Sposoby badania chaosu na przykładzie układów mechanicznych

Prezentacja na temat: "Sposoby badania chaosu na przykładzie układów mechanicznych"— Zapis prezentacji:

1 Sposoby badania chaosu na przykładzie układów mechanicznych
Inż. Marcin Chrząszcz

2 Cechy charakterystyczne chaosu
Wrażliwość na warunki początkowe Efekt motyla Istnieje co najmniej jedna gęsta orbita Zbiór orbit periodycznych jest gęsty.

3 Krótka historia chaosu
W 1963 r. Edward Lorentz opracował model procesów atmosferycznych, opartych na równaniach Naviera-Stokesa.

4 Tak wygląda układ Lorentza

5 Układ Rösslera Rozwiązane metodą Dormand Prince 4(5)

6 Wstęp matematyczny Rozważmy odwzorowanie dyskretne: (1)
Punktem stałym odwzorowania (1) nazywamy: Rozwiązania stabilne i niestabilne:

7 Podstawowy układ biologiczny
Dynamika populacji: Dla rozwiązanie stabilne Weźmy i poszukajmy punktów stałych: Bo stabilny!

8 Mamy bifurkacje Rozważamy przedział Pojawiają się bifurkację: =>
Równanie czwartego stopnie ma rozwiązania:

9 Sprawdzamy stabilność
Warunek na stabilność w i tym punkcie stałym: Po podstawieniu: Po rozwiązaniu: Zakładając teraz czterocykl można otrzymać kolejną wartość k=3,544

10 To co z tym chaosem??? Czy idąc dalej z tymi założeniami jesteśmy w stanie dojść do k=4? Okazuje się że nie, (dowód przez teologię, Bóg raczy wiedzieć dlaczego  ) Co się dzieje na przedziale (3,5699, 4] ? MAMY CHAOS !

11 Jak wygląda chaos?

12 Inne przykłady z mechaniki
Bilard SINAI Tylko jedna całka ruchu (Energia).

13 Chaos w kosmosie Ruch planet w galaktyce możemy modelować jako ruch pojedynczej planety w stałym potencjale. Taki właśnie model w 1962r wprowadził Michel Hénon i jego student Carl Heiles. Model ten zakładał potencjał w postaci: Żeby układ był całkowalny (nie było chaosu) układ musi mieć n całek ruchu, gdzie n jest liczbą stopni swobody.

14 Potencjał Hénona-Hilesa

15 Co musimy wiedzieć z mechaniki
Do pełnego opisu układu potrzebujemy znać położenia wszystkich cząstek oraz pędy. Punkty poruszają się więc w przestrzeni 2n wymiarowej przestrzeni fazowej. PRZYKŁAD

16 Jak badać chaos? Metoda Przekrojów Poincarego

17

18

19

20 Uogólnione potencjały Hénona-Hilesa

21

22 Podsumowanie Z chaosem mamy styczność codziennie
Nauczyliśmy się go nie dostrzegać. Chaos jest młodą dziedziną nauki, potrzebne są gruntowne badania.

23 Dziękuję za uwagę