Model lingwistyczny – wnioskowanie Mamdani’ego

Prezentacja na temat: "Model lingwistyczny – wnioskowanie Mamdani’ego"— Zapis prezentacji:

1 Model lingwistyczny – wnioskowanie Mamdani’ego
Zakres stosowania: 1. reguły traktowane jako implikacje w sensie logicznym; wejścia punktowe „A pociąga za sobą B” 2. reguły traktowane jako implikacje inżynierskie; wejścia punktowe i rozmyte „A powiązane z B”

2 Szkic metody Mamdani’iego
Załóżmy, że wartość wejścia rozmytego x wynosi: dla którego wartość wyjścia rozmytego y jest określana ze złożeniowej reguły wnioskowania dla relacji R danej zbiorem reguł:

3 Ponieważ korzystamy z operatorów implikacji inżynierskich czyli z t-norm, więc agregacja reguł zbioru R może być uzyskana za pomocą operatora połączenia max gdzie I jest operatorem t-normy (implikacja inżynierska) zatem: stąd, w oparciu o złożeniową regułę wnioskowania

4 Po przekształceniach, otrzymuje się ostatecznie:
Oznaczmy Wielkość tę nazywa się stopniem spełnienia (degree of fulfillment) przesłanki i-tej teguły Zatem:

5 Wnioskowanie Mamdani’ego
1. Oblicz stopień spełnienia przesłanki każdej z reguł przez dane wejście: 2. Oblicz zbiory rozmyte wyjścia każdej z reguł dla danego wejścia : 3. Zagreguj zbiory rozmyte wyjścia uzyskując odpowiedź systemu:

6 Wnioskowanie Mamdani’ego – czysty system rozmyty -ilustracja

7 Przykład – ponownie, model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu dopływu gazu (system SISO) Mieliśmy: Zbiory rozmyte wejścia Zbiory rozmyte wyjścia Baza reguł: Zbiór rozmyty wejścia - Somewhat Low (raczej niskie)

8 Procedura wnioskowania Mamdani’ego
1. Obliczenie stopnia spełnienia przesłanek Wybieramy t-normę MIN dla obliczania stopnie spełnienia przesłanek

9 2. Obliczenie zbiorów rozmytych wyjścia:
Wybieramy t-normę MIN dla obliczania zbiorów rozmytych wyjścia każdej z reguł

10 Uzyskany uprzednio wynik – podejście formalne
3. Zagregowanie zbiorów rozmytych wyjścia: Max Approximately Low Uzyskany uprzednio wynik – podejście formalne

11 Przykład – ponownie, model lingwistyczny poziomu cieczy w zbiorniku
Mieliśmy: Zbiory rozmyte wejścia Zbiory rozmyte wyjścia Baza reguł:

12 Niech zbiór rozmyty wejścia - singleton
R1: stopień spełnienia przesłanki większy od zera R2: stopień spełnienia przesłanki większy od zera R3: stopień spełnienia przesłanki równy zeru

13 Agregacja zbioru rozmytego wyjścia
Jakiego poziomu cieczy można się spodziewać? Wynik wnioskowania rozmytego B’ jest zbiorem rozmytym ! Jeżeli występuje wymaganie, aby wyjście systemu rozmytego był ostrą liczbą, wyjściowy zbiór rozmyty musi być poddany wyostrzaniu - defuzyfikacji

14 Wyostrzanie - defuzyfikacja
Defuzyfikacja zbioru rozmytego B’(y) (całościowej wynikowej funkcji przynależności zbioru reguł i faktu) to operacja określenia „ostrej” wartości y’ reprezentującej ten zbiór (w sposób jak najbardziej sensowny) Najbardziej znane metody defuzyfikacji:  metoda środka maksimum (SM) – Middle of Max (MOM), Mean of Maxima (MOM)  metoda pierwszego maksimum (PM) – Smallest of Max (SOM),  metoda ostatniego maksimum (OM) – Largest of Max (LOM)  metoda środka ciężkości (SC) - Centroid of Area (COA), Center of Gravity (COG)  metoda środka sum (SS) - Bisector of Area (BOA)

15 Wyostrzanie - defuzyfikacja

16 Metoda środka ciężkości (SC) - Centroid of Area (COA), Center of Gravity (COG)
Metoda środka ciężkości (SC) za ostrego reprezentanta y’ wynikowego zbioru rozmytego konkluzji B’ zdefiniowanego funkcją przynależności przyjmuje współrzędną y środka ciężkości powierzchni pod krzywą określoną tą funkcją

