Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

schematy Verleta równanie falowe ciąg dalszy

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "schematy Verleta równanie falowe ciąg dalszy"— Zapis prezentacji:

1 schematy Verleta równanie falowe ciąg dalszy metoda różnic skończonych, zamiast rozkładu na drgania własne (który może być wolnozbieżny) Rozwiązanie numeryczne: dzielimy strunę na N fragmentów, dla każdego z nich rozwiązujemy równania Newtona (zabieg odwrotny do wyprowadzenia równania różniczkowego) v(x,t) - prędkość u(x,t) - wychylenie z równania falowego:

2 Schemat Verleta (popularny dla symulacji dynamiki molekularnej)
Phys. Rev. 159, 98 (1967) m F Pomysł: rozwinąć położenie r w chwili t+Dt i t-Dt w szereg Taylora tylko o jeden rząd mniej dokładny niż RK4

3 Jeśli chodzi nam tylko o tor ruchu: świetny schemat.
Schemat Verleta Jeśli chodzi nam tylko o tor ruchu: świetny schemat. Nie używa prędkości, ale ta często potrzebna potrzebna: np do wyliczenia energii, ale również : sił (np. oporu, Lorentza) jeśli siły niezależne od prędkości, a informacja o nich potrzebna jest do innych celów można - wykonać krok do t+Dt, a potem rząd błędu wyższy, wciąż dokładnie dla ruchu jednostajnie przyspieszonego a stałe między t a Dt jeśli siły zależą od prędkości: nie wykonamy kroku do t+Dt, możemy co najwyżej: kiepsko: wynik dokładny tylko dla a=0

4 prędkościowa wersja schematu Verleta
(dający prędkości jednocześnie z położeniami) Położenia – poświęcamy jeden rząd dokładności: Potrzebny przepis na prędkość w chwili t + Dt z błędem O(Dt2): Rozwinąć r w Taylora względem punktu t+ Dt: Dodać stronami: (wzór potencjalnie niejawny) Wzory podkreślone na czerwono – Verlet prędkościowy.

5 uwaga: jeśli siły (przyspieszenia) zależą od prędkości
Verlet prędkościowy Inny (popularny) zapis wzorów w czerwonej ramce uwaga: jeśli siły (przyspieszenia) zależą od prędkości ostatnie równanie jest niejawne

6 ćwiczenia z laboratorium
Rozwiązania numeryczne 1. (laboratorium) L=1 u(x,t=0)=exp[-100(x-0.5)2] v(x,t=0)=0 u(x,t) Odbicie ze zmianą fazy (idzie górą , wraca dołem) v(x,t)

7 Rozwiązanie numeryczne 2.
Może się swobodnie przesuwać po mocowaniu Swobodne warunki brzegowe: na brzegach na strunę nie działa żadna siła pionowa: Warunek brzegowy Neumana (na pochodną) zamiast Dirichleta (na wartość funkcji) Odbicie bez zmiany fazy: idzie górą, górą wraca u u v x

8 energia drgania: kinetyczna Potencjalna: odkształcenie struny Dla r(x)=r Dla pojedynczego modu własnego w=kc T0=rc2 Kinetyczna na potencjalną się zmienia, całkowita zachowana

9 Analiza chwilowa drgania
Rozwiązując równanie falowe schematem Verleta można z zależności czasowych wydobyć częstości własne bez konieczności rozwiązywania równania własnego Gdy drgania tłumione - częstość przestrzenna modów własnych nie ulega zmianie (zobaczymy), ale czasowa – tak. Analiza chwilowa drgania na podstawie wychylenia zależności położeniowych = wychylenia g(x) i prędkości h(x) w danej chwili.

