Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia)

Prezentacja na temat: "Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia)"— Zapis prezentacji:

1

2 Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia)
Nazwa szkoły: Zespół Szkół Nr5 ID grupy: 97/41_mf_g1 Kompetencja: matematyczno - fizyczna Temat projektowy: TP 011 NEWTON Semestr/rok szkolny: I / 2010/2011

3 TP 011 Newton

4 Johannes Kepler ( )

5 Osiągnięcia wprowadził pojęcie siły, opisał ruch planet,
odkrył że planety nie poruszają się po orbitach eliptycznych, odkrył że planety poruszają się z różnymi prędkościami względem Słońca, prawa Keplera, skonstruował lunetę Keplerowską,

6 I prawo Keplera „Każda planeta Układu Słonecznego porusza się wokół Słońca po elipsie, w której w jednym z ognisk jest Słońce”.

7 II prawo Keplera W równych odstępach czasu, promień wodzący planety poprowadzony od Słońca zakreśla równe pola

8 III prawo Keplera ,,Stosunek kwadratu okresu obiegu planety wokół Słońca do sześcianu wielkiej półosi jej orbity (czyli średniej odległości od Słońca) jest stały dla wszystkich planet w Układzie Słonecznym”

9 Luneta Keplera Instrument optyczny wynaleziony w roku 1611 przez niemieckiego fizyka Jana Keplera, a po raz pierwszy zbudowany w 1615 roku przez Christiana Scheinera. Składa się z dwóch soczewek skupiających, z czego większa soczewka przednia jest obiektywem, a druga mniejsza i umieszczona za ogniskiem obiektywu jest okularem. Obiektyw daje obraz przedmiotu, który jest rzeczywisty, zmniejszony i odwrócony. Okular, pełni tutaj rolę lupy, która daje obraz pozorny, powiększony i odwrócony względem przedmiotu. Luneta Keplera uzupełniona o dodatkowe soczewki lub pryzmaty stanowi podstawę konstrukcji współczesnych refraktorów astronomicznych, lunet i lornetek.

10 Kartezjusz ( )

11 Osiągnięcia optyka geometryczna np. prawo załamania światła, prawo odbicia, układ współrzędnych, geometria analityczna, rachunek różniczkowy, rachunek całkowy, geometria różniczkowa, wprowadził pojęcia: funkcji, liczb urojonych, twierdzenie Bezout, twierdzenie o liczbach rzeczywistych i zespolonych pierwiastków równań algebraicznych, oszacowanie liczb dodatnich i ujemnych pierwiastków równania algebraicznego, rozwiązanie graficzne równania algebraicznego trzeciego stopnia, zasada zachowania pędu, teoria wirów,

12 Układ współrzędnych Układ współrzędnych – funkcja przypisująca każdemu punktowi danej przestrzeni (w szczególności przestrzeni dwuwymiarowej – płaszczyźnie, powierzchni kuli itp.) skończony ciąg (krotkę) i liczb rzeczywistych zwanych współrzędnymi punktu.

13 Newton ( )

14 Osiągnięcia Fizyka: prawo powszechnego ciążenia, prawa ruchu,
zasady dynamiki, podał matematyczne uzasadnienie praw Keplera, wykazał że orbity planet mogą być nie tylko eliptyczne ale hiperboliczne i paraboliczne, głosił korpuskularną naturę światła, głosił że widmo barw jest własnością światła, rozwinął prawo stygnięcia, sformułował zasadę zachowania pędu i momentu pędu, opisał matematycznie zjawisko pływów morskich, zjawisko aberracji chromatycznej, teleskop zwierciadlany, wyprowadził wzór na prędkość dźwięku w powietrzu, Matematyka: rozwinął teorie rachunku różniczkowego wraz z Loebnitz’em, stworzył rachunek wariacyjny, sformułował twierdzenie o dwumianie,

15 Prawo powszechnego ciążenia
Każde dwa ciała przyciągają się siłą wprost proporcjonalna do iloczynu ich mas I odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi. G stała grawitacji, mówi z jaka siła przyciągać się będą dwa ciała o jednostkowej masie (1kg) z odległości 1m. G = 6,67*10-19Nm2/kg2

16 Dwumian Newtona Trójkąt Pascala

17 I zasady dynamiki Newtona
Jeśli na ciało nie działa żadna siła lub działające siły się równoważą, to ciało pozostaje w ruchu lub porusza się ruchem jednostajnie prostoliniowym

18 II zasady dynamiki Newtona
Jeśli na ciało działają niezrównoważone siły to nadają mu przyspieszenia wprost proporcjonalnego do wartości przyłożonej siły I odwrotnie proporcjonalnego do masy ciała.

