Wykład no 3 sprawdziany: 24-03-2006 21-04-2006 2-06-2006.

Prezentacja na temat: "Wykład no 3 sprawdziany: 24-03-2006 21-04-2006 2-06-2006."— Zapis prezentacji:

1 Wykład no 3 sprawdziany:

2 Właściwości transformaty Fouriera
Transformata Fouriera Odwrotna transformata Fouriera Stosujemy oznaczenie symboliczne:

3 1. Liniowość (superpozycja)
Jeżeli , to Przykłady Kombinacja impulsów wykładniczych a>0

4 Rozkładamy na dwie funkcje

5 Zgodnie z zasadą superpozycji transformata sygnału
Tansformata Fouriera funkcji u1(t) jest: a transformata funkcji u2(t) jest Zgodnie z zasadą superpozycji transformata sygnału u(t)=u1(t)+u2(t) jest Widmo amplitudowe sygnału u(t) przedstawia wykres:

6 Wykres amplitudy jest symetryczny względem osi
rzędnych, a charaktrystyka fazowa jest niezależna od częstotliwości. Generalnie transformata rzeczywistej funkcji parzystej jest funkcją rzeczywistą parzystą.

7 Rozpatrzmy funkcję: gdzie a>0 Wprowadzając funkcję: u(t)

8 możemy zapisać: u(t)=exp(-a|t|)sign(t), a rozkładając
na dwie funkcje:

9 i mamy: u(t)=u1(t)- u2(t), a z liniowości transformaty wynika:
Transformata Fouriera nieparzystej funkcji rzeczywistej jest funkcją czysto urojoną. Jest to generalna własność transformaty.

10 |U()| Charakterystyka amplitudowa Charakterystyka fazowa

11 Zmiana skali czasu Niech wtedy: Podstawiając at=x mamy adt=dx czyli dt=dx/a i dla a>0 mamy:

12 dla a<0 mamy: łącząc obie równości mamy: Przykład

13

14 ostatecznie: u(t)

15 Widmo amplitudowe U() Rzeczywiste, faza wynosi 0

16 Zmiana skali czasu a=4 „ściśnięcie”
a=0.5 „rozciągnięcie”

17 Widmo amplitudy U(,a=1) U(,a=4) U(,a=0.5) a=4 w czasie ściśnięcie ↔ w częstotliwości rozciągnięcie a=0.5 w czasie rozciągnięcie ↔ w częstotliwości ściśnięcie

18 Warto również wykorzystać własność zmiany
kierunku skali: dla a=-1 mamy u(-t)=U(-f) Dualizm Jeśli , to Dowód wynika z przekształcenia odwrotnego: zmieniając rolami t i  mamy:

19 Przykład Wprowadzamy funkcję: Transformata funkcji: rect(t) A/(2T) -T T t i mamy:

20 Przesunięcie w czasie Jeżeli , to Dowód: ostatecznie:

21 Widmo amplitudowe funkcji u(t) jest |U()|
Dla funkcji u(t-t0) ↔ e-jt0U() widmo amplitudowe będzie |U()| gdyż |e-jt0|=1. Natomiast widmo fazowe ulega przesunięciu o -t0. Przesunięcie w dziedzinie częstotliwości Jeżeli u(t)↔U(), to exp(j0t)u(t)↔U(-0), 0 – liczba rzeczywista.

22 Paczka sinusoidalna o częstotliwości radiowej i obwiedni prostokątnej
Podstawiając -0=x d=dx mamy: ostatecznie: czyli Własność tę nazywamy twierdzeniem o modulacji. Paczka sinusoidalna o częstotliwości radiowej i obwiedni prostokątnej

23 Przykład Impuls RF - radio frequency pulse E=1 u(t)

24 i korzystając z przesunięcia mamy:

25 -c c

26 Pole ograniczone przez oś odciętych i funkcję u(t)
Jeżeli u(t)↔U(), to Pole ograniczone przez oś odciętych i funkcję U() bo i

27 Różniczkowanie w dziedzinie czasu
Ponieważ: i ale i ostatecznie

28 ogólnie mamy: Różniczkowanie w dziedzinie częstotliwości: bo

29 Impuls Gaussa Niech i jeżeli u(t)↔U(), to na mocy: i mamy: czyli czyli u(t) i U() są identyczne, jeżeli wymienić t i . Rozwiązując równanie mamy:

30 a transformatę impulsu Gaussa:
w dziedzinie częstotliwości otrzymujemy zastępując t przez , czyli

31 Całkowanie w dziedzinie czasu
Jeżeli u(t)↔U() i U(0)=0, to u(t) Przykład: A AT T t t -T T -T -A

32 ale i ostatecznie

33 Jeżeli u(t)↔U(), to dla zespolonej funkcji czasu
Funkcje sprzężone Jeżeli u(t)↔U(), to dla zespolonej funkcji czasu zachodzi u*(t)↔U*(-). Dowód wynika z równania: i a następnie podstawiamy: =- oraz d=-d i mamy:

34 Jeżeli u(t)↔U(), to dla zespolonej funkcji czasu
i wniosek: Jeżeli u(t)↔U(), to dla zespolonej funkcji czasu zachodzi u*(-t)↔U*(). Przykład: Część rzeczywista i część urojona funkcji czasu. Niech u(t)=ur(t)+jui(t) funkcja sprzężona do funkcji u(t) jest u*(t)= ur(t)-jui(t) Dodając stronami mamy część rzeczywistą funkcji u(t) ur(t)=0.5[u(t)+u*(t)]

