Średnie i miary zmienności

Prezentacja na temat: "Średnie i miary zmienności"— Zapis prezentacji:

1 Wstęp – opracowywanie wyników pomiarów za pomocą arkusza kalkulacyjnego MS Excel

2 Średnie i miary zmienności

3 Plan zajęć zakres danych średnia: arytmetyczna, ważona, geometryczna, harmoniczna mediana i dominanta wariancja współczynnik zmienności

4 Estymator Estymator to wielkość wyznaczona na podstawie próby losowej, służąca do oceny wartości nieznanych parametrów populacji generalnej. Estymator nazywamy nieobciążonym, jeżeli jego wartość oczekiwana jest równa faktycznej wartości parametru populacji generalnej.

5 Dla małych prób należy starać się używać estymatora nieobciążonego
Własność nieobciążoności oznacza, że przy wielokrotnnym losowaniu próby średnia wartości przyjmowanych przez estymator nieobciążony równa się wartości szacowanego parametru. Inaczej: wartość nieobciążoności estymatora gwarantuje otrzymanie za jego pomocą ocen wolnych od błędu systematycznego. Dla małych prób należy starać się używać estymatora nieobciążonego

6 liczba obserwacji jest dostatecznie duża
Średnie klasyczne Średnia arytmetyczna Średnia arytmetyczna jest estymatorem nieobciążonym o największej wiarygodności wartości oczekiwanej zmiennej losowej przy spełnieniu przynajmniej jednego z poniższych założeń: liczba obserwacji jest dostatecznie duża rozkład zmiennej jest normalny

7 Średnie klasyczne Średnia ważona Jest stosowana, jeżeli dane można pogrupować w klasy (przedziały klasowe) w postaci szeregu rozdzielczego

8 porządkowanie wartości cechy
Średnie klasyczne Szereg rozdzielczy jest sposobem statystycznej prezentacji rozkładu empirycznego. Etapy: porządkowanie wartości cechy zliczanie ilość wystąpień danej cechy w próbie i określenie przedziałów klasowych obliczanie częstości występowania dla każdej wartości cechy (dla każdego przedziału klasowego) przedstawienie wyników w tabeli

9 Zebrano 10 owoców dwu odmian o następującej masie:
Średnie klasyczne Szereg rozdzielczy Przykład: Zebrano 10 owoców dwu odmian o następującej masie: odmiana 1) 55, 75, 65, 45, 52, 50, 43, 56, 52, 53 odmiana 2) 75, 57, 51, 76, 43, 79, 65, 71, 72, 60

10 Przedział klasowy (wartość cechy)
Średnie klasyczne Szereg rozdzielczy odmiana 1) Przedział klasowy (wartość cechy) Liczebność ni Wartości xi poza wyborem 0 – 50 g II wybór 50 – 70 g I wybór > 70 g

11 Przedział klasowy (wartość cechy)
Średnie klasyczne Szereg rozdzielczy odmiana 1) Przedział klasowy (wartość cechy) Liczebność ni Wartości xi poza wyborem 0 – 50 g 43, 45, 50 II wybór 50 – 70 g 52, 52, 53, 55, 56, 65 I wybór > 70 g 75

12 Przedział klasowy (wartość cechy)
Średnie klasyczne Szereg rozdzielczy odmiana 1) Przedział klasowy (wartość cechy) Liczebność ni Wartości xi poza wyborem 0 – 50 g 3 43, 45, 50 II wybór 50 – 70 g 6 52, 52, 53, 55, 56, 65 I wybór > 70 g 1 75

13 Przedział klasowy (wartość cechy)
Średnie klasyczne Szereg rozdzielczy odmiana 1) Przedział klasowy (wartość cechy) Liczebność ni Częstość poza wyborem 0 – 50 g 3 II wybór 50 – 70 g 6 I wybór > 70 g 1

14 Przedział klasowy (wartość cechy)
Średnie klasyczne Szereg rozdzielczy odmiana 1) Przedział klasowy (wartość cechy) Liczebność ni Częstość poza wyborem 0 – 50 g 3 0,30 II wybór 50 – 70 g 6 0,60 I wybór > 70 g 1 0,10

15 Przedział klasowy (wartość cechy)
Średnie klasyczne Szereg rozdzielczy odmiana 2) Przedział klasowy (wartość cechy) Liczebność ni Wartości xi poza wyborem 0 – 50 g II wybór 50 – 70 g I wybór > 70 g

16 Przedział klasowy (wartość cechy)
Średnie klasyczne Szereg rozdzielczy odmiana 2) Przedział klasowy (wartość cechy) Liczebność ni Wartości xi poza wyborem 0 – 50 g 43 II wybór 50 – 70 g 51, 57, 60, 65 I wybór > 70 g 71, 72, 75, 76, 79

17 Przedział klasowy (wartość cechy)
Średnie klasyczne Szereg rozdzielczy odmiana 2) Przedział klasowy (wartość cechy) Liczebność ni Wartości xi poza wyborem 0 – 50 g 1 43 II wybór 50 – 70 g 4 51, 57, 60, 65 I wybór > 70 g 5 71, 72, 75, 76, 79

18 Przedział klasowy (wartość cechy)
Średnie klasyczne Szereg rozdzielczy odmiana 2) Przedział klasowy (wartość cechy) Liczebność ni Częstość poza wyborem 0 – 50 g 1 II wybór 50 – 70 g 4 I wybór > 70 g 5

19 Przedział klasowy (wartość cechy)
Średnie klasyczne Szereg rozdzielczy odmiana 2) Przedział klasowy (wartość cechy) Liczebność ni Częstość poza wyborem 0 – 50 g 1 0,10 II wybór 50 – 70 g 4 0,40 I wybór > 70 g 5 0,50

