Wymiana masy, ciepła i pędu 2

Prezentacja na temat: "Wymiana masy, ciepła i pędu 2"— Zapis prezentacji:

1 Wymiana masy, ciepła i pędu 2
Fizyka morza – wykład 10 Wymiana masy, ciepła i pędu 2 A. Krężel, fizyka morza - wykład 10

2 Równanie ruchu cieczy lepkiej Naviera-Stokesa
Na skutek różnic prędkości elementów masy cieczy występuje między nimi tarcie, w którego wyniku następuje wzajemne przekazywanie sobie pędu przepływu. Na każdej ze ścianek znanego nam już elementu objętości w postaci sześcianu prędkość v ma trzy składowe u, v i w. Zatem zmiana gęstości strumienia całkowitego pędu między dwoma przeciwległymi ściankami będzie sumą zmian jego trzech składowych w kierunkach prędkości u, v i w. A. Krężel, fizyka morza - wykład 10

3 Bilans pędu w elemencie objętości
Czyli np. zmiana tego strumienia pomiędzy ściankami z i z+dz będzie miała trzy składowe (równanie bilansu pędu w sześcianie): To samo możemy zapisać pomiędzy ściankami x i x+dx oraz y i y+dy A. Krężel, fizyka morza - wykład 10

4 Równanie Naviera-Stokesa
Jeśli zastosujemy liniowe przybliżenie prawa wymiany pędu czyli prawo Newtona oraz założymy izotropowość ośrodka, jeśli założymy, że współczynnik lepkości η=const (czyli, że nie zależy od zróżnicowania parametrów stanu ośrodka), to całe równanie możemy zapisać w postaci wektorowej za pomocą operatora Laplace’a: co jest matematycznym zapisem II zasady dynamiki Newtona dla bezwładnie poruszającej się cieczy na którą działają jedynie siły tarcia wewnętrznego operator Laplace'a  = 2 = (2/x2 +  2/y2 + 2/z2) A. Krężel, fizyka morza - wykład 10

5 Równanie Naviera-Stokesa
Jeśli dalej, przez analogię do omówionych już równań wymiany masy i ciepła uwzględnimy adwekcję (ρv)(v∇) i źródła wewnętrzne (siły wynikające z przestrzennych różnic ciśnienia i grawitacji; takim źródłem wewnętrznym może być też pominięta poniżej siła Coriolisa) i przyjmiemy, że ρ=const to otrzymamy równanie ruchu cieczy lepkiej (w postaci wektorowej): Jak widać, równanie Naviera-Stokesa zawiera 5 niewiadomych: u, v, w, p i ρ a składa się tylko z trzech równań skalarnych. Czyli do jego rozwiązania brakuje nam jeszcze co najmniej dwóch równań. W tym celu do jego rozwiązania bierze się jeszcze pod uwagę równanie ciągłości ośrodka: oraz znane nam równanie stanu A. Krężel, fizyka morza - wykład 10

6 A. Krężel, fizyka morza - wykład 10
Wymiana turbulentna W przenoszeniu masy, ciepła i pędu na odległości nieporównywalnie większe od średniej drogi swobodnej cząsteczek (jak to miało w przypadku wymiany molekularnej) rolę dominującą w morzu odgrywają przepływy ośrodka i związana z nimi (wspomniana przy formułowaniu równań wymiany molekularnej) adwekcja masy, ciepła i pędu. Przepływy te mogą mieć różne rozmiary, zależne m.in. od sił generujących. Najczęściej jednak tworzą pewne obiegi zamknięte zwane cyrkulacjami czy zawirowaniami co wynika przede wszystkim z prawa ciągłości i warunku dążenia masy do równowagi hydrostatycznej tzn. osiągnięcia minimum energii potencjalnej w polu grawitacyjnym. A. Krężel, fizyka morza - wykład 10

7 A. Krężel, fizyka morza - wykład 10
Wymiana turbulentna A. Krężel, fizyka morza - wykład 10

8 A. Krężel, fizyka morza - wykład 10
Wymiana turbulentna Skala tych zawirowań generalnie mieści się w przedziale od 0.01 do 106 m. Natomiast ich nieregularny charakter sprawia, że określa się je jako ruch burzliwy albo turbulentny. Ogromna rozpiętość skali sprawia, że zawirowania o różnych wielkościach nakładają się na siebie. W wyniku tego pole prędkości przepływu wody jest w morzu bardzo zmienne i w czasie i w przestrzeni gdyż jest wypadkową tych różnoskalowych przepływów. Jeśli jest to wypadkowa, to wydaje się, że problem zrozumienia dlaczego w danym miejscu i czasie woda porusza się z daną prędkością w danym kierunku wymaga określenia składowych tworzących tę wypadkową. Stosunkowo najprostsze wydaje się wydzielenie wolnozmiennego przepływu wielkoskalowego. W skali lokalnej w niezbyt długim okresie czasu taki przepływ możemy uznać za stały i opisać go zwykłym równaniem ruchu. Dopiero na ten przepływ nakładają się lokalne zawirowania, które mogą mieć charakter bardzo regularny (falowy) lub skrajnie nieregularny. Te pierwsze można opisać stosując teorię ruchu falowego natomiast do opisu tych ostatnich posługujemy się metodami statystycznymi. A. Krężel, fizyka morza - wykład 10