10 Równanie fali tłumionej
a > 0 = stała tłumienia c niezależna od położenia Opory związane z prędkością struny [np. powietrza] Warunki brzegowe u(x=0,t)=u(x=L,t)=0 Warunki początkowe u(x,t) oraz v(x,t). Mody normalne dla fali tłumionej: Poszukajmy rozwiązania metodą separacji zmiennych u(x,t)=X(x)T(t) część przestrzenna bez zmian! Xn(x)=sin(knx) kn=np /L k=w /c

11 Część przestrzenna: wstawiamy T=exp(rt), równanie charakterystyczne: exp(rt) [ r2+2ar+wn2] = 0 , szukamy rozwiązań na r możliwe przypadki: 2 pierwiastki rzeczywiste, jeden podwójny, obydwa zespolone Struna spoczywa w chwili początkowej Warunki początkowe: Rozwiązanie określone co do stałej multiplikatywnej (równanie jednorodne)

12 wn= ncp /L L=1, c=1, wn= np a=8, w1 i w2 = „przetłumione” pozostałe „tłumione” Słabe tłumienie a<w1 Drganie z w1 Poza zanikiem drgania widzimy zmniejszenie częstości Najpierw zgasną wyższe tłumienia

13 Rozwiązanie równania fali tłumionej
rozwiązanie ogólne: Położeniowa analiza Fourierowska - rozkład na mody normalne w danej chwili : cn(t) = część przestrzenna nie zmienia się pod wpływem tłumienia. aby wydobyć cn : drugie równanie wydzielimy przez wn, podniesiemy w kwadracie i dodamy w ogólności zależne od czasu

14 W chwili początkowej pakiet f(x,t=0)=exp(-100(x-0.5)2)
udział względny: Przykład: L=1 W chwili początkowej pakiet f(x,t=0)=exp(-100(x-0.5)2) E=K+P (kinetyczna+potencjalna) a=0.5 a=2 a=4 a=8 x t Spadek E najszybszy gdy K największe

15 wn=np a=0 Parzyste n nie wnoszą przyczynku (symetria)
Wszystkie mody tłumione równie silnie a=0.5 oscylujący udział modów normalnych im wyższe wn tym bardziej stały względny udział

16 a=2 a=3 a=4, większe tylko od w1 a=12 większe od w1 i w3

17 Laboratorium: R. hiperboliczne z niejednorodnością: Drgania tłumione z siłą wymuszającą
Siła przyłożona punktowo F niejednorodność wymuszenie periodycznie zmienne

18 Dla t=0 struna spoczywa (v(x,t)=0)w położeniu równowagi (u(x,t)=0)
Prędkość dźwięku = 1 Siła przyłożona w środku struny x0=1/2 u(x,t) a=1 w=0.5p w=2p a=3 w=2p pojawia się „stan ustalony” = drgania periodyczne. x czas W stanie ustalonym ruch jest periodyczny z okresem siły wymuszającej (mode locking).

19 Brakuje w2n ?? Dlaczego? Stan ustalony a energia struny
Średnia energia w stanie ustalonym: Siła przyłożona w środku struny x0=1/2 Rezonans Brakuje w2n ?? Dlaczego?

20 Stan ustalony a energia struny
Średnia energia w stanie ustalonym: Siła przyłożona w środku struny x0=1/2 Rezonans n=1 n=2 Brakuje w2n ?? W środku studni = węzeł dla parzystych n

21 mody z parzystym n wzbudzone gdy punkt przyłożenia przesunąć ze środka
0.5 Krzywa rezonansowa w przybliżeniu opisana przez sumę funkcji Lorentza Siła sprzężenia = kwadrat wartości modu normalnego w miejscu przyłożenia siły:

22 Średnie energie stanu ustalonego a wzory lorentowskie
Rezonans a stała tłumienia

23 r0=1 Laboratorium 2: odbicie pakietu od granicy ośrodków V=1 położenie
czas V=2

24 V=1 r0=2 r0=4 położenie r0=100 r0=10 czas

25 Część energii, która pozostaje po lżejszej stronie struny r=1 po odbiciu

26 CFL dla równania falowego
Domena zależności (Domain of Dependence) i kryterium stabilności CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) t x domena zależności: tylko zdarzenia z trójkąta ograniczonego charakterystykami mogą mieć wpływ na rozwiązanie w punkcie P

27 kryterium stabilności CFL (Courant-Friedrichs-Lewy)
Numeryczna domena zależności [NUMERYCZNA PRZESZŁOŚĆ] schemat Verleta dla przyspieszenia danego przez prawą stronę równania: czas położenie

28 aby przekroczyć kryterium CFL (prędkość dźwięku): schematy niejawne
kryterium stabilności CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) numeryczna dokładna warunek: jak dla adwekcji aby przekroczyć kryterium CFL (prędkość dźwięku): schematy niejawne dla równań mechaniki standardowy schemat niejawny = schemat Newmarka (dlaczego Crank-Nicolson się nie stosuje?)