17 Metoda środka maksimum (SM) - Middle of Max (MOM)
Metoda środka maksimum (SM) za ostrego reprezentanta y’ wynikowego zbioru rozmytego konkluzji B’ zdefiniowanego funkcją przynależności przyjmuje współrzędną y będącą wartością średnią wyjść dla których wynikowa funkcja przynależności osiąga maksimum

18 Metoda środka sum (SS) - Bisector of Area (BOA)
Metoda środka sum (SS) za ostrego reprezentanta y’ wynikowego zbioru rozmytego konkluzji B’ zdefiniowanego funkcją przynależności przyjmuje współrzędną y spełniającą zależność gdzie:

19 Metoda środka ciężkości (COA, COG) stosowana jest we wnioskowaniu Mamdani’ego (podejście uproszczone) Metoda środka maksimum (MOM) stosowana jest we wnioskowaniu opartym na podejściu formalnym

20 Przykład – ponownie, model lingwistyczny spalania gazu przy stałym natężeniu dopływu gazu (system SISO) Approximately Low

21 Podsumowanie: Rozważane dotychczas modele miały struktury obejmujące przypadki: - jedna przesłanka – jedna reguła - jedna przesłanka – wiele reguł Skupienie uwagi na:  W schemacie wnioskowania Mamdani’ego jako operator implikacji najczęściej stosowany jest operator MIN (zaproponowany oryginalnie przez Mamdani’ego) oraz operator PROD  Zbiór rozmyty wejścia A’ jest najczęściej singletonem z jądrem x0

22 Dla singletonu przyjmuje się:
i wówczas: Ilustracja graficzna : Implikacja Mamdaniego (min) Implikacja Larsena (prod)

23 Przypadki dotychczas rozważone:
I. Jedna reguła – jedna przesłanka Fakt: x = A’ R: Reguła JEŚLI x = A TO y = B Wniosek y = B’ Wynik ogólny:

24 Reprezentacja reguły – t-norma
Przecięcie zbiorów – t - norma w Stopień spełnienia przesłanki implikacji przez fakt

25 Implikacja Mamdaniego lub Larsena oraz wejście - singleton
Dla: Implikacja Mamdaniego (MIN), złożenie MIN: Implikacja Larsena (PROD), złożenie PROD:

26 Ilustracja graficzna :
Implikacja Mamdaniego (MIN), złożenie MIN: Implikacja Larsena (PROD), złożenie (PROD):

27 II. Dwie (wiele) reguły – jedna przesłanka
Fakt: x = A’ R1: Reguła JEŚLI x = A1 TO y = B1 R2: Reguła JEŚLI x = A2 TO y = B2 Wniosek y = B’ Wynik ogólny: Niech Ponieważ operacja złożenia (implikacja) jest rozdzielna względem operacji połączenia (agregacja reguł) dowolna s-norma (t-konorma)

28 Ilustracja graficzna :
implikacja Mamdaniego (MIN), złożenie MIN, agregacja MAX:

29 implikacja Larsena (PROD), złożenie (PROD),
agregacja MAX:

30 Model lingwistyczny i proces wnioskowania z wykorzystaniem tego modelu przedstawiony został w ogólny sposób obejmujący przypadki SISO i MIMO Jednak Rozważane modele miały struktury obejmujące przypadki: - jedna przesłanka – jedna reguła - jedna przesłanka – wiele reguł Oznacza to, że w przypadku MIMO wszystkie zbiory rozmyte modelu rozważane były w jednej przestrzeni wektorowej z wielowymiarowymi funkcjami przynależności A wcześniej mówiliśmy, że Zwykle stwierdzenia przesłanek i stwierdzenia konkluzji formułowane są jako logiczne zdania w przestrzeni jedno wymiarowej z funkcjami przynależności jednej zmiennej

31 System rozmyty modeluje zależność wejście – wyjście
Dla systemów MIMO: Potrzeba uogólnienia zaprezentowanych wyników na przypadek, kiedy funkcje przynależności występujące w stwierdzeniach są definiowane w przestrzeniach jednowymiarowych Ale na zakończenie Różne A’  Różne B” System rozmyty modeluje zależność wejście – wyjście Aproksymator

32 System Mamdaniego – aproksymator
Przykład 1 Jeżeli X jest MAŁY TO Y jest MAŁY Jeżeli X jest ŚREDNI TO Y jest ŚREDNI Jeżeli X jest DUŻY TO Y jest DUŻY Realizacja: max – min, środek ciężkości