Liniowe modele decyzyjne – rozwiązania i analiza post-optymalizacyjna

Prezentacja na temat: "Liniowe modele decyzyjne – rozwiązania i analiza post-optymalizacyjna"— Zapis prezentacji:

1 Liniowe modele decyzyjne – rozwiązania i analiza post-optymalizacyjna
Postać matematyczna zagadnień programowania liniowego I. Postać mieszana (1) Funkcja celu (2) Warunki ograniczające (3) Warunki nieujemności

2 II. Postać standardowa (1) zasadnicze warunki ograniczające są dane w postaci równań (2) elementy prawej strony ograniczeń są nieujemne (3) warunki nieujemności są pełne Postać standardowa – Zapis I

3 Przy rozwiązywaniu zadań programowania liniowego metodą simpleks, należy je zapisać w postaci standardowej Zasada 1: Jeżeli , to i-te ograniczenie należy pomnożyć przez -1 Zasada 2: Jeżeli zmienna ma być ujemna, to dokonujemy podstawienia: Zasada 3: Jeżeli zmienna nie ma ograniczenia na znak, to dokonujemy podstawienia

4 Zasada 4: Każda nierówność: jest równoważna układowi warunków: Zasada 5 Każda nierówność: jest równoważna układowi warunków: - zmienne swobodne lub uzupełniające

5 Twierdzenie 1: Zadanie programowania liniowego z funkcją celu: jest równoważne zadaniu programowania liniowego z funkcją celu: Spełniona jest przy tym zależność: Twierdzenie 2: Jeżeli w zadaniu programowania liniowego zastąpimy funkcję celu postaci: funkcją celu postaci: to rozwiązanie optymalne, o ile ono istnieje, dla obu zadań będzie identyczne

6 Postać standardowa – Zapis II
Postać standardowa – Zapis III gdzie:

7 Postać standardowa – Zapis IV
gdzie:

8 Zużycie surowca w tonach na tonę farby
Rozwiązywanie i analiza post-optymalizacyjna zadań programowania liniowego - studium przypadku Przykład: Pewna firma produkuje dwa rodzaje farb: dla prac wewnętrznych (I) i zewnętrznych (E). Wyprodukowane farby kierowane są do sprzedaży hurtowej. Do produkcji farb stosuje się dwa surowce A i B. Maksymalne dostępne dziennie ilości tych surowców wynoszą odpowiednio 6 i 8 t. Zużycie surowców A i B na jedną tonę odpowiedniej farby podaje tabela. Zużycie surowca w tonach na tonę farby Maksymalna dostępna dziennie ilość surowca Surowiec Farba E Farba I A 1 2 6 B 2 1 8 Badanie rynku pokazało, że dzienny popyt na farbę I nigdy nie przewyższa popytu na farbę E o więcej niż 1 tonę. Poza tym ustalono, że popyt na farbę I nigdy nie przekracza 2 ton na dobę. Ceny hurtowe jednej tony farb są równe: 3j.p. dla farby E, i 2j.p. dla farby I. Jakie ilości farby E i I powinna produkować firma, aby dochód z produkcji był maksymalny?

9 - dzienna produkcja farby E w tonach
Opcje decyzyjne: - dzienna produkcja farby E w tonach - dzienna produkcja farby I w tonach Funkcja celu: zmaksymalizować: Ograniczenia: Zasoby dzienne surowca A: 1 Zasoby dzienne surowca B: 2 Różnica popytu na farbę I i E: 3 Popyt na farbę I: 4 Warunki nieujemności: 5 6

10 Obszar rozwiązań dopuszczalnych i linia stałej wartości funkcji celu:
6 1 2 3 4 5

11 Znajdowanie rozwiązania optymalnego:
6 .

12 Ponadto (nietrudno policzyć):
Rozwiązanie optymalne punktem wierzchołkowym; punkt wierzchołkowy rozwiązaniem bazowym Punkt optymalny: 6 oraz: Ponadto (nietrudno policzyć):

13 Rozwiązanie optymalne dla sformułowania standardowego
- rozwiązanie bazowe

14 Pierwsze zadanie analizy wrażliwości
Wpływ zmiany ilości poszczególnych zasobów na aktualne rozwiązanie optymalne Formalna nazwa: analiza wrażliwości na zmiany prawej strony ograniczeń Ograniczenia: aktywne i nieaktywne Ograniczenie jest aktywne dla aktualnego rozwiązania optymalnego jeżeli  przechodzi przez punkt tego rozwiązania  spełnione jest równościowo w punkcie tego rozwiązania W przeciwnym przypadku ograniczenie jest nieaktywne