19 III zasady dynamiki Newtona
Jeśli na ciało A działa na ciało B siła FAB to ciało B działa na ciało A siłą FBA równą jej co do wartości lecz o przeciwnym zwrocie

20 Pędem ciała nazywamy iloczyn masy ciała i jego prędkości
Pęd ciała Pędem ciała nazywamy iloczyn masy ciała i jego prędkości

21 Zasada zachowania pędu
W izolowanym układzie ciał całkowity pęd ciała nie ulega zmianie.

22 Układ inercjalny Układ inercjalny (inaczej inercyjny) – układ odniesienia, względem którego każde ciało, niepodlegające zewnętrznemu oddziaływaniu z innymi ciałami, porusza się bez przyspieszenia (tzn. ruchem jednostajnym prostoliniowym lub pozostaje w spoczynku). Istnienie takiego układu jest postulowane przez pierwszą zasadę dynamiki Newtona. Zgodnie z zasadą względności Galileusza wszystkie inercjalne układy odniesienia są równouprawnione i wszystkie prawa mechaniki i fizyki są w nich identyczne. Inercjalny układ odniesienia można również zdefiniować jako taki układ, w którym nie pojawiają się pozorne siły bezwładności.

23 Układ nieinercjalny Nieinercjalny układ odniesienia – układ odniesienia poruszający się ruchem niejednostajnym względem jakiegokolwiek inercjalnego układu odniesienia. Opisując ruch ciała w układzie nieinercjalnym należy uwzględnić dodatkowe siły działające na ciała których wartość zależy od ruchu układu nieinercjalnego względem inercjalnego np.: siła bezwładności, siła Coriolisa.

24 Siły w układzie nieinercjalnym
Ruch w układzie nieinercjalnym Zgodnie z drugą zasadą dynamiki, siła działająca na ciało nadaje mu pewne przyspieszenie. Ciało pozostające w układzie poruszającym się ze zmienną prędkością, doznaje w układzie nieruchomym szeregu dodatkowych przyspieszeń wynikających z ruchu układu, w którym się znajduje. Konsekwentnie - skoro ciało to doznaje przyspieszeń - musi nań działać jakaś siła! Zgodnie zaś z trzecią zasadą dynamiki - ciało to musi wywierać siłę reakcji na sąsiadujące z nim przedmioty. Pierwsza zasada dynamiki określa zaś układ poruszający się ze zmienną prędkością jako układ nieinercjalny. Zapiszmy równanie Newtona w układzie nieruchomym, inercjalnym Analogiczne równanie dla układu ruchomego, mającego przyspieszenie , mieć będzie postać Siła Fb nie jest jednak żadną konkretną siłą wywieraną na ciało, ale jest konsekwencją przyspieszenia a układu ruchomego względem układu nieruchomego. Ta pozorna siła Fb=- ma0 zwana jest siłą inercji lub siłą bezwładności.

25 Siły w układzie nieinercjalnym
Siła inercji w ruchu postępowym Kiedy siedzimy w pociągu lub autobusie, który rusza lub hamuje - odczuwamy działanie pewnej siły, choć nikt nas nie popycha ani nie ciągnie. Przyspieszenie ciała poruszającego się ruchem postępowym, rozpatrywane w nieruchomym (inercjalnym) układzie odniesienia ma postać a=a’+a0 Drugie prawo Newtona w układzie nieruchomym ma więc postać. F= ma = m(a’+a0) = ma’ + ma0 W układzie ruchomym pojawia się więc siła bezwładności skierowana przeciwnie do kierunku przyspieszenia układu ruchomego i jest proporcjonalna do jego wartości F = ma’ = F - ma0 = F + Fb Fb = -ma0

