ETO w Inżynierii Chemicznej MathCAD wykład 4.. Analiza danych Aproksymacja danych.

Prezentacja na temat: "ETO w Inżynierii Chemicznej MathCAD wykład 4.. Analiza danych Aproksymacja danych."— Zapis prezentacji:

1 ETO w Inżynierii Chemicznej MathCAD wykład 4.

2 Analiza danych Aproksymacja danych

3 definicja Aproksymacja jest działem analizy numerycznej zajmującym się najbardziej ogólnymi zagadnieniami przybliżania funkcji, polegającymi na wyznaczaniu dla danej funkcji f(x) takich funkcji F(x), które w określonym sensie najlepiej przybliżają funkcję f(x).

4 zastosowanie gdy funkcja f(x) jest zdefiniowana bardzo skomplikowanym wzorem gdy funkcja f(x) określona jest na dyskretnym zbiorze argumentów i znana jest postać funkcji aproksymującej otrzymuje się zależność ciągłą. Określa sie tylko wartości liczbowe parametrów, przy których przybliżenie danej funkcji jest najlepsze –wyznaczanie parametrów na podstawie danych doświadczalnych

5 rodzaje aproksymacja interpolacyjna aproksymacja jednostajna aproksymacja średniokwadratowa

6 aproksymacja interpolacyjna żąda się spełnienia warunku, aby funkcja dana f(x) i funkcja szukana F(x) przyjmowały dokładnie te same wartości na zbiorze z góry ustalonych punktów węzłowych. Czasem uzupełnia się warunkiem równości pochodnych w węzłach (jeżeli wartości pochodnych zostaną zadane).

7 aproksymacja jednostajna funkcję f(x) przybliżamy taką funkcją F(x) w całym przedziale [a,b], że maksymalne odchylenie osiąga minimum

8 aproksymacja średniokwadratowa funkcja aproksymująca wyznaczana jest z warunku, aby wartość wyrażenia była możliwie najmniejsza. Geometrycznie warunek ten wyraża żądanie, aby pole powierzchni między liniami reprezentującymi funkcję było najmniejsze Przy znanej postaci funkcji aproksymującej wartość E jest funkcją parametrów tej funkcji

9 aproksymacja średniokwadratowa W przypadku dyskretnego zbioru argumentów funkcja celu przyjmuje postać:

10 Jawna aproksymacja średniokwadratowa w MathCADzie Dzięki procedurze: minimize(funkcja, p1, p2,...) można tak dobrać szukane parametry funkcji aproksymującej aby zminimalizować sumę kwadratów odchyleń miedzy wartościami stabelaryzowanymi a obliczonymi z funkcji. funkcja – to funkcja obliczająca sumę kwadratów odchyłek miedzy wartościami danymi w zbiorze i obliczonymi funkcja aproksymującą. Argumentami są parametry funkcji aproksymującej

11 Algorytm: 1.Utworzenie funkcji dopasowującej. Argumentami są zmienna niezależna oraz szukane parametry 2.Nadanie licznikowi wartości z zakresu od 0 do ilość punktów danych w zbiorze –1 –Ilość danych w zbiorze można uzyskać stosując funkcję length, której argumentem jest dowolna kolumna danych 3.Utworzenie funkcji obliczającej sumę kwadratów odchyłek między doświadczeniem a wartościami obliczonymi z funkcji. Zmiennymi utworzonej funkcji są parametry funkcji aproksymującej 4.Założenie startowych wartości parametrów 5.Wykonanie procedury Minimize na utworzonej funkcji i parametrach.

12

13 Analiza danych Dowolna funkcja o parametrach wyznaczonych narzędziem genfit: c:=genfit(X, Y, c0, F) –c0 – startowy wektor szukanych parametrów funkcji –c - wektor szukanych parametrów –F – funkcja wektorowa zmiennej niezależnej i wektora c, składająca się szukanej funkcji oraz jej pochodnych po parametrach –X – zmienne niezależne ze zbioru danych –Y – zmienne zależne ze zbioru danych

14

15 Analiza danych Aproksymacja wielomianem: –aproksymacja średniokwadratowa –składnia Z:= Regress(X, Y, s) X wektor zmiennych niezależnych Y wektor zmiennych zależnych s – stopień wielomianu Wynikiem jest wektor Z, którego s+1 ostatnich elementów to parametry wielomianu

16 Analiza danych Kubiczna funkcja sklejana (Cubic Spline) –aproksymacja interpolacyjna –składnia Z:=lspline(X, Y) –Wynikiem jest wektor Z, parametrów funkcji sklejanej –Funkcja wymaga posortowania danych W:=csort(W,i), W – macierz danych, i – nr kolumny porządkującej

17 Analiza danych Funkcja interpretująca równanie interp uwalnia od konieczności pisania równania: F(x):=interp(Z, X, Y, x) odpowiada np. Y(x):=Z 4 +Z 5 x+Z 6 x 2 (przy Z wyznaczonym procedurą regress) –Z – wektor znaleziony przez procedurę aproksymującą –X, Y – wektory zmiennych zależnych i niezależnych ze zbioru danych –x – zmienna niezależna

18

19 Można różniczkować Można całkować

20