Ocena rozkładu na podstawie wykresów kwantylowych

Prezentacja na temat: "Ocena rozkładu na podstawie wykresów kwantylowych"— Zapis prezentacji:

1 Ocena rozkładu na podstawie wykresów kwantylowych
Zofia Hanusz, Joanna Tarasińska Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie

2 Jednowymiarowe wykresy kwantylowe
- niezależne punkty powinny się układać wzdłuż linii kwantyl z próby rzędu kwantyl z N(0,1) Miarą współliniowości punktów jest statystyka Shapiro-Wilka. Jej małe wartości świadczą o braku współliniowości i powodują odrzucenie hipotezy o normalności rozkładu.

3 kwantyl z rozkładu o dystrybuancie F
Jeśli próba nie pochodzi z rozkładu normalnego, to punkty Pi układają się przeważnie w krzywą nieliniową a po jej kształcie można czasem odgadnąć takie cechy rozkładu, jak skośność czy rodzaj „ogonów”. Na dalszych rysunkach przedstawiono teoretyczny kształt krzywych, wzdłuż których układają się punkty gdy próba jest generowana z określonych rozkładów. Krzywe te opisane są równaniem : kwantyl z rozkładu F kwantyl z rozkładu o dystrybuancie F kwantyl z N(0,1)

4 rozkład jednostajny na (0,1)
n=20 p-value= n=100 p-value=

5 rozkład Beta(2,2) n=20 p-value=0,1534 n=100 p-value=0,0169

6 Rozkład t(1) n=20 p-value = 4,427 E-05 n= p-value = 2,2 E-16

7 Rozkład t(5) n=20 p-value = 0,0592 n=100 p-value = 0,0066

8 Rozkład wykładniczy(l=1)
n=20 p-value = 0,00074 n= p-value = 3,21 E-11

9 Mieszanina ½ z N(0,1), ½ z N(5,1)
n=20 p-value = 0,0324 n=100 p-value = 6,256 E-06

10

11 scale contaminated normal (Tukey)
Mieszanina Mieszanina ½ z N(0,1), ½ z N(0,9) scale contaminated normal (Tukey) n=100 p-value = E-05 n=20 p-value =

12

13 dwumianowy (10,0.1) n=20 p-value = n=100 p-value = E-09

14 Poissona (l=1) n= p-value = 4,344 E-10 n=20 p-value = 0,0085

15 Poissona (l=20) n=20 p-value = 0,737 n= p-value = 0,7532

16 Dane wielowymiarowe – metoda graficzna Small’a (Small, 1978, Biometrika 65)
- iid (Gnanadesikan & Kettenring, 1972, Biometrika 28) as. niezależne powinny ułożyć się wzdłuż prostej c=d kwantyl rozkładu Beta rzędu (Blom,1958,”Statistical estimates and transformed Beta-variables” Wiley, New York)

17 Następnie narysowano (czerwoną) linię łączącą punkty
Obliczono średnie Aby znaleźć prawdziwą teoretyczną linię, wokół której układają się punkty w metodzie Smalla generowano 100 000 prób o liczebności n z ustalonego rozkładu. Dla każdej próby znaleziono ciąg Następnie narysowano (czerwoną) linię łączącą punkty ( ) i j c .

18 Rozkład t(1)p n=20, p= 2 p-value 4.796 E-06 n=100, p=2, p-value = 0

19 Rozkład jednostajny(0,1)p
n=20, p=2, p-value = 0.158 Uwaga! tu słaba moc H-Z a na wykresie Smalla wyraźnie widać nienormalność n=100, p=2, p-value =

20 n=20, p=2, jedn(0,1)p Beta(2,2)p MPII(0) t(1)p t(2)p MPVII(2)

21 N(0,I) t(2)2 MPVII(2)

22 Symetryczny czy skośny?
n = 20, p = 2 t(1)p t’(1,l=5)p

23 Mieszanina ½ z N([0,0],I), ½ z N([5,0],I)
n=20, p=2 p-value = 0.106 (widać, że kiepsko Small wykrywa) n=100, p=2 p-value =

24 Rozkład dwumianowy(n=10, q=0,1)p
100-elementowa próba p=4, p-value = E-07 p=2, p-value = E-05

25 Dane wielowymiarowe – wykres kwantylowy Adaptacja pomysłu Roystona
(Royston , 1983, „Some techniques for assessity multivariate normality based on Shapiro-Wilk W”, Appl. Statist.32, ) dystr. asymp.

26 Aby znaleźć teoretyczną linię, wokół której układają się punkty na wykresie kwantylowym generowano po 10 000 prób o liczebności n z różnych rozkładów . Dla każdej próby j znaleziono ciąg statystyk porządkowych Narysowano linię łączącą punkty punkty powinny ułożyć się wzdłuż prostej y = x

27 n=100, p=2 Rozkład t(1)2 Roystona Smalla

28 n=100, p=2 Rozkład jednost.(0,1)2 Roystona Smalla

29 Mieszanina ½ z N([0,0],I), ½ z N([5,0],I)
n=100, p=2 Mieszanina ½ z N([0,0],I), ½ z N([5,0],I) Smalla Roystona