GIS – SYSTEMY INFORMACJI GEOGRAFICZNEJ

Prezentacja na temat: "GIS – SYSTEMY INFORMACJI GEOGRAFICZNEJ"— Zapis prezentacji:

1 GIS – SYSTEMY INFORMACJI GEOGRAFICZNEJ
UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH, ODWZOROWANIA KARTOGRAFICZNE WPROWADZENIE DO ALGORYTMÓW GIS

2 PLAN PREZENTACJI Współrzędne geograficzne, elipsoidalne, powszechnie stosowane elipsoidy,układy odniesienia Odwzorowania kartograficzne – definicja podział, odwzorowania wiernokątne, wiernopolowe, wiernoodległościowe Algorytmy upraszczania danych, algorytm Douglas-Peucker, algorytm redukcji liczby wierzchołków Pojęcie przestrzeni wektorowej, odległości, normy wektora, iloczynu skalarnego, przykłady przestrzeni wektorowych, podprzestrzeni wektorowych Reprezentacje prostych, krzywych, odległość punktu od prostej Wielomiany Newtona, Lagrange’a, Hermite’a, Bernsteina Algorytm wygładzania linii z wykorzystaniem Active Contours (Snakes)

3 MAPY – DEFINICJA Mapa (z łac. mappa = 'obrus') - uogólniony obraz powierzchni Ziemi lub jej części (także nieba lub planety czy innego ciała niebieskiego), wykonywany na płaszczyźnie, w skali, według zasad odwzorowania kartograficznego, przy użyciu znaków graficznych. Mapa stanowi podstawowe narzędzie badań i prezentacji wyników m.in. w historii, geografii i geodezji. Mapa jest to obraz fizycznej powierzchni ziemi na płaszczyźnie w przyjętym odwzorowaniu kartograficznym i założonej skali z symbolicznym przedstawieniem obiektów i ukształtowania. Treść map - znaki umowne, punkty wysokościowe (pikiety), warstwice, siatka współrzędnych, opisy. Skala mapy – zależność pomiędzy długością odcinka łączącego 2 punkty na mapie i odległością odpowiadających im punktów na powierzchni odniesienia 1 : M.

4

5 UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH GEOGRAFICZNYCH

6 UKŁAD WSPÓŁRZĘDNYCH ELIPSOIDALNYCH

7 ODWZOROWANIE KARTOGRAFICZNE

8 obrazem punktu jest punkt obrazem krzywej jest krzywa
ODWZOROWANIE POWIERZCHNI W POWIERZCHNIĘ Odwzorowaniem jednej powierzchni w drugą nazywamy każdą wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość punktową między powierzchnią nazywaną oryginałem a powierzchnią nazywaną obrazem. Odwzorowanie kartograficzne jest umownym, określonym matematycznie sposobem przyporządkowania punktom powierzchni elipsoidy (lub kuli) punktów na płaszczyźnie. W zastosowaniach GIS (tym kartografii) powierzchnia oryginału i powierzchnia obrazu są powierzchniami regularnymi. W odwzorowaniach regularnych: obrazem punktu jest punkt obrazem krzywej jest krzywa obrazem kąta jest kąt obrazem powierzchni jest powierzchnia

9 PŁASZCZYZNA ODWZOROWANIA KARTOGRAFICZNEGO

10

11

12

13 Według tego kryterium można wyróżnić odwzorowania: wiernokątne, mB=mL
PODSTAWOWE ODWZOROWANIA KARTOGRAFICZNE Wybór odwzorowania dla map uwzględnia przede wszystkim kryterium występujących na mapie zniekształceń odwzorowawczych. Według tego kryterium można wyróżnić odwzorowania: wiernokątne, mB=mL wiernopolowe, mB*mL=1 wiernoodległościowe, mB=1, lub mL=1 „dowolne”

14 GEOIDA Geoidę definiuje się jako tę powierzchnię ekwipotencjalną potencjału siły ciężkości, która pokrywa się ze średnim poziomem mórz i oceanów. Odzwierciedla ona własności fizycznej budowy Ziemi, nieciągłości jej krzywizny odpowiadają nieciągłościom gęstości w rozkładzie mas we wnętrzu Ziemi

15

16 PRZYŚPIESZENIE ZIEMSKIE

17 ELIPSOIDY ODNIESIENIA

18 POWIERZCHNIE ODNIESIENIA
płaszczyzna

19 POWIERZCHNIE ODNIESIENIA I WSPÓŁRZĘDNE
Szerokość geodezyjna B punktu na elipsoidzie i jej związek z szerokością geograficzną na kuli.

20 UKŁAD ODNIESIENIA - DATUM
Układ odniesienia (DATUM) oprócz nazwy elipsoidy określa jej położenie względem środka ciężkości Ziemi lub innych punktów. Rozróżniamy układy odniesienia lokalne i globalne.

