Rzut równoległy Rzuty Monge’a - część 1

Prezentacja na temat: "Rzut równoległy Rzuty Monge’a - część 1"— Zapis prezentacji:

1 Rzut równoległy Rzuty Monge’a - część 1
dr Renata Jędryczka

2 Utwory zasadnicze przestrzeni rzutowej
Szereg punktów – zbiór wszystkich punktów A, B, C, ..., P leżących na prostej rzutowej. Oznaczamy: p(A, B, C, ..., P ), gdzie p – podstawa szeregu, punkty A, B, C, ..., P - elementy szeregu. A B C p Pęk płaszczyzn: p(, , , ...), przechodzących przez jedną prostą rzutową p –oś pęku, Płaszczyzny , , , ... – elementy pęku Pęk prostych: W(a, b, c, ...), W – wierzchołek pęku, proste a, b, c, ... – elementy pęku W  a b c  p       p W a b c Przestrzeń rzutowa – zbiór wszystkich punktów, prostych i płaszczyzn rzutowych. dr Renata Jędryczka

3 Utwory zasadnicze i przekształcenia rzutowe
Układ płaski – zbiór wszystkich punktów i wszystkich prostych należących do danej płaszczyzny Wiązka – zbiór wszystkich prostych i wszystkich płaszczyzn przechodzących przez dowolny punkt (właściwy lub niewłaściwy)  W   l    W b a Między utworami można ustalić zależności geometryczne przekształcając elementy jednego zbioru w elementy drugiego zbioru, np. można złożyć kilka kolejnych przekształceń układ płaski[1]  wiązka [S1]  układ płaski [2]  układ płaski[1]  wiązka [S2] itd.... Taką zależność miedzy układami płaskimi nazywamy przekształceniem homologicznym lub rzutowym. dr Renata Jędryczka

4 Kolineacja środkowa Kolineacja środkowa
Niech dane będą dwa układy płaskie [1]:A1, B1, ...,a1, b1,... oraz [2]: A2, B2, ...,a2, b2,... . Jeżeli zachodzą następujące zależności: Każdemu punktowi A1 układu płaskiego [1] jest przyporządkowany w układzie płaskim [2] jeden i tylko jeden punkt A2 i na odwrót. Przyporządkowane sobie punkty A1 i A2 przynależą do jednego promienia wiązki [S]. Każdej prostej a1 układu płaskiego [1] jest przyporządkowana w układzie płaskim [2] jedna i tylko jedna prosta a2, i na odwrót. Przyporządkowane sobie proste a1 i a2 przynależą do jednej płaszczyzny , wiązki [S], a zatem proste a1 i a2 przecinają się w punkcie I na krawędzi k = 1  2. Jeżeli punkt A1 i prosta a1 układu płaskiego [1] przynależą do siebie, to przyporządkowane im odpowiednio elementy A2 i a2 w układzie płaskim [2] również przynależą do siebie, to mówimy, że między tymi układami zachodzi kolineacja środkowa. k Kolineacja środkowa między układami płaskimi jest określona, jeśli jest dany środek kolineacji S, oś kolineacji k i para przyporządkowanych sobie punktów nie leżących na osi kolineacji albo trzy pary przyporządkowanych sobie punktów nie leżących na osi kolineacji. dr Renata Jędryczka

5 Powinowactwo osiowe Jeśli środek kolineacji S jest punktem niewłaściwym to mówimy o powinowactwie osiowym, a prostą k nazywamy osią powinowactwa. dr Renata Jędryczka

6 Niezmienniki rzutu równoległego:
przynależność elementów współliniowość punktów stosunek podziału odcinka równoległość prostych kąty i wymiary figur płaskich równoległych do rzutni 4. k a b’ b a’  Jeżeli punkt leży na prostej, to rzut tego punktu leży na rzucie tej prostej. 1. 2. A’ k A C C’ B B’  5. A’ k A C C’ B B’  Figura płaska równoległa do rzutni i jej rzut są figurami przystającymi. 3. dr Renata Jędryczka

7 Rzuty prostokątne Rzut cechowany Rzut prostokątny- widok z góry
J. Waligórski, Zasady i zastosowania rzutu cechowanego, WNT, 1961 dr Renata Jędryczka

8 Geometria wykreślna To dział geometrii zajmujący się sposobami przedstawiania figur przestrzennych na płaszczyźnie. Z niej wywodzi się tzw. rysunek techniczny maszynowy i korzysta też współczesna grafika inżynierska. Rysunek techniczny maszynowy - konwencja graficznego przedstawiania urządzeń mechanicznych, szczególny przypadek rysunku technicznego. Garpard Monge - ojciec geometrii wykreślnej (XIX w.). Idea rzutu polega na przedstawieniu przestrzeni trójwymiarowej z co najmniej dwóch różnych kierunków widzenia. Dzięki temu położenie obiektów geometrycznych takich jak punkt i większości prostych staje się jednoznaczne i możliwe do odwzorowania na kartce papieru. dr Renata Jędryczka

9 Rzuty Monge’a – rzut punktu
Rzuty prostokątne na dwie wzajemnie prostopadłe rzutnie: 1 i 2. 1 – rzutnia pozioma 2 – rzutnia pionowa Po rozłożeniu rzutni (sprowadzeniu przez obrót wokół osi x o 900 do jednej płaszczyzny) mamy: I II III IV 2 x A’’ A’ A’’ h 900 A x g A’ 1 A’ – rzut poziomy punktu A A’’ – rzut pionowy punktu A Odległość punktu od rzutni: poziomej nazywamy wysokością i oznacza się literą "h", od rzutni pionowej nazywamy głębokością i oznacza się "g". Aby na podstawie rzutu można było określić wymiary przedmiotu stosuje się często rzuty danego przedmiotu na trzy rzutnie, które są wzajemnie prostopadłe. dr Renata Jędryczka