20 każdemu przedziałowi nadajemy „wagę” zależnie od jego liczebności ni :
Średnie klasyczne Średnia ważona każdemu przedziałowi nadajemy „wagę” zależnie od jego liczebności ni :

21 Przedział klasowy (wartość cechy)
Średnie klasyczne Szereg rozdzielczy odmiana 1) Przedział klasowy (wartość cechy) Liczebność ni Wartości xi poza wyborem 0 – 50 g 3 43, 45, 50 II wybór 50 – 70 g 6 52, 52, 53, 55, 56, 65 I wybór > 70 g 1 75

22 Przedział klasowy (wartość cechy)
Średnie klasyczne Szereg rozdzielczy odmiana 2) Przedział klasowy (wartość cechy) Liczebność ni Wartości xi poza wyborem 0 – 50 g 1 43 II wybór 50 – 70 g 4 51, 57, 60, 65 I wybór > 70 g 5 71, 72, 75, 76, 79

23 Średnie klasyczne Średnia ważona uwzględniamy wagę dla każdej wartości należącej do poszczególnych przedziałów: x1 × n1 + x2 × n xm × nm n1 + n nm odmiana 1) 43×3 + 45×3 + 50×3 + 52×6 + 52×6 + 53×6 + 55×6 + 56×6 + 65×6 + 75×1

24 Średnie klasyczne Średnia ważona uwzględniamy wagę dla każdej wartości należącej do poszczególnych przedziałów: x1 × n1 + x2 × n xm × nm n1 + n nm odmiana 2) 43×1 + 51×4 + 57×4 + 60×4 + 65×4 + 71×5 + 72×5 + 75×5 + 76×5 + 79×5

25 Średnia ta jest stosowana w przypadku gdy:
Średnie klasyczne Średnia geometryczna Średnia ta jest stosowana w przypadku gdy: skala pomiarowa nie jest liniowa gdy badane jest średnie tempo zmian wielkości w czasie

26 Średnia ta jest stosowana w przypadku gdy:
Średnie klasyczne Średnia harmoniczna Średnia ta jest stosowana w przypadku gdy: wartości zmiennej podane są w jednostkach względnych, np.: rozstawa roślin (sztuki na m2) spożycie rośliny X na 1 osobę

27 sortujemy dane w od najmniejszej do największej i numerujemy od 1 do n
Średnie pozycyjne Mediana (wartość środkowa) to wartość cechy w szeregu uporządkowanym, powyżej i poniżej której znajduje się jednakowa liczba obserwacji. sortujemy dane w od najmniejszej do największej i numerujemy od 1 do n jeśli n jest nieparzyste, medianą jest wartość obserwacji w środku,czyli (n+1) × 2-1 jeśli n jest parzyste, medianą jest średnia arytmetyczna między dwiema środkowymi obserwacjami, czyli obserwacją numer n × 2-1 i obserwacją numer (n × 2-1)+1

28 Średnie pozycyjne Kwartyle to wartości cechy badanej zbiorowości, przedstawionej w postaci szeregu statystycznego, które dzielą zbiorowość na określone części pod względem liczby jednostek, części te pozostają do siebie w określonych proporcjach kwartyl pierwszy (Q1) dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że 25% jednostek zbiorowości ma wartości cechy niższe bądź równe kwartylowi pierwszemu Q1, a 75% równe bądź wyższe od tego kwartyla kwartyl drugi – mediana kwartyl trzeci (Q3) dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że 75% jednostek zbiorowości ma wartości cechy niższe bądź równe kwartylowi pierwszemu Q3, a 25% równe bądź wyższe od tego kwartyla

29 Średnie pozycyjne Dominanta (wartość modalna, moda) wskazuje na wartość o największym prawdopodobieństwie wystąpienia, lub wartość najczęściej występująca w próbie. dla zmiennej losowej o rozkładzie ciągłym jest to wartość, dla której funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma wartość największą jest szczególnie użyteczna gdy wartości zmiennej obserwowanej nie są liczbowe

30 badany rozkład wartości cechy musi mieć jeden ośrodek dominujący
Średnie pozycyjne Dominanta badany rozkład wartości cechy musi mieć jeden ośrodek dominujący asymetria rozkładu jest umiarkowana przedział, w którym występuje dominanta, oraz sąsiadujące z nim przedziały mają te same rozpiętości

31 Obliczanie dominanty z szeregu klasowego
Średnie pozycyjne Dominanta Obliczanie dominanty z szeregu klasowego

32 Obliczanie dominanty z szeregu klasowego
Średnie pozycyjne Dominanta Obliczanie dominanty z szeregu klasowego 6 - 3 (6 - 3) + (6 - 1) 50 + × ( ) = 57,5

33 Miary zmienności klasyczne
Wariancja Jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej zbiorowości.

34 Odchylenie standardowe to pierwiastek kwadratowy z wariancji
Miary zmienności klasyczne Odchylenie standardowe to pierwiastek kwadratowy z wariancji stanowi miarę zróżnicowania o mianie zgodnym z mianem badanej cechy określa przeciętne zróżnicowanie poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej σ

35 Współczynnik zmienności stosuje się w porównaniach zróżnicowania:
Miary zmienności klasyczne Współczynnik zmienności to miara zróżnicowania rozkładu cechy. Jest wielkością niemianowaną, najczęściej podawaną w procentach. Współczynnik zmienności stosuje się w porównaniach zróżnicowania: kilku zbiorowości pod względem tej samej cechy tej samej zbiorowości pod względem kilku różnych cech