełniający wszystkie warunki – obszar dopuszczalny

35 Metoda eliminacji zmiennej
Z równości w warunkach ograniczających możemy wyeliminować drugą zmienną i ograniczyć obszar poszukiwań: funkcja celu Warunki ograniczające

36 Za pomocą metody kolejnych iteracji przeszukujemy obszar możliwych rozwiązań w poszukiwaniu maksimum funkcji celu.

37 Warunki ograniczające:
=B3*$B$7+C3*$C$7 =B4*$B$7+C4*$C$7 =B5*$B$7+C5*$C$7 =B6*$B$7+C6*$C$7 Komórki zmieniane Komórka celu: =10*B7+20*C7

38

39

40 gdy chcemy rozwiązać problem optymalizacji liniowej.
Zaznaczenie tego pole przyśpieszy poszukiwanie rozwiązania w przypadku, gdy chcemy rozwiązać problem optymalizacji liniowej.

41 Sprawia, że dla wszystkich komórek zmienianych, dla których nie ustawiono dolnej granicy przyjmuje się dolną granicę równą 0.

42 Maksymalny zysk

43 Literatura S. Krawczyk „Programowanie Matematyczne, zbiór zadań”, PWE, Warszawa 1987 A. Kierzkowski „Turbo Pascal. Ćwiczenia praktyczne”, Helion, Gliwice 2006 M Sysło, „Elementy Informatyki”, PWN, Warszawa 1993 B. Gleichgewicht, „Algebra, Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych”, PWN, Warszawa 1983

44 Literatura Z. Suraj, T. Rumak „Algorytmiczne rozwiązywanie zadań i problemów”, Fosze, Rzeszów 1995 A. Sebyła „Algorytmy matematyczne języku Basic i Turbo Pascal”, PLJ, Warszawa1993

45 Internet Materiały dydaktyczne prof. Zbigniewa Łuckiego, „Matematyczne techniki zarządzania” Strony dydaktyczne, mgr Jerzy Wałaszek Algorytmy i struktury danych Nowe cechy języka Java w wersji 1.5

46

47 Metoda graficzna

48 Metoda graficzna

49 Metoda graficzna