Pochodna Pochodna  funkcji y = f(x)  określona jest jako granica stosunku przyrostu wartości funkcji y do odpowiadającego mu przyrostu zmiennej niezależnej.

Prezentacja na temat: "Pochodna Pochodna  funkcji y = f(x)  określona jest jako granica stosunku przyrostu wartości funkcji y do odpowiadającego mu przyrostu zmiennej niezależnej."— Zapis prezentacji:

1 FIZYKA dla Wydziału Poligrafii Wykład 15 Opracowywanie wyników pomiarów laboratoryjnych

2 Pochodna Pochodna  funkcji y = f(x)  określona jest jako granica stosunku przyrostu wartości funkcji y do odpowiadającego mu przyrostu zmiennej niezależnej x, gdy przyrost x dąży do zera. Oznaczenie pochodnej: Oznaczenie pochodnej: Mechanika oparta na równaniach dynamiki Newtona i transformacji Galileusza uznawana była przez ponad dwa wieki za teorię rządzącą ruchem wszelkich ciał materialnych. Zgodnie z nią prędkość kamienia wyrzuconego z poruszającego się pojazdu równa jest sumie prędkości pojazdu i prędkości, z jaką wyrzucony został kamień. Spodziewalibyśmy się, że tak samo będzie z prędkością impulsu świetlnego wysłanego z tego pojazdu. Jednak doświadczenie jest sprzeczne z tym intuicyjnym rozumowaniem! W 1889 roku Michelson i Morley stwierdzili, że prędkość ruchu Ziemi na orbicie okołosłonecznej nie dodaje się do prędkości światła ani od niej nie odejmuje. Pomiar prędkości światła został wykonany za pomocą interferometru Michelsona. Światło ze źródła zostaje rozszczepione na dwie prostopadłe wzajemnie wiązki przez półprzezroczyste zwierciadło. Oba promienie po odbiciu od zwierciadeł spotykają się na ekranie, gdzie powstaje obraz interferencyjny. Jeśli ustawimy zwierciadła tak, aby nastąpiło wzmocnienie, a następnie obrócimy aparaturę o 900, to powstały nowy obraz interferencyjny powinien wyglądać inaczej, jeśli prędkość światła w kierunku ruchu Ziemi i w kierunku prostopadłym różnią się. Po wielokrotnych próbach Michelson i Morley nie zaobserwowali żadnego efektu. Wniosek: prędkość światła jest stała dla każdego obserwatora!

3 Pochodna Geometryczna interpretacja pochodnej. Wartość pochodnej funkcji  w danym punkcie, równa jest tangensowi kąta pomiędzy osią X,  a styczną do krzywej w  punkcie o współrzędnych (x,y). Kąt ten liczy się od dodatniej półosi X w kierunku przeciwnym ruchowi wskazówek zegara. 

4 Pochodna Różniczka dx zmiennej niezależnej x - to  przyrost tej funkcji tj. dx = x. (Przyrost ten może mieć dowolną wartość dodatnią lub ujemną).  Różniczka dy funkcji y = f(x) w danym punkcie - to iloczyn pochodnej f’(x) pomnożonej przez różniczkę dx zmiennej niezależnej

5 Pochodna cząstkowa Funkcja wielu zmiennych:
Pochodna cząstkowa funkcji względem jednej ze zmiennych xi: Pozostałe zmienne traktowane tu jako stałe.

6 Pochodne funkcji elementarnych
Funkcja stała: Funkcja potęgowa:

7 Pochodne funkcji elementarnych
Funkcja logarytmiczna: Funkcja wykładnicza: Funkcje trygonometryczne:

8 Reguły różniczkowania
Pochodna  algebraicznej sumy funkcji równa jest algebraicznej sumie pochodnych tych funkcji liczonych dla każdej funkcji oddzielnie: Przykład:

9 Reguły różniczkowania
Pochodna iloczynu funkcji równa jest takiej sumie iloczynów, że w każdym jej składniku jeden z czynników zastępowany jest swą pochodną.  Dla iloczynu dwóch funkcji mamy: Przykład:

10 Reguły różniczkowania
Stały czynnik ( c ) można wynieść przed znak pochodnej: Przykład:

11 Reguły różniczkowania
Pochodna ilorazu funkcji: Przykład:

12 Reguły różniczkowania
Pochodna funkcji złożonej: y = f(u), a u = g(x) Przykład:

13 Pomiar i wynik pomiaru Uzyskana w rezultacie wykonanego pomiaru wartość liczbowa nie jest nigdy wyznaczona bezwzględnie precyzyjnie. Dlatego wynik pomiaru musi zawsze zawierać informację określającą jego dokładność. Przykłady:

14 Niepewności pomiarowe
Błędy grube Niepewności systematyczne Niepewności przypadkowe

15 Niepewności systematyczne
Dokładność przyrządu pomiarowego + niepewność odczytu Mierzymy kilka wielkości: x1, x2, …xn Chcemy obliczyć inną wielkość y, która jest ich funkcją: y = f(x1, x2, ... xn). Jaka jest niepewność pomiarowa y? Metoda różniczki zupełnej

16 Niepewności systematyczne
W celu wyznaczenia objętości lub pola powierzchni walca mierzymy jego średnicę d oraz długość h. Mamy wtedy przyporządkowanie:  y - objętość lub pole powierzchni (których nie mierzymy bezpośrednio) oraz   x1 - średnica walca , d,   x2 - długość walca, h.

17 Niepewności systematyczne

18 Niepewności systematyczne
Przyjmijmy na początek, że średnica walca wynosi d = 20 mm oraz, jego długość równa jest 10 mm i że pomiary wykonano suwmiarką z dokładnością 0,1 mm.  Otrzymujemy: Objętość walca: Niepewność względna objętości:

19 Niepewności systematyczne
Przyjmijmy teraz, że średnica walca pozostaje bez zmian, d = 20 mm, a długość jest dziesięciokrotnie większa i wynosi h = 100 mm. W tym przypadku otrzymujemy   Objętość walca: Niepewność względna objętości:

20 Metoda różniczki logarytmicznej

21 Metoda różniczki logarytmtmicznej
Gdy średnica walca wynosi d=20mm oraz, jego długość równa jest 10mm: gdy d=20mm oraz h=100mm otrzymujemy:

22 Zapis wyników pomiarów
Wartości niepewności pomiarowych podajemy z dokładnością nie większą niż dwóch cyfr znaczących, zaś samą zmierzoną wartość zaokrąglamy do tylu cyfr znaczących ile wynika z zapisanej wartości niepewności. W wyniku pomiarów i obliczeń otrzymaliśmy liczby: Zapisujemy wynik pomiaru: Na ogół przyjmuje się regułę, że wynik pomiaru zaokrąglamy "w dół", jeśli następna cyfra jest mniejsza niż  5,  w przeciwnym przypadku, zaokrąglamy "w górę". Wartość niepewności pomiarowej zaokrąglamy zwykle "w górę".