29 u(t+dt)=u(t)+v(t)dt+dt2/2 a(t)
algorytm Newmarka (uogólnienie prędkościowego Verleta, standardowy chemat niejawny dla równań opisujących układy dynamiczne) w Verlecie prędkościowym używamy przepisów: z g=1/2 u(t+dt)=u(t)+v(t)dt+dt2/2 a(t) v(t+dt)=v(t)+dt [(1-g)a(t)+ga(t+dt)] Czyli: w Verlecie: jawna formuła na położenie, potencjalnie niejawna na prędkość ta nie wystarczy dla bezwzględnej stabilności przy kroku czasowym cdt>dx (zobaczymy analizą v.Neumanna) dla Newmarka: wprowadzamy niejawność (ważenie przyspieszeń z teraźniejszości i przyszłości) również do wzoru na położenia: u(t+dt)=u(t)+v(t)dt+dt2/2 [(1-2b)a(t)+2ba(t+dt)] algorytm prędkościowy Newmarka źródło: WJT DANIEL, computational mechanics 20 (1997) 272 zróbmy z tego formułę położeniową: bez prędkości, za to dwupoziomową (t+dt) względem t, t-dt wyeliminować prędkości :

30 u(t)=u(t-dt)+v(t)dt+dt2/2 [(2g-2b-1)a(t-dt)+(2b-2g)a(t)]
u(t+dt)=u(t)+v(t)dt+dt2/2 [(1-2b)a(t)+2ba(t+dt)] (*) v(t+dt)=v(t)+dt [(1-g)a(t)+ga(t+dt)] dla kroku poprzedniego= u(t)=u(t-dt)+v(t-dt)dt+dt2/2 [(1-2b)a(t-dt)+2ba(t)] dla kroku poprzedniego = v(t)=v(t-dt)+dt [(1-g)a(t-dt)+ga(t)] u(t)=u(t-dt)+v(t)dt+dt2/2 [(1-2b)a(t-dt)+2ba(t)]-dt2[(1-g)a(t-dt)+ga(t)] u(t)=u(t-dt)+v(t)dt+dt2/2 [(2g-2b-1)a(t-dt)+(2b-2g)a(t)] u(t-dt)=u(t)-v(t)dt-dt2/2 [(2g-2b-1)a(t-dt)+(2b-2g)a(t)] (*) dodamy stronami gwiazdki aby usunąć prędkość ze schematu

31 u(t+dt)=u(t)+v(t)dt+dt2/2 [(1-2b)a(t)+2ba(t+dt)]
+ stronami u(t-dt)=u(t)-v(t)dt+dt2/2 [(-2g+2b+1)a(t-dt)+(2g-2b)a(t)] skasujemy prędkość u(t-dt)+u(t+dt)=2u(t) +dt2/2[2ba(t+dt)+(1-4b+2g)a(t)+(-2g+2b+1)a(t-dt)] u(t+dt)=2u(t) -u(t-dt)+dt2[ba(t+dt)+(1/2-2b+g)a(t)+(-g+b+1/2)a(t-dt)] algorytm Newmark = wersja położeniowa, dwa parametry g,b dla porównania Verlet położeniowy wagi przy przyspieszeniu: b+1/2-2b+g-g+b+1/2=1 (wszystkie wybory dają schemat, który w granicy małego dt redukuje się do Verleta) Newmark sprowadza się do Verleta gdy g=1/2, b=0 (maks dokładność lokalny błąd czwartego rzędu) rola g, b – zobaczymy jak się sprawdzają w praktyce