26 Siły w układzie nieinercjalnym
Kiedy winda rusza w kierunku ku górze, siła bezwładności skierowana jest ku dołowi sumując się z siłą ciężkości co odpowiada pozornemu wzrostowi naszego ciężaru. Kiedy winda porusza się w dół mamy relację odwrotną - siła bezwładności odejmuje się od siły ciężkości. Relacje te możemy zapisać w formie

27 Siły w układzie nieinercjalnym
Siła odśrodkowa Ruch obrotowy Ziemi Promień krzywizny ruchu po okręgu określony jest przez szerokość geograficzną w rezultacie czego wartość siły odśrodkowej będzie zależała od szerokości geograficznej ciała na kuli ziemskiej. Siła ta występuje w ruchu obrotowym i wszystkich ruchach krzywoliniowych

28 Siły w układzie nieinercjalnym
Siła Coriolisa Siła ta pojawia się jedynie, gdy ciało porusza się w układzie, który sam jest w ruchu obrotowym. Znak minus oznacza, jak i w poprzednich przypadkach, że siła ta jest skierowana przeciwnie do kierunku przyspieszania; jest bowiem siłą reakcji.

29 Siły oporu F ~ V lub Fop = bV
Siły oporu to siły których zwrot jest przeciwny do zwrotu Wektora prędkości ciała, dążąca do utrzymani ciała w stanie spoczynku. Gdy ciało spada swobodnie w polu grawitacyjnym siła ma zwrot przeciwny do zwrotu przyspieszenia grawitacyjnego, a jej wartość jest proporcjonalna do szybkości ciała. F ~ V lub Fop = bV b – współczynnik proporcjonalności zależny od właściwości ośrodka Gdy wartość siły oporu osiągnie wartość równą sile grawitacji, ciało osiągnie szybkość graniczną i siła wypadkowa od tej chwili będzie równa zero. Fop Fw = Fg + Fop ma = mg + Fop ma = mg - bV 0 = mg – bV b = mq/V Fg = mg

30 Tarcie Siły tarcia to siła dążące do utrzymania ciała w stanie spoczynku, skierowane są przeciwnie do kierunku ruchu ciała.

31 Siła tarcia przeciwstawia się wówczas ruchowi.
Tarcie ślizgowe Tarcie ślizgowe (tarcie suwne) - tarcie występujące na styku dwóch ciał stałych (jest tarciem zewnętrznym), gdy ciała przesuwają się względem siebie lub gdy ciała spoczywają względem siebie a istnieje siła dążąca do przesunięcia ciał. Tarcie ślizgowe jest zjawiskiem powszechnym i występuje zawsze gdy styk ciał przenosi siłę nacisku. Tarcie spoczynkowe (statyczne) – występujące między dwoma ciałami gdy nie przemieszczają się względem siebie. Tarciem ruchowym – występuje gdy dwa ciała ślizgają się lub toczą po sobie. Siła tarcia przeciwstawia się wówczas ruchowi.

32 Tarcie statyczne współczynnik tarcia statycznego

33 Tarcie toczne Tarcie toczne – opór ruchu występujący przy toczeniu jednego ciała po drugim np. pomiędzy elementami łożyska tocznego, między oponą a nawierzchnią drogi. Zwykle tarcie toczne jest znacznie mniejsze od tarcia ślizgowego występującego między ciałami stałymi, dlatego toczenie jest częstym rodzajem ruchu w technice. Moment tarcia Mt=fN działający "w lewo" (wokół chwilowego punktu obrotu na styku f z powierzchnią walca) - hamuje toczenie walca "w prawo"; N - nacisk; f - współczynnik tarcia tocznego równy długości ramienia momentu siły N Współczynnik tarcia f; Rp - asymetryczna reakcja podłoża; N - nacisk; Ft - siła tarcia tocznego; Rp - asymetryczna reakcja podłoża; N - nacisk; P - siła ciągnąca; suma wektorów sił Rp + N + P = 0; Ft = − P jest siłą tarcia tocznego hamującą ruch P - siła ciągnąca; Ft - siła tarcia; R - promień walca; Ft = P;