9 A. Krężel, fizyka morza - wykład 10
Wymiana turbulentna Biorąc pod uwagę skalę zjawiska, ilość masy, ciepła czy pędu przenoszona w procesie turbulencji jest znacznie większa niż w przypadku wymiany molekularnej. Także mechanizm wymuszający jest tutaj inny. Chaotyczny charakter drobnoskalowych ruchów turbulentnych spowodował, że poszukując metody jej opisu zaczęto doszukiwać się pewnych analogii z ruchem cieplnym cząsteczek, który jest motorem wymiany molekularnej. A. Krężel, fizyka morza - wykład 10

10 Warunki turbulentnego ruchu
Przepływy w cieczy mogą mieć charakter laminarny lub burzliwy albo inaczej turbulentny. Przy małej ilości dostarczonej energii siły lepkości przeważają nad siłami bezwładności elementów cieczy i ruch odbywa się w ten sposób, że warstwy wody przesuwają się równolegle do siebie, a wymiana masy ciepła czy pędu między nimi ma jedynie charakter wymiany molekularnej. A. Krężel, fizyka morza - wykład 10

11 A. Krężel, fizyka morza - wykład 10
Liczba Reynoldsa W miarę zwiększania się ilości energii siły bezwładności zaczynają przeważać nad siłami lepkości i energia pomiędzy warstwami zaczyna się przenosić w sposób turbulentny. Warunki jakie muszą być spełnione aby ruch laminarny przeszedł w ruch turbulentny określił po raz pierwszy Reynolds (1894), który stwierdził na drodze empirycznej, że tendencja do powstawania ruchów turbulentnych wzrasta gdy wzrasta prędkość przepływu, grubsza jest struga i większa jest gęstość cieczy, a maleje lepkość. W celu ilościowej charakterystyki tych tendencji zdefiniował parametr określany dziś jako liczba Reynoldsa i wyrażający stosunek wymienionych procesów: υ - współczynnik kinematycznej lepkości molekularnej υ = /, gdzie  - współczynnik lepkości dynamicznej,  - gęstość ośrodka Krytyczna wartość liczby Reynoldsa dla przepływów w rurach wynosi ok. 2000; poniżej 2000 ruch jest laminarny, a powyżej turbulentny. A. Krężel, fizyka morza - wykład 10

12 A. Krężel, fizyka morza - wykład 10
Skala W morzu istnieje problem z określeniem wartości rozmiaru L. Jeśli przyjmiemy za L wielkość akwenu to otrzymamy wartość Re już przy minimalnych prędkościach większą od krytycznej. Za L najczęściej przyjmuje się rozmiar obszaru, w którym energia przepływu jest wystarczającym źródłem zasilania turbulencji (np. szerokość strefy działania wiatru, obszar zaburzeń wywołany falowaniem wewnętrznym itp.). Jak widać pierwotnym źródłem tej energii jest Słońce. Innym źródłem takiej energii jest oddziaływanie grawitacyjne Księżyca i Słońca wywołujące przepływy w postaci prądów pływowych. A. Krężel, fizyka morza - wykład 10

13 A. Krężel, fizyka morza - wykład 10
Skala problem skali przepływ wody podstawowy zawirowanie turbulentne Załóżmy, że chwilową prędkość w interesującym nas miejscu możemy przedstawić jako sumę prędkości średniej oraz chwilowej fluktuacji wektora prędkości v=vśr+v’. Jeśli interesujący nas przedział czasowy, w którym wartość prędkości średniej pozostaje stała jest wystarczająco długi aby średnia wartość fluktuacji wynosiła 0 to możemy mówić, że w tej skali czasowej mamy do czynienia ze zjawiskiem turbulencji W analizie ruchu turbulentnego bardzo istotną rolę odgrywa problem skali. W zależności od niej dany przepływ wody może być traktowany jako podstawowy lub zawirowanie turbulentne. Np. wielkoskalowa cyrkulacja oceaniczna, chociaż ma charakter zawirowania turbulentnego, rzadko jest traktowana jako takie. Jeśli rozpatrujemy zawirowania wokół Prądu Zatokowego to w takiej skali prąd ten rozpatrywany jest jako przepływ podstawowy chociaż w skali oceanu może być traktowany jako zawirowanie turbulentne. A. Krężel, fizyka morza - wykład 10

