Zadania przygotowawcze na egzamin

Prezentacja na temat: "Zadania przygotowawcze na egzamin"— Zapis prezentacji:

1 Zadania przygotowawcze na egzamin

2  t (T)=(n(T)-n1(T)+2)/2. 1. Czy prawdziwe są zdania:
a) każdy podzbiór zbioru niezależnego jest niezależny; b) każdy podzbiór zbioru dominującego jest dominujący; c) każdy podzbiór zbioru nienadmiernego jest nienadmierny. 2. Czy prawdziwe jest zdanie: Jeśli D jest minimalnym zbiorem dominującym w G, to dla każdego uD istnieje v  V-D taki, że NG(v)  D={u}. 3. Podać przykład grafu G, dla którego  t (G)<  c (G). 4. Opisać rodzinę drzew T, dla których zachodzi równość  t (T)=(n(T)-n1(T)+2)/2.

3 grafu G. 5. Jeśli e jest krawędzią grafu G i G oraz G-e są spójne, to:
a)  w (G)  w (G-e); b)  w (G-e)  w (G)+1; c)  w (G-e)  w (G)+2. 6. Czy prawdziwe są zdania: a) istnieje graf G taki, że  (G)>n/3; b) Jeśli graf G nie ma wierzchołków izolowanych oraz diam(G) > 5, to (Gd)=2, gdzie Gd jest dopełnieniem grafu G.

4 7. Czy prawdziwe są zdania:
a) każdy zbiór dominujący jest zbiorem nienadmiernym; b) każdy zbiór nienadmierny jest zbiorem dominującym. 8. Na czym polegają zagadnienia Nordhausa-Gadduma? 9. Zbiór PN[v,D] jest zbiorem prywatnych sąsiadów wierzchołka v względem zbioru D, jeśli: a) PN[v,D]= NG(v) – NG(D-{v}); b) dla każdego wierzchołka w  PN[v,D] jest NG(w)  D  ; c) dla każdego wierzchołka w  PN[v,D] istnieje wierzchołek u  v taki, że u jest sąsiadem w i u  D.

5 10. Podać przykład grafu G, dla którego w(G) < w(G).
11. Pokazać, że różnica między liczbami  c oraz  w może być dowolnie duża. 12. Jeśli D jest zbiorem totalnym dominującym, to: a) <D> jest spójny; b) <D> = mK2; c) dla każdego wierzchołka v ze zbioru V-D jest |NG(v)  D|1. 13. Udowodnij, że niezależny zbiór S jest maksymalny niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy jest niezależny i dominujący.

6 b) w (T)=  c (T); 14. Jeśli T jest drzewem, to:
a)  c (T)=  con (T); b) w (T)=  c (T); c)  t (T)=  w (T). 15. Jeśli D jest zbiorem spójnym dominującym, to: a) <D>w jest spójny; b) <D> jest drzewem; c) dla każdych dwóch wierzchołków u,v należących do D istnieje dokładnie jedna (u-v)-ścieżka, której wierzchołki należą do D.

7 16. Czy prawdziwe są stwierdzenia:
a) jeśli G jest wolny od pazura, to (G)=ir(G); b) dla każdego spójnego podgrafu spinającego H grafu G mamy c(H)  c(G).