21 ODWZOROWANIE MERCATORA

22

23 UTM – UNIVERSAL TRANSVERSE MERCATOR

24 ODWZOROWANIA WIERNOKĄTNE
Odwzorowanie kartograficzne oddające wszystkie właściwości oryginalnej sfery powinien być dokładnie – perfekcyjnie równoodległe, to znaczy odległości między dowolnymi dwoma punktami powinny zachowywać ten sam stosunek zarówno na mapie i na sferze. W ten sposób, także wszystkie kształty zostają zachowane. Mapa na płaszczyźnie nie może spełnić tej właściwości (np. punkty na krawędzi mapy). W wielu zastosowaniach kartograficznych oraz pewnych rodzajach nawigacji słabszy warunek – poprawność kształtu jest najbardziej podstawowym wymaganiem. Kąt między dowolnymi dwoma liniami na sferze musi być taki sam jak kąt między tymi liniami w odwzorowaniu kartograficznym na mapie. W szczególności, wszystkie południki muszą przecinać równoleżniki pod kątem prostym. Ponadto skala w dowolnym punkcie musi być taka sama we wszystkich kierunkach. Wiernokątność jest ściśle lokalną właściwością: kąty (a zatem i kształt) nie mogą być zachowane w dalszej odległości od punktu przecięcia. W rzeczywistości linie proste na sferze zostają odwzorowane jako linie zakrzywione na płaszczyźnie i odwrotnie. Odwzorowania równokątne znajdują zastosowanie w odwzorowaniach wielkoskalowych, natomiast są rzadko stosowane w mapach całych kontynentów lub świata. Ponieważ odwzorowanie równokątne nie może być jednocześnie wiernopolowym, odwzorowania wiernokątne nie są stosowane w zastosowaniach statystycznych, gdzie porównanie rozmiaru jest powszechnie wykonywaną operacją.

25 ODWZOROWANIA WIERNOKĄTNE – STANDARDOWE
Podstawowe odwzorowania wiernokątne: Stereograficzne płaszczyznowe, zachowujące kształt każdego okręgu na sferze Odwzorowanie Merkatora, walcowe w normalnym aspekcie posiada proste, pionowe południki, umożliwiając bezpośredni pomiary położenia – szerokości geograficznej Odwzorowanie równokątne stożkowe, ogólny przypadek odwzorowania Punkty osobliwe: punkty odwzorowane w nieskończoności punkty, gdzie nie jest zachowana równokątność W szczególności (w aspekcie normalnym), odwzorowanie stereograficzne płaszczyznowe nie odwzorowuje punktu przeciwległego środkowi odwzorowania. Odwzorowanie Mercatora nie obejmuje dwu biegunów, a odwzorowanie stożkowe równokątne z pojedynczym biegunem, nie zachowującym równokątności (ponieważ suma kątów wszystkich południków jest mniejsza od 360 stopni). ODWZOROWANIE LAGRANGE’A W roku 1772, Joann Lambert przedstawił odwzorowanie wiernokątne o następujących właściwościach: na sferze, odległości południków zmniejszano o czynnik n na sferze zmienia się odległości między równoleżnikami w celu uzyskania równokątności zastosowanie odwzorowania płaszczyznowego stereograficznego w aspekcie równikowym Lambert przedstawił ogólny przypadek dla dowolnego n i centralnego równoleżnika, najczęściej wykorzystywany przypadek dla równika z n = 0.5 znany jest pod nazwą odwzorowania Lagrange’a. Joseph Lagrange’a uogólnił odwzorowanie na przypadek elipsoidy. Odwzorowanie Lagrange’a przedstawia cały świat na powierzchni okręgu. Z powodu zastosowania odwzorowania stereograficznego, wszystkie południki i równoleżniki są łukami okręgów ( środkowy południk i równoleżnik jest linią prostą). Skala zostaje silnie zniekształcona przy biegunach. Odwzorowanie rzadko stosowane praktycznie, jednakże stanowi podstawę szeregu pochodnych odwzorowań równokątnych, gdyż odwzorowanie sfery na koło jest fundamentalnym krokiem w tworzeniu odwzorowania wiernokątnego.