10 Rzuty prostej w położeniu ogólnym
W rzutach mamy: 1 – rzutnia pozioma 2 – rzutnia pionowa x a’’ a’ V=V’’ V’ H’’ H=H’ I II III IV 2 a’’ V=V’’ a V’ H’’ x a’ H=H’ 1 Prosta a przechodzi przez IV, I i II ćwiartkę dr Renata Jędryczka

11 Rzut prostej w rzutach Monge’a
B’’ x C’ A’’ B’ c’ a’ p’ n’ A’ m’ Proste: a – w położeniu ogólnym (przechodzi przez 3 ćw. przestrzeni: IV, II, I) p – pozioma ( p1) w I i II ćw. c – czołowa ( p2) w I i IV ćw. m – celowa (p2) w I i II ćw. n – pionowa (p1) w I i IV ćw. dr Renata Jędryczka

12 Wzajemne położenie prostych
x a’’ a’ b’’ b’ A’’ A’ r’’ r’ q’’ q’ 1’’=2’’ 2’ 1’ Proste: a, b - przecinające się Proste: m, n - równoległe Proste: q, r - skośne dr Renata Jędryczka

13 Płaszczyzna Rzutem płaszczyzny w rzucie równoległym jest płaszczyzna.
Rzuty płaszczyzny: a(A,B,C) a’’ 2 x A’’ A’ B’ B’’ C’ C’’ a x a’ 1 Płaszczyznę w rzutach możemy określić za pomocą jednej z poniższych możliwości: trzech niewspólniniowych punktów, a(A,B,C) punktu i prostej nie przynależnych do siebie, a(A,a) dwóch prostych równoległych, a(a,b), a ll b dwóch prostych przecinających się a(a,b) dr Renata Jędryczka

14 Rzuty płaszczyzn: poziomej i poziomo rzutującej
Rzuty płaszczyzny Płaszczyzna może przechodzić przez 3 lub 2 ćwiartki przestrzeni. Jeśli płaszczyzna: tworzy kąty ostre z płaszczyznami układu to mówimy, że jest w położeniu ogólnym, jest równoległa do jednej z rzutni to może być: pozioma (1) np. , czołowa (2) , jest prostopadła do którejś z rzutni, to mówimy, że jest poziom -rzutująca gdy jest 1 (np. ), czołowo -rzutująca gdy jest 2 (np. b). ’ x ’’ Rzuty płaszczyzn: poziomej i poziomo rzutującej dr Renata Jędryczka

15 Punkt i prosta na płaszczyźnie - twierdzenia
Twierdzenie Punkt leży na płaszczyźnie jeśli leży na prostej leżącej w tej płaszczyźnie. Twierdzenie Prosta leży na płaszczyźnie jeśli co najmniej dwa jej punkty leżą na tej płaszczyźnie. dr Renata Jędryczka

16 Punkt i prosta na płaszczyźnie
q’’ Q’’ m’’ a’’ 1’’ P’’ n’’ 1’’ r’’ 2’’ x P’ q’ 1’ Q’ 1’ r’ 2’ m’ n’ Dana jest: (Q,q) Narysuj prostą r   Dana jest (m,n), m || n. Wyznacz drugi rzut punktu P tej płaszczyzny a’ r  , bo Q , 1   P  , bo P  a   dr Renata Jędryczka dr Renata Jędryczka 16 16

17 Elementy przynależne Dana jest płaszczyzna (m, n), gdzie m|| n.
Narysuj rzuty prostej poziomej p i czołowej c tej płaszczyzny. m’’ m’ n’’ m’’ n’ x 1’’ 3’ 1’ c’ c’’ 3’’ n’’ 1’’ 2’’ P’’ x p’ 1’ 2’ n’ m’ dr Renata Jędryczka

18 Wzajemne położenie płaszczyzn
Dwie płaszczyzny mogą: być równoległe, przecinać się - mieć wspólną prostą zwaną krawędzią. Zadanie: Wyznacz krawędź k płaszczyzn  (m,n) i   p2. k=    m’’ b’’ =k’’ n’’ 2 1’’ 2’’ a x x 1 k’ 1’ 2’ n’ m’ dr Renata Jędryczka

19 Elementy wspólne Zadanie
Wyznacz punkt P przebicia prostej p z płaszczyzną a(A ,a) i jej określ widoczność względem tej płaszczyzny (w widoku z przodu i z góry). Plan konstrukcji: Przez prostą prowadzimy pomocniczą płaszczyznę . Wyznaczamy krawędź k płaszczyzn  i  (k =   ). Punkt przecięcia krawędzi k i danej prostej p jest szukanym punktem wspólnym P (P= k  p). 4’’ e b’’ p e  2 2’’ a’’ 1’’ A’’ P’’ p’’ = ’’ = k’’ k P 3’’ x  b’ a’ 2’ A’ 1’ p’ P’ k’ (A,a)=a(a,b), A b || a 3’=4’ dr Renata Jędryczka

20 Źródła: Otto F., E., 1975, Podręcznik geometrii wykreślnej, PWN, Warszawa Przewłocki Stefan, 2000, Geometria wykreślna, Wyd. UWM, Olsztyn Strony WWW: Zasoby własne: Warto zobaczyć: dr Renata Jędryczka