WYKŁAD 14 DYFRAKCJA FRESNELA

Prezentacja na temat: "WYKŁAD 14 DYFRAKCJA FRESNELA"— Zapis prezentacji:

1 WYKŁAD 14 DYFRAKCJA FRESNELA

2 PLAN WYKŁADU Dyfrakcja Fresnela na półpłaszczyźnie; spirala Cornu
Dyfrakcja Fresnela na szczelinie PODSUMOWANIE

3 Dyfrakcja Fresnela na półpłaszczyźnie; spirala Cornu

4 Dyfrakcja Fresnela na półpłaszczyźnie; spirala Cornu
Metoda: korzystamy z zasady Huyghensa-Fresnela

5 Dyfrakcja Fresnela na półpłaszczyźnie; spirala Cornu
Metoda: korzystamy z zasady Huyghensa-Fresnela Całka dyfrakcyjna Fresnela-Kirchhofa

6 Płaska fala pierwotna (źródło S w nieskończoności) pobudza oscylatory Huyghensa do drgań:

7 Płaska fala pierwotna (źródło S w nieskończoności) pobudza oscylatory Huyghensa do drgań:

8 Płaska fala pierwotna (źródło S w nieskończoności) pobudza oscylatory Huyghensa do drgań:
W punkcie P0 fala wtórna wypromieniowana przez oscylatory Huyghensa z elementu dh będzie:

9 Płaska fala pierwotna (źródło S w nieskończoności) pobudza oscylatory Huyghensa do drgań:
W punkcie P0 fala wtórna wypromieniowana przez oscylatory Huyghensa z elementu dh będzie:

10 Płaska fala pierwotna (źródło S w nieskończoności) pobudza oscylatory Huyghensa do drgań:
W punkcie P0 fala wtórna wypromieniowana przez oscylatory Huyghensa z elementu dh będzie:

11 Płaska fala pierwotna (źródło S w nieskończoności) pobudza oscylatory Huyghensa do drgań:
W punkcie P0 fala wtórna wypromieniowana przez oscylatory Huyghensa z elementu dh będzie:

12 jest różnicą dróg (rysunek)
Płaska fala pierwotna (źródło S w nieskończoności) pobudza oscylatory Huyghensa do drgań: W punkcie P0 fala wtórna wypromieniowana przez oscylatory Huyghensa z elementu dh będzie: gdzie: jest różnicą dróg (rysunek)

13 Ponieważ: dla

14 Ponieważ: dla

15 Ponieważ: dla i: oraz:

16 Ponieważ: dla i: oraz:

17 Ponieważ: dla i: oraz:

18 Natężenie w punkcie P0:

19 Natężenie w punkcie P0:

20 Natężenie w punkcie P0: gdzie: oraz:

21 Stałą a dobieramy tak, by A = B = 0.5
Natężenie w punkcie P0: gdzie: oraz: Stałą a dobieramy tak, by A = B = 0.5

22 Całki te przypominają całki określające tzw
Całki te przypominają całki określające tzw. spiralę Cornu (zwaną także spiralą Eulera lub klotoidą):

23 Całki te przypominają całki określające tzw
Całki te przypominają całki określające tzw. spiralę Cornu (zwaną także spiralą Eulera lub klotoidą):

24 Całki C (od cosinus) i S (od sinus) nazywane są całkami Fresnela
Całki te przypominają całki określające tzw. spiralę Cornu (zwaną także spiralą Eulera lub klotoidą): Całki C (od cosinus) i S (od sinus) nazywane są całkami Fresnela

25 Całki C (od cosinus) i S (od sinus) nazywane są całkami Fresnela
Całki te przypominają całki określające tzw. spiralę Cornu (zwaną także spiralą Eulera lub klotoidą): Całki C (od cosinus) i S (od sinus) nazywane są całkami Fresnela Wyznaczają parametrycznie krzywą zwaną klotoidą, spiralą Cornu lub Eulera

26 Spirala Cornu

27 Żeby skojarzyć całki (x,y) z całkami (A,B), potrzebne jest podstawienie:

28 Żeby skojarzyć całki (x,y) z całkami (A,B), potrzebne jest podstawienie:
czyli: oraz:

29 Żeby skojarzyć całki (x,y) z całkami (A,B), potrzebne jest podstawienie:
czyli: oraz:

30 Z półpłaszczyzną: A = ½, B = ½, A2 + B2 = ½, bez półpłaszczyzny: (2A)2 + (2B)2 = 2 zatem natężenie w P0 z półpłaszczyzną jest równe ¼ I0

31

32

33

34 Długość elementu krzywej Cornu wynosi dv, a całkowita długość wzdłuż krzywej, od punktu (0,0) do punktu (x,y) dla parametru v, wynosi właśnie v.

35 Spirala Cornu: wynik dodawania małych wektorów na płaszczyźnie zespolonej, odpowiadających wtórnym falom elementarnym pochodzących od oscylatorów Huyghensa rozłożonych w otworze wzdłuż h. Każdy z tych wkładów wynosi:

36 Spirala Cornu: wynik dodawania małych wektorów na płaszczyźnie zespolonej, odpowiadających wtórnym falom elementarnym pochodzących od oscylatorów Huyghensa rozłożonych w otworze wzdłuż h. Każdy z tych wkładów wynosi:

37 co można porównać z wyrażeniem:
Spirala Cornu: wynik dodawania małych wektorów na płaszczyźnie zespolonej, odpowiadających wtórnym falom elementarnym pochodzących od oscylatorów Huyghensa rozłożonych w otworze wzdłuż h. Każdy z tych wkładów wynosi: co można porównać z wyrażeniem:

38 co można porównać z wyrażeniem:
Spirala Cornu: wynik dodawania małych wektorów na płaszczyźnie zespolonej, odpowiadających wtórnym falom elementarnym pochodzących od oscylatorów Huyghensa rozłożonych w otworze wzdłuż h. Każdy z tych wkładów wynosi: co można porównać z wyrażeniem:

39 co można porównać z wyrażeniem: otrzymanym z zasady Huyghensa.
Spirala Cornu: wynik dodawania małych wektorów na płaszczyźnie zespolonej, odpowiadających wtórnym falom elementarnym pochodzących od oscylatorów Huyghensa rozłożonych w otworze wzdłuż h. Każdy z tych wkładów wynosi: co można porównać z wyrażeniem: otrzymanym z zasady Huyghensa.

40 Jak znaleźć natężenie fali ugiętej w dowolnym punkcie P, powyżej lub poniżej P0?

41 Jak znaleźć natężenie fali ugiętej w dowolnym punkcie P, powyżej lub poniżej P0?

42 dla punktu P powyżej; oscylatory nieuwzględnione
Jak znaleźć natężenie fali ugiętej w dowolnym punkcie P, powyżej lub poniżej P0? dla punktu P powyżej; oscylatory nieuwzględnione

43 Punkt P powyżej punktu P0:

44 Punkt P powyżej punktu P0: trzy różne wartości h; oscylacje

45 Punkt P powyżej punktu P0: trzy różne wartości h; oscylacje
1. Obliczamy v: trzy różne wartości h; oscylacje

46 Punkt P powyżej punktu P0: trzy różne wartości h; oscylacje
1. Obliczamy v: trzy różne wartości h; oscylacje

47 Punkt P powyżej punktu P0:
1. Obliczamy v: 2. Obliczamy natężenie w P ze wzoru: trzy różne wartości h; oscylacje

48 Punkt P powyżej punktu P0:
1. Obliczamy v: 2. Obliczamy natężenie w P ze wzoru: trzy różne wartości h; oscylacje

49 Punkt P powyżej punktu P0:
1. Obliczamy v: 2. Obliczamy natężenie w P ze wzoru: trzy różne wartości h; oscylacje v ujemne! natężenie większe niż w P0

50 Punkt P poniżej punktu P0:

51 Punkt P poniżej punktu P0:

52 Punkt P poniżej punktu P0:
dla punktu P poniżej; oscylatory uwzględnione niepotrzebnie

53 Punkt P poniżej punktu P0:

54 Punkt P poniżej punktu P0:
trzy różne wartości h; bez oscylacji, natężenie maleje

55 Punkt P poniżej punktu P0:
1. Obliczamy v: trzy różne wartości h; bez oscylacji, natężenie maleje

56 Punkt P poniżej punktu P0:
1. Obliczamy v: trzy różne wartości h; bez oscylacji, natężenie maleje

57 Punkt P poniżej punktu P0:
1. Obliczamy v: 2. Obliczamy natężenie w P ze wzoru: trzy różne wartości h; bez oscylacji, natężenie maleje

58 Punkt P poniżej punktu P0:
1. Obliczamy v: 2. Obliczamy natężenie w P ze wzoru: trzy różne wartości h; bez oscylacji, natężenie maleje

59 Punkt P poniżej punktu P0:
1. Obliczamy v: 2. Obliczamy natężenie w P ze wzoru: trzy różne wartości h; bez oscylacji, natężenie maleje v dodatnie! natężenie mniejsze niż w P0

60 Rozkład natężenia światła ugiętego na półpłaszczyźnie
Model promieni i model falowy (dyfrakcja Fresnela)

61 Dyfrakcja Fresnela na szczelinie
Punkt P0 naprzeciw środka szczeliny punkt P powyżej P0 w odległości h szerokość szczeliny a (Δv):

62 Dyfrakcja Fresnela na szczelinie
Punkt P0 naprzeciw środka szczeliny punkt P powyżej P0 w odległości h szerokość szczeliny a (Δv):

63 Dyfrakcja Fresnela na szczelinie
Punkt P0 naprzeciw środka szczeliny punkt P powyżej P0 w odległości h szerokość szczeliny a (Δv):

64 Znaleźć punkt P (czyli obliczyć v dla danego h) na spirali Cornu

65 Znaleźć punkt P (czyli obliczyć v dla danego h) na spirali Cornu
Obliczyć Δv (dla danego a) i znaleźć punkty na spirali odpowiadające krawędziom szczeliny (v+Δv/2 i v-Δv/2).

66 Znaleźć punkt P (czyli obliczyć v dla danego h) na spirali Cornu
Obliczyć Δv (dla danego a) i znaleźć punkty na spirali odpowiadające krawędziom szczeliny (v+Δv/2 i v-Δv/2). Obliczyć A i B:

67 Znaleźć punkt P (czyli obliczyć v dla danego h) na spirali Cornu
Obliczyć Δv (dla danego a) i znaleźć punkty na spirali odpowiadające krawędziom szczeliny (v+Δv/2 i v-Δv/2). Obliczyć A i B:

68

69 Rozkład natężeń (szczelina o szerokości Δv) wyliczony z tablic całek Fresnela otrzymanych przy pomocy programu Theorist, krok 0.01, dokładność ok. 6 cyfr znaczących. Wartości parametru Δv podano na rysunku. Położenie punktu P na ekranie podano w jednostkach v

70 PODSUMOWANIE Z dyfrakcją Fresnela mamy do czynienia wtedy, gdy odległość ekranu obserwacyjnego od ekranu z otworami, czy szczelinami nie jest duża i nie spełnia warunku Fraunhofera Całkowanie wkładu od oscylatorów Huyghensa prowadzi, dla dyfrakcji Fresnela, do wyrażeń, w których występują całki Fresnela, które definiują tzw. spiralę Cornu

71 PODSUMOWANIE Rozkład natężenia światła ugiętego na półpłaszczyźnie z prostoliniową krawędzią; obszar cienia geometrycznego; malejące monotonicznie natężenie Rozkład natężenia światła ugiętego na półpłaszczyźnie z prostoliniową krawędzią; obszar powyżej cienia geometrycznego; oscylacje natężenia

72 v, położenie punktu P, Δv szerokość szczeliny.
PODSUMOWANIE Dla pojedynczej szczeliny natężenie światła w punkcie P na ekranie obserwacyjnym można wyrazić przez następującą sumę kwadratów różnic (lub sum) całek Fresnela: v, położenie punktu P, Δv szerokość szczeliny. Rozkład Fraunhofera dla małych szerokości.