26 ODWZOROWANIE LAGRANGE’A

27 ODWZOROWANIA STOŻKOWE
Odwzorowania stożkowe w aspekcie biegunowym posiadają cechy: południki są prostymi liniami, równoodległymi, zbieżnymi w punkcie, który może być biegunem, ale nie musi. W porównaniu do sfery, odległość kątowa między południkami jest zawsze zredukowana o stały czynnik, zwany czynnikiem stożkowym równoleżniki są łukami okręgów, koncentrycznych w punkcie zbieżności południków. W wyniku tego, równoleżniki przecinają wszystkie południki pod kątem prostym. Zniekształcenie jest stałe wzdłuż każdego równoleżnika. W celach zilustrowania, wynikowa płaszczyzna może zostać nawinięta na stożek z wierzchołkiem odwzorowywanej sfery, jednakże niewiele odwzorowań jest opartych na prawdziwej geometrycznej perspektywie (innymi słowy, stożek otrzymujemy zawsze w wyniku odwzorowania, jednakże rzadko bezpośrednio podczas tworzenia odwzorowania). Najczęściej stożek przecina sferę w jednym lub dwu wybranych równoleżnikach, zwanych standardowymi liniami. Prosta konstrukcja i wzorzec zniekształcenia, powoduje, że jego stosowanie w regionalnych i państwowych mapach stref umiarkowanych (podczas gdy mapy płaszczyznowe i walcowe są odpowiedniejsze dla stref biegunowych i tropikalnych), w szczególności dla obszarów ograniczonych dwoma położonymi niedaleko południkami, takimi jak Rosja lub USA. Z drugiej strony odwzorowania stożkowe rzadko nadają się dla map całego świata. Istnieje tylko jeden rodzaj odwzorowania stożkowego wiernopowierzchniowego, i tylko jedno jest wiernokątne. Ograniczenia są osłabione w odwzorowaniach pseudostożkowych (z zakrzywionymi południkami) oraz polistożkowych (z niekoncentrycznymi równoleżnikami).

28 ODWZOROWANIA STOŻKOWE

29 ODWZOROWANIE LAMBERTA WIERNOKĄTNE STOŻKOWE
Standardowy równoleżnik 50°N and 10°S, obciete przy 50°S.

30 ODWZOROWANIE LAMBERTA WIERNOKĄTNE STOŻKOWE

31 WPROWADZENIE DO ALGORYTMÓW GIS
GRUPA Grupą nazywamy parę (G,*), gdzie G jest dowolnym zbiorem niepustym, a * działaniem dwuargumentowym (* : G x G → G) spełniającym następujące warunki: 1. dla dowolnych a, b, c należących do G zachodzi równość: (a * b) * c = a * (b * c)   (łączność działania) 2. istnieje w G taki element e, że dla każdego a należącego do G zachodzi równość: e * a = a * e = a   (gdzie e nazywamy elementem neutralnym grupy) 3. dla każdego a należącego do G istnieje w G element a-1 taki, że: a * a-1 = a-1 * a = e   (gdzie a-1 nazywamy elementem odwrotnym do a) GRUPA ABELOWA Jeżeli oprócz powyższych aksjomatów grupy, działanie w grupie G spełnia dodatkowo warunek przemienności: 4. dla dowolnych a, b w G zachodzi równość: a * b = b * a, to grupę G nazywamy grupą przemienną lub grupą abelową.

32 PIERŚCIEŃ Pierścień (ang. ring) to struktura algebraiczna P z dwoma działaniami, zwanymi dodawaniem i mnożeniem, spełniającymi następujące aksjomaty: zbiór P z dodawaniem jest grupą abelową mnożenie jest łączne mnożenie jest obustronnie rozdzielne względem dodawania: a·(b + c) = (a·b) + (a·c) (b + c)·a = (b·a) + (c·a) CIAŁO Ciało (ang. field) to struktura algebraiczna K z dwoma działaniami, zwanymi dodawaniem i mnożeniem, spełniającymi następujące aksjomaty: zbiór K jest co najmniej dwuelementowy zbiór K z dodawaniem jest grupą abelową zbiór K - {0} z mnożeniem, gdzie Zero jest elementem neutralnym dodawania, jest grupą abelową

33 POJĘCIE PRZESTRZENI WEKTOROWEJ (LINIOWEJ)

34 DEFINICJA PODRZESTRZENI WEKTOROWEJ
Niepusty podzbiór S przestrzeni wektorowej V nazywamy podprzestrzenia wektorowa przestrzeni V , jezeli S z działaniami indukowanymi z V jest przestrzenia wektorowa. Podprzestrzenią liniową przestrzeni V nad ciałem K nazywamy taki jej podzbiór U, który sam jest przestrzenią liniową nad ciałem K ze względu na działania określone w V. PRZYKŁADY PODPRZESTRZENI WEKTOROWYCH Funkcje wielomianowe na R tworza podprzestrzen wektorowa przestrzeni wszystkich funkcji na R. Równiez przestrzen Wn wielomianów stopnia nie wkększego od n jest przestrzenia wektorowa, podprzestrzenia przestrzeni wszystkich wielomianów (funkcji wielomianowych). Inne podprzestrzenie przestrzeni Map(R,R): wielomianów parzystych, funkcji ciagłych, funkcji rózniczkowalnych, etc. Przykładami podprzestrzeni są: zbiór złożony z wektora zeroweg i cała przestrzeń. Nietrywialnym przykładem jest podzbiór przestrzeni euklidesowej R2 złożony z wszystkich wektorów postaci (x, 0).