34

35 Wykresem funkcji liniowej f określonej wzorem f(x) = ax + b dla x ∈ R
Funkcja liniowa Wykresem funkcji liniowej f określonej wzorem f(x) = ax + b dla x ∈ R α – kąt nachylenia linii prostej do osi OX a = tgα b – określa punkt [0, b] przecięcia wykresu funkcji z osią OY

36 Funkcja liniowa Miejsce zerowe funkcji liniowej
Miejsce zerowe funkcji to argument, dla którego dana funkcja przyjmuje wartość 0. Interpretacją geometryczną miejsca zerowego jest odcięta punktu, w którym wykres funkcji przecina albo styka się z osią OX w prostokątnym układzie współrzędnych. Jeżeli funkcja f(x) = ax + b nie jest funkcją stałą, to posiada ona dokładnie jedno miejsce zerowe określone wzorem x = -b /a, Jeżeli funkcja f jest funkcją stałą f(x)=const. , - to albo nie posiada miejsc zerowych (dla b ≠ 0), albo wszystkie jej argumenty są miejscami zerowymi (dla b = 0).

37 Funkcja liniowa Monotoniczność funkcji liniowej
Monotoniczność funkcji liniowej zależy od współczynnika kierunkowego prostej a. Jeżeli: a > 0, to funkcja liniowa jest rosnąca a < 0, to funkcja liniowa jest malejąca a = 0, to funkcja liniowa jest stała

38 Funkcja liniowa k: y = ax + b l: y = cx + d k || l ⇔ a = c
Warunek równoległości i prostopadłości prostych. Dane są dwie proste: k: y = ax + b l: y = cx + d Warunek równoległości prostych Proste w układzie współrzędnych są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki kierunkowe tych prostych są równe. k || l ⇔ a = c Warunek prostopadłości prostych Proste w układzie współrzędnych są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych wynosi -1. k ⊥ l ⇔ a · c = -1

39 Funkcja kwadratowa f(x) = ax2 + bx + c Funkcja kwadratowa
Jeżeli a ≠ 0, to funkcję f określoną wzorem f(x) = ax2 + bx + c nazywamy funkcją kwadratową. a, b, c - współczynniki liczbowe funkcji kwadratowej, Δ = b2 - 4ac - wyróżnik funkcji kwadratowej. Dziedziną funkcji kwadratowej jest cały zbiór liczb rzeczywistych x∈R Zbiorem wartości funkcji dla a > 0 jest przedział: y∈[-Δ4a,+∞), dla a < 0 przedział y∈(-∞,-Δ4a].

40 Funkcja kwadratowa Funkcję kwadratową można zapisać w postaci ogólnej (wielomianowej), kanonicznej lub iloczynowej. - postać ogólna: f(x) = ax2 + bx + c. postać kanoniczna: f(x) = a(x - p)2 + q, gdzie   p=-b2a, q=-Δ4a postać iloczynowa: f(x) = a(x - x1)(x - x2), gdzie x1, x2 są miejscami zerowymi.

41 Funkcja kwadratowa W=(-b2a,-Δ4a), Wykres funkcji kwadratowej
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, o wierzchołku W=(-b2a,-Δ4a), która jest obrazem paraboli o równaniu f(x) = ax2, w przesunięciu o wektor u→=[-b2a,-Δ4a]. Gdy a > 0, to ramiona paraboli są skierowane w górę i posiada ona minimum globalne, w przeciwnym a < 0 wypadku są skierowane w dół i ma ona maksimum globalne. Miejscem przecięcia wykresu funkcji kwadratowej z osią OY jest punkt (0, c).

42 Funkcja kwadratowa Δ = b2 - 4ac. Miejsca zerowe funkcji kwadratowej
Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy od wartości wyróżnika Δ = b2 - 4ac. W zależności od wyróżnika Δ funkcja kwadratowa: posiada dwa miejsca zerowe dla Δ > 0. x1=-b-Δ2a,  x2=-b+Δ2a posiada jedno podwójne miejsce zerowe dla Δ =0 x0=-b2a nie posiada miejsc zerowych dla Δ < 0,

43 Funkcja kwadratowa Monotoniczność funkcji kwadratowej
Funkcja kwadratowa w pewnym przedziale jest funkcją rosnącą, a w pewnym malejącą. Jeśli a > 0 funkcja jest rosnąca dla x∈(-b2a,+∞), malejąca dla x∈(-∞,-b2a). Jeżeli a < 0 funkcja jest rosnąca dla x∈(-∞,-b2a), malejąca dla x∈(-b2a,+∞).