32 u(t+dt)=2u(t) -u(t-dt)+dt2[ba(t+dt)+(1/2-2b+g)a(t)+(-g+b+1/2)a(t-dt)]
u(t+dt)=2u(t) -u(t-dt)+dt2[ba(t+dt)+aa(t)+da(t-dt)] jak wykonać krok czasowy? sposób rozwiązywania zależy od wyrażanie na a dla struny: Po przegrupowaniu wyrazów: układ równań liniowych z macierzą trójprzekątniową stencil:

33 schemat Newmark MRS, struna dt=dx
101 węzłów Verlet (b=0, g=1/2) b=.9 g=1/2 dokładny (b=1/2, g=1/2) (b=1/2, g=1) czas dla dt=dx najlepszy wybór b=0, g=1/2 (jawny, Verlet) położenie

34 Newmark jest po to aby przekroczyć kryterium CFL
dla dt=dx najlepszy wybór b=0, g=1/2 (jawny, Verlet) widzimy eksplozję rozwiązania z maksymalną zmiennością przestrzenną: Verlet dla dt=dx*1.01 Newmark jest po to aby przekroczyć kryterium CFL

35 zostawmy g=1/2 (jak dla Verleta) i manipulujmy b
101 węzłów rola g (dt=1.5dx, b=0.5) g= MRS: schemat Newmark rola parametrów metody b>0 – wynosi stabilność poza kryterium CFL, kosztem generacji wyższych częstości przestrzennych g>1/2 ogranicza wzmacnianie wyższych częstości kosztem dyssypacji (zaniku całego pakietu) g<1/2 – schemat jest niestabilny zostawmy g=1/2 (jak dla Verleta) i manipulujmy b

36 schemat jeszcze stabilny
poza CFL: dt > cdx dt=1.5dx, g=0.5, schemat staje się stabilny dla b>0.15 101 węzłów MRS b=.9 rosnące beta generuje wyższe częstości wniosek: najlepszy minimalne b przy którym schemat jeszcze stabilny czy można je wyznaczyć analitycznie?

37 u(t+dt)=2u(t) -u(t-dt)+dt2[ba(t+dt)+(1/2-2b+g)a(t)+(-g+b+1/2)a(t-dt)]
Projektowanie schematu Newmarka dla zadanego kroku czasowego. dobrać minimalne b aby metoda była stabilna dla danego dt ? Będziemy wiedzieli, że po wyższe b nie warto sięgać. analiza von Neumanna dla g=1/2 u(t+dt)=2u(t) -u(t-dt)+dt2[ba(t+dt)+(1/2-2b+g)a(t)+(-g+b+1/2)a(t-dt)] u(t+dt)-dt2 ba(t+dt) =2u(t) -u(t-dt)+dt2[(1-2b)a(t)+ba(t-dt)] Ansatz von Neumanna:

38 Sytuacja będzie taka: dopóki D<0 : 2 pierwiastki, o module nie większym od 1 gdy D>0 metoda stanie się niestabilna

39 -2<c<0 zawsze żeby pod pierwiastkiem liczba ujemna potrzeba aby: |l|2<1 ? daje ten sam wynik b>1/4 – metoda stabilna dla dowolnego t [ ponieważ c < 0] uwaga: możemy sobie teraz sprawdzić stabilność Verleta dla dt=dx oraz beta=0 , ¼+1/(2c) <0 [ok.]

40 b c dt=1.5 dx dobór beta zapewniającego stabilność schematu Newmark
w MRS dla zadanego kroku czasowego dt=1.5 dx 0.15 b c

41 dobór beta zapewniającego
stabilność schematu Newmark w MRS dla zadanego kroku czasowego 1/4 1/4 dt=15dx dt=dx c

42 dt=15dx b=.25 MRS, Newmark, g=1/2 dt=15dx b=.24
struna, b. wiele chwil czasowych dt=15dx b=.25 MRS, Newmark, g=1/2 dt=15dx b=.24 bo beta była zbyt mała: Ze schematem Newmarka spotkamy się ponownie przy omawianiu MES, Pokażemy, że umożliwia on skuteczne prowadzenie Rachunków dla lokalnie zagęszczonej siatki


Pobierz ppt "schematy Verleta równanie falowe ciąg dalszy"

Podobne prezentacje


Reklamy Google