35 BAZA I WSPÓŁRZĘDNE WEKTORA
Baza przestrzeni liniowej to taki zbiór wektorów, że każdy wektor przestrzeni można zapisać jednoznacznie w postaci kombinacji liniowej wektorów bazy. Dla danej bazy i danego wektora współczynniki tej kombinacji liniowej, która przedstawia wektor' nazywamy współrzędnymi wektora w bazie. Po wybraniu bazy każdy wektor jest jednoznacznie wyznaczony przez ciąg swych współrzędnych w tej bazie. Na przykład, w przestrzeni euklidesowej R2 bazę tworzy zbiór {(1, 1), (0, 1)}. Wektor (–3, 1) daje się zapisać jako (–3, 1) = –3·(1, 1) + 4·(0,  1). Liczby –3 i 4 są współrzędnymi wektora (–3, 1) w wybranej bazie. W innej bazie te same liczby będą współrzędnymi innego wektora. Każda przestrzeń liniowa ma bazę (fakt ten jest równoważny aksjomatowi wyboru); wszystkie bazy przestrzeni liniowej są równoliczne. WYMIAR PRZESTRZENI Moc dowolnej bazy przestrzeni V nazywamy wymiarem przestrzeni liniowej i oznaczamy symbolem dim(V). Przestrzeń, która ma bazę skończoną nazywamy skończenie wymiarową, w przeciwnym wypadku mówimy o przestrzeni nieskończenie wymiarowej.

36 DEFINICJA PRZESTRZENI EUKLIDESOWEJ
Przestrzenią euklidesową n-wymiarową (n ≥ 1) nazywamy zbiór Rn wszystkich uporządkowanych układów (x1, x2, ..., xn) n liczb rzeczywistych, wraz z odległością dwóch układów określoną wzorem: d(x,y)=sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+dots+(x_n-y_n)^2} gdzie x = (x1, x2, ..., xn) i y = (y1, y2, ..., yn). Formalnie, Rn jest n krotnym iloczynem kartezjańskim zbioru liczb rzeczywistych przez siebie. Elementy x zbioru Rn nazywamy punktami, a liczby x1, x2, ..., xn, współrzędnymi punktu x. Wzór na odległość dwóch punktów jest uogólnieniem twierdzania Pitagorasa zapisanego we współrzędnych kartezjańskich dla n = 2. Określoną tym wzorem odległość nazywamy odległością euklidesową.

37 CIAŁO JAKO PRZESTRZEŃ LINIOWA
PŁASZCZYZNA Wektorami są tu klasycznie pojmowane wektory na płaszczyźnie, a skalarami - liczby rzeczywiste. Bazę płaszczyzny tworzy dowolny zbiór złożony z dwu nierównoległych wektorów. Podobnie można pojmować każdą przestrzeń euklidesową (uwaga: mówienie, że płaszczyzna jest przestrzenią wektorową to nadużycie - staje się ona nią dopiero po wyposażeniu w strukturę dodawania wektorów i mnożenia ich przez skalary). Warto pamiętać, że wszystkie wektory płaszczyzny rozumianej jako przestrzeń wektorowa są zaczepione w początku układu współrzędnych. Aby dodawać wektory zaczepione w różnych punktach konieczne jest rozszerzenie przestrzeni wektorowej do przestrzeni afinicznej, w której wprowadzamy dodatkową operację przesunięcia równoległego. CIAŁO JAKO PRZESTRZEŃ LINIOWA Każde ciało można rozpatrywać jako przestrzeń liniową nad jego dowolnym podciałem. Na przykład, ciało liczb zespolonych jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych. Wymiar tej przestrzeni wynosi 2 – jest ona izomorficzna z płaszczyzną euklidesową. Podobnie, ciało liczb rzeczywistych jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb wymiernych. Jest to przestrzeń nieskończenie wymiarowa (wymiaru continuum). Dowolną bazę tej przestrzeni nazywamy bazą Hamela. .

38 PRZESTRZEŃ Kn Dla dowolnej liczby naturalnej n, rozważmy zbiór wszystkich uporządkowanych układów n skalarów z ciała K: Kn = {(k1, k2, ..., kn): ki należy do K dla i = 1, 2, ..., n}. Jeżeli określić dodawanie takich układów wzorem: (k1, k2, ..., kn) + (l1, l2, ..., ln) = (k1 + l1, k2 + l2, ..., kn + ln) oraz mnożenie przez skalar α wzorem: α·(k1, k2, ..., kn) = (α·k1, α·k2, ..., α·kn), to otrzymamy n-wymiarową przestrzeń liniową nad ciałem K. Jeżeli przyjąć tu K = R, otrzymujemy n-wymiarową przestrzeń euklidesową PRZESTRZENIE FUNKCYJNE Wektorami są tu funkcje rzeczywiste (lub zespolone) określone na pewnym zbiorze X, zaś skalarami liczby rzeczywiste (zespolone w przypadku zespolonym). Dodawanie funkcji (wektorów) jest określone wzorem: (f+g)(x) = f(x) + g(x), a mnożenie funkcji (wektora) przez liczbę wzorem: (α·f)(x) = α·f(x) Na przykład, dodając funkcje f(x) = 2x i g(x) = x2 – x otrzymamy funkcję y = x2 + x; mnożąc f przez – 2 otrzymamy funkcję y = – 4x. Jeżeli zbiór X jest nieskończony, to tak otrzymana przestrzeń jest nieskończenie wymiarowa. Określając w zbiorze X dodatkowe struktury (np. przestrzeni topologicznej) otrzymujemy p. liniowe o specyficznych własnościach, które są przedmiotami badań odrębnych działów matematyki – topologii, analizy matematycznej lub analizy funkcjonalnej.