15 Składnik: deficytowe i niedeficytowe
Składnik jest deficytowy dla aktualnego rozwiązania optymalnego jeżeli odpowiadające mu ograniczenie jest aktywne W przeciwnym przypadku składnik jest niedeficytowy Dwa aspekty analizy wrażliwości na zmiany prawej strony ograniczeń  graniczne dopuszczalne zwiększenie zasobu składnika deficytowego pozwalające poprawić aktualne rozwiązanie optymalne (nie zmieniające aktualnego rozwiązania bazowego)  granicznie dopuszczalne zmniejszenie zasobu składnika niedeficytowego nie zmieniające aktualnego rozwiązania optymalnego

16 Zwiększanie zasobów deficytowych
1 2 3 4 5 6

17 Zmniejszanie zasobów niedeficytowych
4 3 1 5 2 6

18 Maksymalna zmiana zasobu składnika
Podsumowanie Składnik Rodzaj składnika Maksymalna zmiana zasobu składnika Wartość zmieniona – wartość aktualna Deficytowy 7 – 6 = 1 12 – 8 = 4 13 – = +1 3 1 2 3 4 Niedeficytowy Maksymalna zmiana dochodu 18 – = - 2 – 1 = -3 = = 0

19 Cenność dodatkowej jednostki zasobu składnika
Drugie zadanie analizy wrażliwości Zasoby którego ze składników deficytowych należałoby powiększać w pierwszej kolejności Charakterystyka cenności dodatkowej jednostki zasobu składnika deficytowego Cenność dodatkowej jednostki zasobu składnika Składnik Rodzaj składnika 1 Deficytowy 1 = 1 3 ÷ 1 = 1 3 2 Deficytowy 2 = ÷ 4 = 4 3 3 Niedeficytowy 3 = 0 4 Niedeficytowy 4 = 0

20 Trzecie zadanie analizy wrażliwości
Wpływ wartości współczynników f.c. na rozwiązanie optymalne Dwa aspekty analizy wrażliwości na zmiany współczynników funkcji celu  przedział zmian (zmniejszenia lub zwiększenia) danego współczynnika funkcji celu, dla którego nie dochodzi do zmiany rozwiązania optymalnego?  o ile należy zmienić dany współczynnik funkcji celu, aby uczynić określony składnik niedeficytowy deficytowym i na odwrót?

21 Pierwszy aspekt – c1 = var, c2 = const = 2; c1 = const = 3, c2 = var
4 1 3 5 2 6

22 Elementy algorytmu simpleksowego
Postać standardowa przykładu Początkowa tablica simpleksowa

23 Rozpoczęcie obliczeń

24 Elementy jednego kroku algorytmu simpleksowego
Wybór zmiennej wprowadzanej do bazy Wybór zmiennej usuwanej z bazy Przekształcenie centralne Gaussa – Jordana

25 Drugie rozwiązanie

26 Tablica optymalnego rozwiązania

27 Tablica optymalnego rozwiązania pozwala uzyskać informacje o:
 rozwiązaniu optymalnym  statusie zasobów poszczególnych składników  cenności zasobów każdego z składników  wrażliwości rozwiązania optymalnego na zmiany wielkości zasobów  wrażliwości rozwiązania optymalnego na zmiany współczynników funkcji celu

28 Podsumowanie rozwiązywania - Tablice kolejnych kroków

29 Podsumowanie rozwiązywania - Interpretacja geometryczna kolejnych kroków
1 2 3 4 5 6

30 Rozwiązanie optymalne

31 Zmienna uzupełniająca
Status zasobów poszczególnych składników Wartości zmiennych uzupełniających związanych z poszczególnymi składnikami Status zasobów składnika Zmienna uzupełniająca Składnik 1 Surowiec A Deficytowy 2 Surowiec B Deficytowy 3 Różnica popytu I-E Niedeficytowy 4 Popyt I Niedeficytowy

32 Rozwiązanie optymalne - status zasobów składników
4 3 1 5 2 6

33 Cenność zasobów poszczególnych składników
Wartości współczynników w wierszu funkcji celu tablicy obliczeniowej metody simpleksowej odpowiadające zmiennym uzupełniającym związanym z danym składnikiem A B I-E I

34 Warunki dodatniości rozwiązania:
Maksymalne zmiany zasobów poszczególnych składników Na przykładzie - maksymalna zmiana zasobu surowca A (składnik deficytowy) Zmienna uzupełniająca związana z danym składnikiem – surowiec A – zmienna uzupełniająca x3 Zmiana funkcji celu: Warunki dodatniości rozwiązania:

35 Przypadki: dowolne dowolne dowolne dowolne

36 Łącznie: 1 2 3 4 5 6

37 Warunki optymalności rozwiązania:
Maksymalne zmiany współczynników funkcji celu Przypadki: zmienna bazowa, zmienna niebazowa Na przykładzie - maksymalna zmiana współczynnika związanego ze zmienną x1 Warunki optymalności rozwiązania:

38 Przypadki: dowolne dowolne

39 Łącznie: 4 3 1 5 2 6