44 Funkcja kwadratowa Wzory Viete’a

45 Funkcja trygonometryczna
W sposób równoważny można funkcje te (sinus, cosinus) definiować jak odpowiednie długości trójkąta wpisanego w okrąg jednostkowy, w następujący sposób

46 Funkcja sinus Dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Df = R Wszystkie wartości (przeciwdziedzina) znajdują się w przedziale domkniętym [-1. 1] f(X) = [-1, 1] Funkcja sinus jest funkcją nieparzystą. Każdej liczby z dziedziny tej funkcji sin(-x) = -sinx, oraz że wykres funkcji jest symetryczny względem punktu (0, 0). Sinus jest funkcją okresową o okresie podstawowym 2π. Wartości funkcji powtarzają się co 2π. Miejscami zerowymi funkcji sinus są liczby postaci kπ, k∈Z Znak funkcji sinus w I i II ćwiartce jest dodatni, w III i IV ujemny

47 Funkcja cosinus Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Df = R Wszystkie wartości (przeciwdziedzina) znajdują się w przedziale domkniętym [-1. 1] f(X) = [-1, 1] Funkcja kosinus jest funkcją parzystą. Każdej liczby z dziedziny tej funkcji cos(-x) = cosx, oraz że wykres funkcji jest symetryczny względem osi OY. Kosinus jest funkcją okresową o okresie podstawowym 2π. Wartości funkcji powtarzają się co 2π. Miejscami zerowymi funkcji kosinus są liczby postaci π2+kπ, k∈Z Znak funkcji kosinus w I i IV ćwiartce jest dodatni, w II i III ujemny

48 Funkcja tangens Funkcja tangens jest określona dla liczb rzeczywistych w postaci x≠π2+kπ, k∈Z W punktach tych znajdują się asymptoty pionowe wykresu tej funkcji. Df=R\{x:x=π2+kπ;k∈Z}, Wszystkie wartości (przeciwdziedzina) należą do zbioru liczb rzeczywistych f(X) = R Tangens jest funkcją nieparzystą. Oznacza to, że dla każdej liczby należącej do dziedziny funkcji, tg(-x) = -tgx. Tangens jest funkcją okresową o okresie podstawowym π. Wartości funkcji powtarzają się co π. Miejscami zerowymi funkcji tangens są liczby postaci kπ, k∈Z Znak funkcji tangens w I i III ćwiartce jest dodatni, w II i IV ujemny.

49 Funkcja cotangens Funkcja kotangens jest określona dla liczb rzeczywistych w postaci x ≠ kπ, k∈Z W punktach tych znajdują się asymptoty pionowe wykresu tej funkcji. Df = R\ {x:x = kπ, k∈Z} Wszystkie wartości (przeciwdziedzina) należą do zbioru liczb rzeczywistych f(X) = R Kotangens jest funkcją nieparzystą. Oznacza to, że dla każdej liczby należącej do dziedziny funkcji, ctg(-x) = -ctgx. Kotangens jest funkcją okresową o okresie podstawowym π. Wartości funkcji powtarzają się co π. Miejscami zerowymi funkcji kotangens są liczby postaci x=π2+kπ, k∈Z Znak funkcji kotangens w I i III ćwiartce jest dodatni, w II i IV ujemny.