39 Przestrzeń funkcji ograniczonych
Niech X będzie dowolnym zbiorem. Zbiór B(X) wszystkich funkcji ograniczonych na X jest przestrzenią liniową. Przestrzeń funkcji ciągłych Niech X będzie przedziałem domkniętym. Zbiór C(X) wszystkich funkcji ciągłych na X jest p. liniową. Przestrzeń funkcji różniczkowalnych Niech X będzie przedziałem otwartym. Zbiór C′(X) wszystkich funkcji różniczkowalncyh na X jest przestrzenią liniową. Przestrzeń ciągów bezwzględnie sumowalnych Niech X = N – rozważmy zbiór l1 wszystkich ciągów x=(x1, x2, x3, ...) dla których szereg liczbowy ∑|xi| jest zbieżny. Z nierówności trójkąta wynika, że suma dwóch ciągów o opisanej własności znów ma tę własność, a to oznacza, że otrzymana przestrzeń jest przestrzenią liniową. Przestrzeń ciągów sumowalnych z kwadratem Niech X = N – rozważmy zbiór l2 wszystkich ciągów x=(x1, x2, x3, ...) dla których szereg liczbowy ∑|xi|2 jest zbieżny. Z nierówności Schwarza wynika, że suma dwóch ciągów o opisanej własności znów ma opisaną własność, a to oznacza, że otrzymana przestrzeń jest przestrzenią liniową. Przestrzeń macierzy nad ciałem Zbiór wszystkich macierzy wymiaru n×m nad danym ciałem tworzy przestrzeń liniową nad tym ciałem. Jej wymiar jest równy n·m. Wielomiany Pierścień K[1] wielomianów o współczynnikach w ciele K jest przestrzenią liniową nad K. Jest to przestrzeń nieskończenie wymiarowa, jej bazą jest np. zbiór wielomianów {1, X, X2, X3,...}.

40 DEFINICJA ILOCZYNU SKALARNEGO
Iloczyn skalarny wektorów to operacja (oznaczana symbolem "·" lub "<·,·>"), która każdej parze (x,y) wektorów z przestrzeni liniowej nad danym ciałem skalarów (najczęściej liczb rzeczywistych R lub zespolonych C) przypisuje skalar w taki sposób, że spełnione są poniższe warunki: PODSTAWOWE OKREŚLENIA W geometrii płaskiej klasyczna definicja iloczynu skalarnego związana jest z kątem między wektorami w przestrzeni: x·y = |x|·|y| cos(x,y), gdzie |x| oznacza długość wektora x. Widać stąd, że jeżeli wektory x i y są prostopadłe to ich iloczyn skalarny jest równy 0. Zachodzi także zależność odwrotna: jeśli dwa niezerowe wektory mają zerowy iloczynskalarny to są prostopadłe. W ogólnym przypadku, jeśli x·y=0, to mówimy że wektory x i y są ortogonalne. NORMA GENEROWANA PRZEZ ILOCZYN SKALARNY Iloczyn skalarny pozwala określić (generować) normę wektora, czyli jego długość:||x||=(x·x)½.Ważną własnością tak otrzymanej normy jest tożsamość równoległoboku: 2||x||2 + 2||y||2 = ||x + y||2 + ||x - y||2.

41 DEFNICJA PROSTYCH, REPREZENTACJA PROSTYCH
Wyznaczanie odległości punktu od linii stanowi podstawową operację w grafice komputerowej, geometrii obliczeniowej oraz wszystkich dziedzinach wykorzystujących reprezentacje graficzne obiektów, tym w dziedzinie GIS. Powszechnie stosowane są podstawowe wzory na obliczanie odległości między punktami a innymi obiektami, w tym między liniami,. Jednakże bardzo często, konkretne rozwiązania wymagają stosowania tych a nie innych wzorów, co uzależnione jest rodzaju posiadanych danych i definicji problemu. W dalszych rozważaniach, konieczne będzie określenie metryki, czyli zdefiniowanie odległości między dwoma dowolnymi punktami badanej przestrzeni, w naszym przypadku przestrzeni Euklidesowej. Najczęściej do tego celu wykorzystywana jest standardowa Euklidesowa norma L2. W ten sposób, dla n-wymiarowego wektora v=(v1,v2,...,vn), jego długość definiowana jest jako |v|: W przypadku dwu punktów P=(p1,p2,...,pn) i Q=(q1,q2,...,qn), odległość między tymi punktami wynosi:

42 REPREZENTACJE PROSTYCH
Punktowa. Podstawowym sposobem zdefiniowania konkretnej linii L jest podanie dwu różnych punktów P0 i P1 leżących na tej linii. Linię L można również zdefiniować jako punkt z określonym kierunkiem. Niech L będzie punktem na linii a vL będzie niezerowym wektorem podającym kierunek linii. RÓWNANIE PROSTEJ Proste definiowane mogą być ponadto z wykorzystaniem współrzędnych punktów na linii jako niewiadomymi. Najczęściej spotykanymi reprezentacjami tego typu są podane w poniżej tabeli. Rodzaj Równanie Zastosowanie Jawna 2D y = f(x) = mx + b Linie nie prostopadłe do osi Niejawna 2D f(x,y) = ax + by + c = 0 Dowolna linia 2D Parametryczna P(t) = P0 + t vL Dowolna linia w n- wymiarowej przestrzeni.

43

44

45

46

47 POSTAĆ PARAMETRYCZNA PROSTEJ
W celu obliczenia odległości d(P,L) (w dowolnej n-wymiarowej przestrzeni) od dowolnego zdefiniowanego punktu P do prostej L przedstawionej równaniem parametrycznym wykonywane zostają następujące operacje. Niech P(b) będzie punktem przecięcia prostopadłej z punktu P poprowadzonej do prostej L.  Parametryczne równanie prostej dane jest w postaci: P(t)=P0 + t (P1-P0).  W takim przypadku, wektor P0P(b) przedstawia rzut wektora P0P na odcinek P0P1, sytuacja przedstawiona na poniższym rysunku: Przy vL=(P1-P0) i w=(P-P0), otrzymujemy: w ten sposób: przy uL będącym kierunkowym wektorem jednostkowym wektora L. Zaletą metod jest możliwość zastosowania dla przestrzeni dowolnego wymiaru n.

48 OPERACJE UPRASZCZANIA – GENERALIZACJI DANYCH
Transformacja atrybutów - klasyfikacja Selekcja tematyczna – wybranie podzbioru atrybutów (klas) , które są istotne dla danego zastosowania (problemu) Agregacja tematyczna – zmiana rozdzielczości tematycznej – łączenie hierarchii klas Transformacja przestrzenna a) Poszczególne obiekty I) Upraszczanie – symplifikacja: A1) przesiewanie – linia zostaje reprezentowana poprzez podzbiór punktów linii wejściowej A2) swobodne upraszczanie – reprezentacja linii poprzez dowolne punkty, a nawet poprzez ich większą liczbę II) zapadanie – zmiana wymiarowości danych III) wzmocnienie Geometryczne ograniczenia A1) Powiększenie rozmiaru – stałe skalowanie we wszystkich kierunkach A2) Nieproporcjonalne powiększenie – odnosi się tylko do pewnych fragmentów – prowadzi do zmiany kształtu Ograniczenia znaczeniowe A3) Wygładzanie – lepszy wizualnie efekt A4) Fraktalizacja A5) Rektyfikacja – nadanie kształtu prostokątów / kwadratów

49 OPERACJE UPRASZCZANIA – GENERALIZACJI DANYCH
b) poszczególne obiekty lub zbiór obiektów IV) selekcja / eliminacja A6) selekcja – wybór najbardziej ważnych obiektów reprezentujących cechy – właściwości obiektów poddawanych operacji upraszczania A7) eliminacja – usuwanie obiektów, które nie są ważne V) przemieszczenie obiektów, które znajdują się zbyt blisko siebie VI) agregacja A1) dodanie atrybutów do jednego obiektu a1) amalgamacja – fuzja (agregacja dwu sąsiadujących obiektów tego samego typu), scalanie (dwa obiekty nie sąsiadujące z sobą) a2) połączenie zbioru obiektów do jednego obiektu o większym wymiarze A2) dołączenie atrybutów kilku obiektów Typowanie – transformacja zbioru obiektów na inny zbiór obiektów