14 A. Krężel, fizyka morza - wykład 10
Skala zbadana skala rozmiarów cyrkulacji oceanicznych i występujące w tej skali trzy wyraźne obszary, w których obserwuje się maksima dopływu z zewnątrz (głównie z atmosfery) energii do podtrzymania turbulencji tych rozmiarów. Jest to podstawa do podziału turbulentnych ruchów oceanicznych na: globalne cyrkulacje o rozmiarach rzędu 106 m, które nazywa się makroturbulencją średnioskalowe (mezoskalowe) o charakterystycznych rozmiarach 104 m, związane najczęściej z energią oscylacji grawitacyjnych (pływy, sejsze) drobnoskalowe o rozmiarach rzędu 10 m związane najczęściej z energią lokalnego wiatru i falowania. Do kategorii drobnoskalowych należy wspomniana na jednym z wcześniejszych wykładów cyrkulacja Langmuira A. Krężel, fizyka morza - wykład 10

15 A. Krężel, fizyka morza - wykład 10
Równanie Reynoldsa Warunkiem wymiany turbulentnej masy, ciepła i pędu jest występowanie przepływu turbulentnego ośrodka. Równanie ruchu turbulentnego przy założonej stałej gęstości ośrodka możemy otrzymać ze znanego nam już równania ruchu cieczy lepkiej Naviera-Stokesa i równania ciągłości. Ma ono postać: δi3 - jest deltą Kroneckera tzn. δi3=1 dla i=3; δi3=0 dla i≠3 równanie to różni się od równania ruchu Naviera-Stokesa jedynie składnikiem opisującym dodatek “adwekcji pędu” , wynikającym z uwzględnienia składowej pulsacyjnej wektora prędkości przepływu. A. Krężel, fizyka morza - wykład 10

16 A. Krężel, fizyka morza - wykład 10
Równanie Reynoldsa Ze względu na “sens fizyczny” tego dodatku umieszcza się go najczęściej po prawej stronie równania Reynoldsa: Wyznaczenie wartości przez długie lata było niemożliwe i gęstość strumieni turbulentnej wymiany pędu określano przy pomocy makroskopowych współczynników zwanych współczynnikami turbulentnej wymiany pędu lub turbulentnej lepkości. Umożliwiała to przedstawiona już w 1877 roku przez Boussinesq’a hipoteza o istnieniu liniowej zależności pomiędzy strumieniami turbulentnej wymiany pędu a gradientami modułów odpowiednich składowych uśrednionych prędkości przepływu turbulentnego. Można to zapisać: A. Krężel, fizyka morza - wykład 10

17 Współczynnik turbulentnej lepkości
Występujący we wzorze współczynnik turbulentnej lepkości K(v) ma wymiar [m2·s−1] i opisuje turbulentne tarcie styczne do płaszczyzny z w przepływie turbulentnym ze średnią prędkością skierowaną w kierunku osi x. Jego wartość nie jest cechą fizyczną ośrodka ale tylko cechą danego przepływu burzliwego zależną od rozmiarów turbulentnych zawirowań i od pola prędkości przepływu. Jednym z najprostszych rozwiązań stosowanych często w oceanografii jest założenie, że współczynnik wymiany ma tylko dwie różne składowe: K(v)z - wymiany pionowej i K(v)h - wymiany horyzontalnej. Współczynniki te zazwyczaj wzrastają ze wzrostem skali turbulencji. Współczynnik wymiany Skala Poziomej K(v)h [m2s-1] Pionowej K(v)z Makroturbulencja 104 10-1÷10-2 Mezoturbulencja 10-1 10-2÷10-3 Mikroturbulencja 10-3 Jak łatwo zauważyć, współczynniki wymiany poziomej są znacznie większe niż pionowej co wynika z działania siły wyporu przeciwdziałającej rozwojowi pionowej turbulencji. Są one też zdecydowanie większe od współczynnika lepkości molekularnej, który jak pamiętamy jest rzędu 10-6 m2s-1. A. Krężel, fizyka morza - wykład 10

18 Turbulentna wymiana masy
Turbulentny ruch mas wodnych w morzu będzie powodował dodatkowy (obok znanej nam już wymiany molekularnej) rodzaj wymiany masy. Przez analogię do wymiany molekularnej nazwiemy go dyfuzją turbulentną. Przyjmując Przyjmując także w tym przypadku hipotezę Boussinnesq’a i pomijając składnik opisujący wymianę molekularną otrzymamy A. Krężel, fizyka morza - wykład 10

19 Turbulentna wymiana ciepła
Po zastosowaniu hipotezy Boussinesq’a: A. Krężel, fizyka morza - wykład 10

20 Prawo czterech trzecich
Współczynniki turbulentnej dyfuzji i turbulentnej wymiany ciepła, w odróżnieniu od współczynników wymiany molekularnej nie są rzeczywistymi właściwościami fizycznymi ośrodka ale, podobnie jak współczynniki turbulentnej wymiany pędu, charakteryzują dany przepływ turbulentny. Mogą one przyjmować wartości w przedziale od 10-3 do 104 m2/s. Ich wielkość zależy przede wszystkim od rozmiarów zawirowań turbulentnych. Wieloletnie pomiary w środowisku pozwoliły na sformułowanie matematycznej postaci tej zależności (Richardson 1926), znanej dzisiaj jako prawo czterech trzecich: K(m) = kl 4/3 A. Krężel, fizyka morza - wykład 10