35 a część urojona odejmując stronami: ui(t)=0.5j[u*(t)-u(t)]
Biorąc pod uwagę, że u*(t)↔U*(-) mamy transformaty części rzeczywistej: ur(t)↔0.5[U()+U*(-)] i dla części urojonej: ui(t)↔0.5j[U*(-)-U()] Jeżeli u(t) jest funkcją rzeczywistą, to ui(t)=0, czyli U()=U*(-) czyli transformata Fouriera funkcji u(t) jest dla ujemnych częstotliwości funkcją sprzężoną.

36 Mnożenie w dziedzinie czasu
Dane są u1(t)↔U1() i u2(t)↔U2(). Obliczyć transformatę U12()↔u1(t)u2(t) ale podstawiając mamy:

37 Podstawiając: mamy: Zmieniając kolejność całkowania mamy: ale i ostatecznie:

38 co oznacza, że funkcję U12() możemy obliczyć
znając transformaty U1() i U2(). nazywamy całką splotową Całkę: i symbolicznie zapisujemy U1()*U2(). Splot jest przemienny czyli Możemy zapisać symbolicznie transformatę iloczynu

39 Mnożenie w dziedzinie częstotliwości
Wiemy, że u1(t)↔U1() i u2(t)↔U2(). Obliczyć transformatę odwrotną U1() U2() Mamy: ale czyli

40 Podstawiając: t-ξ=τ i dξ=-dτ mamy:
a zmieniając kolejność całkowania i biorąc pod uwagę, że mamy: Jest to twierdzenie o splocie

41 Całkowita energia sygnału jest zdefiniowana jako
Wielkość |u(t)|2 nazywamy gęstością energii Zakładając ogólnie że sygnał u(t) jest zespolony możemy zapisać: |u(t)|2=u(t)u*(t) Zakładając, że istnieje transformata czyli u(t)↔U() i korzystając z faktu, że u*(t)↔U*(-) na mocy twierdzenia o transformacie iloczynu funkcji w dziedzinie czasu mamy:

42 co stanowi treść tzw. energetycznego twierdzenia Rayleigha
Chcemy obliczyć skorzystamy z faktu, że czyli co stanowi treść tzw. energetycznego twierdzenia Rayleigha Wielkość E=|U()|2 – nazywamy widmową gęstością energii.

43 Odwrotna proporcjonalność czasu i częstotliwości.
Zachodzi zmiana skali: Jeżeli zmienimy skalę opisu czasowego, to opis w dziedzinie częstotliwości zmienia się odwrotnie

44 u(t) u(4t) u(0.5t)

45 Widmo amplitudy U(,a=1) U(,a=4) U(,a=0.5) a=4 w czasie ściśnięcie ↔ w częstotliwości rozciągnięcie a=0.5 w czasie rozciągnięcie ↔ w częstotliwości ściśnięcie

46 2. Jeżeli sygnał jest ściśle ograniczony
u(t)

47 to jego widmo jest nieograniczone
Widmo amplitudowe U() chociaż może być malejące.

48 i odwrotnie jeżeli widmo jest ograniczone, to czas
trwania sygnału jest nieograniczony chociaż może maleć do zera. Generalnie Sygnał nie może być równocześnie ograniczony i w czasie i w częstotliwości Pasmo (bandwith) Pasmo stanowi miarę miarę ilościowego przedstawienia zawartości istotnych składowych widma dla dodatnich częstotliwości.

49 Niestety jest to definicja nieprecyzyjna
i istnieją różne definicje bardziej precyzyjne Mówimy, że sygnał jest dolnopasmowy (low-pass), jeżeli znacząca część zawartości widmowej jest rozłożona w otoczeniu zera na osi częstotliwości. Sygnał nazywamy pasmowoprzepustowym (band-pass) jeżeli zawartość widma przypada w otoczeniu fc≠0. Jeżeli widmo sygnału jest symetryczne z listkiem głównym, to można wykorzystać listek główny do zdefiniowania szerokości pasma.

50 pasmo listkowe U(f) f

51 Pasmo trzydecybelowe 3-dB
Widmo dolnopasmowe p

52 Widmo pasmowoprzepustowe
 /2π – szerokość pasma 3-dB

53 „Funkcja” delta Diraca
Oznaczenie: δ(t) Definicja: δ(t)=0 dla wszystkich t≠0 oraz Dla dowolnej funkcji u(t) mamy:

54 Transformata funkcji δ(t)
czyli δ(t)↔1 U() u(t) 1 δ(t)  t

55 Na mocy dualizmu dla sygnału stałoprądowego mamy
δ(t)↔1() czyli (t)↔2π δ(-) 1↔2πδ() Jeśli , to Z własności: Jeżeli u(t)↔U(), to exp(j0t)u(t)↔U(-0), 0 – liczba rzeczywista. wynika: exp(j0t)1(t)↔δ(-0) czyli exp(j0t) ↔δ(-0)

56 i możemy obliczyć transformatę funkcji cos
cos(0t) -0 0 

57 jU() sin(0t) -0 0