50 UPRASZCZANIE OBIEKTÓW LINIOWYCH
W szeregu zastosowaniach, podczas przetwarzania danych, w tym danych geograficznych, poszczególne składowe obiektów, znajdują się w bezpośredniej bliskości. Podczas operacji odrysowywania takich obiektów, składowe tych obiektów redukują się do pojedynczych punktów. Względy wydajności i efektywności przetwarzania danych wymagają doprowadzania do sytuacji, w której zdegenerowane do punktu linie nie są odrysowywane. W tym celu konieczne jest zredukowanie liczby wierzchołków i krawędzi obiektów linii do jedynie tych istotnych i zapewniających odpowiednią rozdzielczość w ramach konkretnego zastosowania. Opracowano kilka algorytmów mających na celu aproksymowanie obiektu linii o dużej rozdzielczości (liczbie wierzchołków) mniejszą ich liczbą. Zastosowanie algorytmu redukcji liczby wierzchołków wpływa ponadto także na szybkość działania pozostałych algorytmów, takich jak na przykład wypełnianie powierzchni lub określanie przecięć, które mają zostać wykorzystane do obiektów linii i poligonów

51 ALGORYTM REDUKCJI LICZBY WIERZCHOŁKÓW I ALGORYTM DOUGLAS-PEUCKER
Pierwszym algorytmem, najprostszym i zarazem najczęściej wykorzystywanym do zmniejszania liczby punktów prostych jest szybki algorytm redukcji wierzołków o złożoności O(n). Algorytm jest najszybszym oraz zarazem najmniej skomplikowanym algorytmem z dostępnych algorytmów jednak z stosunkowo małą dokładnością wyników. Z tego względu algorytm redukcji wierzchołków zostaje połączony z bardziej dokładnymi algorytmami upraszczania, które za dane wejściowe pobierają zredukowane w ten sposób obiekty i dalej przetwarzają te dane w sposób wolniejszy, jednak zarazem bardziej dokładnie. Najbardziej znanym algorytmem upraszczania obiektów liniowych jest klasyczny algorytm Douglasa – Peuckera (DP) aproksymacji obiektów liniowych wykorzystywany szeroko w grafice komputerowej oraz systemach GIS. Istnieją dwa warianty algorytmu DP, oryginalna metoda O(n2) [Douglas & Peucker, 1973] oraz nowsza wersja O(n log n) one [Hershberger & Snoeyink, 1992]. Metoda druga, pomimo oferowania zysku czasowego, wiąże się ze skomplikowaną implementacją oraz ograniczeniem zastosowania jedynie do obiektów dwuwymiarowych.

52 ALGORYTM REDUKCJI LICZBY WIERZCHOŁKÓW
Rysunek: Procedura redukcji wierzchołków

53 ALGORYTM DOUGLAS-PEUCKER
Rysunek: Pojedynczy krok algorytmu DP

54 LOKALNE ALGORYTMY UPRASZCZANIA LINII

55 POJĘCIE APROKSYMACJI Aproksymacja jest to przybliżanie, zastępowanie jednych wielkości drugimi. Aproksymacja może dotyczyć dowolnych wielkości matematycznych – liczb, funkcji, krzywych, obszarów, wektorów, macierzy. Zastępowanie danej wielkości inną obarczone jest pewnym błędem. Oszacowanie wielkości błędu pozwala na ocenę, czy dane przybliżenie jest zadawalające, czy też nie. Niech poszukiwana jest krzywa dla zadanej liczby punktów: jest opisana równaniem: Aproksymacja stosowana jest wówczas, gdy ilość zadanych punktów m jest mniejsza od ilości nieznanych współczynników n krzywej F(x). Zwykle nie można przeprowadzić krzywej przez wszystkie punkty. Poszukiwana jest wówczas najbliższa krzywa w sensie minimum kwadratu błędu.

56 y ZAGADNIENIE INTERPOLACYJNE f(x2) f(xk) f(xn) f(x1) f(x0)
W przedziale [a,b] dane są węzły x0=a; x1, x2,..., xn=b takie że f(x0)=y0, f(x1)=y1, f(x2)=y2,..., f(xn)=yn Należy znaleźć funkcję interpolującą F która w węzłach przyjmuje takie same wartości jak f. y f(x2) f(xk) f(xn) f(x1) f(x0)

57 Cel interpolacji Znalezienie funkcji odpowiedniej klasy przechodzącej przez dany zestaw punktów (węzłów) w przestrzeni dwu- lub więcej wymiarowej. Rodzaje interpolacji: Interpolacja wielomianami Interpolacja funkcjami wymiernymi Interpolacja funkcjami trygonometrycznymi Interpolacja funkcjami sklejanymi Zastosowanie interpolacji: Szacowanie określonych wielkości w punktach pośrednich. Prowadzenie gładkich krzywych lub powierzchni przez punkty pomiarowe lub z symulacji (funkcje sklejane). Algorytmy numeryczne, np.: Znajdowanie miejsc zerowych funkcji Uzbieżnianie procesów iteracyjnych (np. SCF) Różniczkowanie i całkowanie numeryczne.