50 Funkcje trygonometryczne Wzory redukcyjne
I ćwiartka II ćwiartka III ćwiartka IV ćwiartka φ 90 - α 90 + α 180 - α 180 + α 270 - α 270 + α 360 - α sinφ cosα sinα - sinα - cosα cosφ tgφ ctgα - ctgα - tgα tgα ctgφ

51 Funkcje trygonometryczne Tożsamości trygonometryczne
Podstawowe tożsamości trygonometryczne tgα=sinα/cosα=1/ctgα ctgα=cosα/sinα=1/tgα sin2α + cos2α = 1 tgα · ctgα = 1 Funkcje połowy kąta Znak + lub - wybieramy zależnie od tego, do której ćwiartki należy końcowe ramię kąta π2. Funkcje kąta podwójnego sin2α = sin(α+α)=2sinαcosα cos2α = cos(α+α)=cos2α - sin2α = 2cos2α - 1

52 Funkcje trygonometryczne
Funkcje sumy i różnicy katów Sumy i różnicy funkcji trygonometrycznych

53 Funkcje trygonometryczne

54 Granica funkcji Granica funkcji – wartość do której wartości danej funkcji zbliżają się nieograniczenie dla argumentów dostatecznie bliskich wybranemu punktowi. Funkcja f: A→R określona na zbiorze A ∈{R} ma w punkcie skupienia x0 tej funkcji granice równa g.

55 Rachunek różniczkowy Niech funkcja f będzie określona w pewnym otoczeniu U punktu x0. Oznaczmy symbolami: Δx przyrost zmiennej niezależnej x, gdzie x∈U(x0, δ) i x ≠ x0, Δy przyrost wartości funkcji, jaki odpowiada przyrostowi Δx. Mamy więc Δy = f(x0 + Δx) - f(x0). Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0 dla przyrostu Δx zmiennej x nazywamy stosunek     f(x0+Δx)-f(x0)Δx Granicę właściwą ilorazu różnicowego przy Δx→0 nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy symbolicznie f '(x0) Mamy więc f '(x0) = limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=limx→x0f(x)-f(x0)x-x0 Geometrycznym odpowiednikiem istnienia granicy jest istnienie prostej stycznej w punkcie A = (x0, f(x0)) do wykresu funkcji y = f(x)

56 Rachunek różniczkowy Geometrycznym odpowiednikiem istnienia granicy jest istnienie prostej stycznej w punkcie A = (x0, f(x0)) do wykresu funkcji y = f(x) Funkcję f nazywamy różniczkowalną w przedziale X wtedy, gdy ma pochodną w każdym punkcie tego przedziału. Różnicą funkcji f w punkcie x0 dla przyrostu Δx zmiennej niezależnej x nazywamy iloczyn f '(x0)Δx, przyrost Δx nazywamy różniczką zmiennej niezależnej x.

57 Rachunek różniczkowy Wzory podstawowe
Pochodna funkcji stałej Pochodna funkcji potęgowej Pochodna funkcji wykładniczej Pochodna funkcji logarytmicznej

58 Rachunek różniczkowy Działania na pochodnych
Jeżeli istnieją pochodne f '(x) i g'(x), to: (f(x) + g(x))' = f '(x) + g'(x), (f(x) - g(x))' = f '(x) - g'(x), (f(x)g(x))' = f '(x)g(x) + f(x)g'(x). dla g(x) ≠ 0 (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)(g(x))2 W szczególności dla g(x) = a, gdzie a∈R, mamy (af(x))' = af '(x)

59 Rachunek różniczkowy w Fizyce
Prędkość Przyspieszenie kątowe Przyspieszenie Zmiana momentu pędu Siła II prawo Keplera Moc

60 Rachunek całkowy Geometryczna interpretacja całki oznaczonej.
Wyrażenie f(x0dx reprezentowane jest przez pole elementarnego paska o szerokości dx i wysokości y(x), zaś całka oznaczona (4) równa jest polu figury pod krzywą y=f(x) i ograniczonej rzędnymi w punktach y(a) oraz y(b). Przy zamianie granic całkowania w wyrażeniu (2) znak całki zmienia się na przeciwny. 

61 Rachunek całkowy

62 Rachunek całkowy Jako poglądowy przykład obliczmy całkę oznaczoną  funkcji y=x w granicach od x=1 do x=2 . Otrzymana wartość, to pole figury pokazanej na rysunku kolorem jasno-zielonym. W naukach przyrodniczych interpretacją wartości pola pod wykresem jest wartość wielkości fizycznej np. pracy wykonanej przez ciało, czy też gazy.

63 Rachunek całkowy Praca w ruchu harmonicznym

64 Rachunek całkowy w Fizyce
Praca mechaniczna Praca gazu

65