Przenoszenie błędów (rachunek błędów) Niech x=(x 1,x 2,...,x n ) będzie n-wymiarową zmienną losową złożoną z niezależnych składników o rozkładach normalnych.

Prezentacja na temat: "Przenoszenie błędów (rachunek błędów) Niech x=(x 1,x 2,...,x n ) będzie n-wymiarową zmienną losową złożoną z niezależnych składników o rozkładach normalnych."— Zapis prezentacji:

1 Przenoszenie błędów (rachunek błędów) Niech x=(x 1,x 2,...,x n ) będzie n-wymiarową zmienną losową złożoną z niezależnych składników o rozkładach normalnych z wariancjami  1 2,  2 2,...,  n. Wtedy funkcja skalarna y=f(x) tej zmiennej losowej jest zmienną losową opisywaną w przybliżeniu rozkładem normalnym o następującej wariancji:

2 Jeżeli elementy x są skorelowane to we wzorze występuje pełna macierz wariancji-kowariancji

3 Pobieranie próby Populacja generalna: zbiór wyników wszystkich możliwych doświadczeń określonego typu. Próba n-wymiarowa: zbiór n wyników doświadczeń. Wyniki j-tej próby przedstawiamy w postaci n-wymiarowej zmiennej losowej x (j) =(x 1 (j),x 2 (j),...,x n (j) ). Wektor ten ma rozkład prawdopodobieństwa g(x)=g(x 1,x 2,...,x n ).

4 Pobieranie losowe 1. g(x)=g 1 (x 1 )g 2 (x 2 )...g n (x n ) (prawdopodobieństwa pobrania poszczególnych elementów próby są niezależne od siebie), 2. g 1 (x)=g 2 (x)=...=g n (x)=f(x) (poszczególne rozkłady muszą być identyczne z rozkładem gęstości dla populacji).

5 Dystrybuanta empiryczna (rozkład w próbie) W n (x)=n x /n n x – liczba elementów próby takich że x j  x. W n (x) dąży do prawdziwej dystrybuanty F(x) dla n 

6 Przedstawianie rozkładów z próby Wykresy liniowe (jednowymiarowe) Histogramy –Wykresy schodkowe –Wykresy słupkowe –Wykresy impulsowe Konstrukcja histogramu h(x)=n(x<y  x+  x) h(x 1,x 2,...,x n )=n(x 1 <y 1  x 1 +  x 1,x 2 <y 2  x 2 +  x 2,..., x n <y n  x n +  x n )

7 Przedstawienie wyników pomiarów oporu 100 pojedynczych oporników Wykres liniowy Histogram – wykres słupkowy Histogram – wykres schodkowy Histogram – wykres z zaznaczonymi przedziałami błędów Zależność postaci histogramów z próby dla czterech różnych szerokości przedziałów

8 Statystyki i estymatory Statystyka: funkcja określona na elementach próby, np. średnia. Estymator: przybliżona wartość parametru rozkładu prawdopodobieństwa wyznaczona z próby. S=S(x 1,x 2,...,x n ) Estymator jest nieobciążony jeżeli jego wartość oczekiwana nie zależy od liczby elementów próby. Estymator jest zgodny jeżeli jego wariancja dąży do zera wraz ze wzrostem liczby elementów próby.

9 Estymator wartości średniej rozkładu Estymator wartości średniej jest zatem estymatorem nieobciążonym i zgodnym.

10 Estymator wariancji rozkładu (nieobciążony i zgodny)

11 Estymator wariancji wartości średniej: Estymator odchylenia standardowego wartości średniej: Estymator błędu ochylenia standardowego:

12 Rozkład wariancji z próby (rozkład  2 ) Pobieramy próbę x 1,x 2,...,x n z rozkładu normalnego o a=0 i  =1. Dystrybuanta rozkładu zmiennej x 2 =x 1 2 +x 2 2 +...+x n 2 jest dana następującą funkcją: gdzie  (y) jest funkcją gamma Eulera (silnią uogólnioną na liczby rzeczywiste).

13 Zatem sam rozkład wariancji jest dany następującą funkcją