58 WZÓR INTERPOLACJNY LAGRANGE’A

59 WZÓR INTERPOLACJNY LAGRANGE’A

60 WZÓR INTERPOLACJNY LAGRANGE’A
Lk(x) jest wielomianem stopnia co najwyżej n Zatem

61 WZÓR INTERPOLACYJNY NEWTONA
ILORAZY RÓŻNICOWE

62 SCHEMAT OBLICZANIA ILORAZÓW RÓŻNICOWYCH

63 SCHEMAT OBLICZANIA ILORAZÓW RÓŻNICOWYCH

64 INTERPOLACJA WIELOMIANAMI HERMITE’A
Podobnie jak w przypadku wielomianów Lagrange’a mamy n+1 różnych wartości x0. x1,...,xn zmiennej niezależnej x oraz n+1wartości funkcji y0. y1,...,yn . Dodatkowo musimy znać wartości pochodnych w punktach interpolacji do rzędu m. Na tych punktach interpolacji budujemy wielomian Hermite’a, który jest wielomianem potęgowym stopnia (m+1)(n+1)-1 spełniającym warunki nr punktu przedziału dla którego wielomian przyjmuje wartość 1 rząd pochodnej

65 Hi(m+1)+ j (x) = Hij(x) p = i(m+1)+j Hp(x) = Hij(x) i= 0,1,...,m
INTERPOLACJA WIELOMIANAMI HERMITE’A W przypadku m = 0 wielomian Hermite’a jest wielomianem Lagrange’a Wprowadzamy następującą jednoindeksową numerację wielomianów Hermite’a. Hi(m+1)+ j (x) = Hij(x) p = i(m+1)+j Hp(x) = Hij(x) i= 0,1,...,m j = 0,1,...,n

66 INTERPOLACJA WIELOMIANAMI HERMITE’A
Niech apq oznacza współczynniki rozwinięcia p-tego wielomianu Hermite’a, to wielomian Hermite’a można zapisać w postaci Czyli mając dane wprowadzany oznaczenia

67 INTERPOLACJA WIELOMIANAMI HERMITE’A
Wielomian Hermite’a Najczęściej wielomiany Hermite’a stosujemy dla dwóch punktów x0, x1 przy znanych wartościach y0, y1 oraz znanych pierwszych pochodnych y’0, y’1 czyli n=1, m=1, (m+1)(n+1)-1=3 Wtedy wielomian Hermite’a przyjmie postać

68 Wielomian Hermite’a dla punktu x1

69 Wielomian Hermite’a dla pierwszej pochodnej w punkcie x0

70 Wielomian Hermite’a dla pierwszej pochodnej w punkcie x1

71 Łącząc te macierze w jedną macierz otrzymujemy grupę układów równań liniowych CA=I
Rozwiązując powyższą grupę układów równań liniowych otrzymujemy komplet współczynników w postaci macierzy A = C-1 , gdzie C jest kwadratową macierzą o wymiarach (n+1)(m+1) (n+1)(m+1) której wyrazy określone są zależnością

72 REPREZENTACJA KRZYWYCH W PRZESTRZENI

73 SNAKES POWSTANIE: Snakes do wygładzania linii zaproponowana przez Burghardt (2002) (podstawowy model snakes zaproponowany przez Kass et al. 1987) STAN OBECNY: Algorytm poprawny, poszukiwane modyfikacje.. - określenie parametrów kontrolnych zachowanie ograniczeń na mapie - Dodatkowe podejście TAFUS (Borkowski et al. 1999) - Mozliwość łączenia z modelami z przemieszczeniem

74 ZASADA DZIAŁANIA Snakes – funkcja minimalizująca energię
• stosowana w grafice do rozpoznawania obrazów • wygładza „sygnały“ (linie) jak krzywa sklajana • specyficznie, wygładzanie kontrolowane jest lokalnie • całka snakes zdefiniowana przez dwie wielkości internal energy : energię wewnętrzną opisującą sam kształt linii external energy : energia zewnętrzna opisująca zewnętrzne siły łaczna energia ma być minimalizowana rozwiazanie iteracyne

75 MODELE Tangent Angle FUnction Snakes
Standardowy SNAKES (oparty na reprezentacji o współrzędne x,y) Tangent Angle FUnction Snakes (oparty na reprezentacji kata stycznej s,j)

76 WYGŁADZANIE LINII Z WYKORZYSTANIEM ALGRYTMU SNAKES
a,b : parametry kontrolne (1 pierwszy) j : kąt stycznej kropki : różniczka cząstkowa względem długości łuku s

77

78 ENERGIA WENĘTRZNA I ZEWNĘTRZNA DLA ALGORYTMU SNAKES

79 WZORY POCHODNYCH ENERGII SNAKES

80 PODSTAWOWE WZORY DO OBLICZEŃ ENERGII DLA ALGORYTMU SNAKES

81 LITERATURA Snakes: a technique for line smoothing and displacement in map generalisation Stefan Steiniger (Zürich) & Siegfried Meier (Dresden) Definicje serwis: