Pobierz prezentację
1
Przekształcenie Hilberta
David Hilbert Przestrzeń euklidesowa i przestrzeń Hilberta Definicja przekształcenia Hilberta Przekształcenie Hilberta w dziedzinie częstotliwości Przekształcenie Hilberta w dziedzinie czasu Transformaty Hilberta "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
2
Przekształcenie Hilberta
Sygnał analityczny Obwiednia, kąt fazowy i częstotliwość sygnału Wykres wskazowy sygnału Sygnał wąskopasmowy Filtracja sygnału modulacji amplitudy Sygnały przyczynowe Podsumowanie "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
3
David HILBERT ( †1943) Matematyk niemiecki, profesor uniwersytetu w Getyndze. Autor prac z teorii liczb, równań różniczkowych i całkowych, rachunku wariacyjnego, logiki matematycznej, topologii oraz analizy funkcjonalnej (przestrzeń Hilberta). Na Międzynarodowym Kongresie Matematyków w Paryżu (1900) przedstawił sławne do dzisiaj 23 problemy, które w nadchodzącym wieku powinny zostać rozwiązane (obecnie 17 problemów jest rozwiązanych, 3 nadal są otwarte, 3 zostały uznane za nieciekawe). Hilbert głęboko wierzył, że w matematyce nie ma miejsca dla ignoramus et ignorabimus (nie wiemy i nie będziemy wiedzieć), a więc nie istnieje możliwość, że coś na zawsze pozostanie nieznane. Wiarę Hilberta zniszczył Kurt Gödel, który udowodnił, że dla każdej teorii aksjomatycznej można zbudować takie zdanie, którego prawdziwości lub prawdziwości jego negacji nie można udowodnić. Hipoteza o nierozstrzygalności jest uznawana za jeden z najgłębszych wyników w historii myśli ludzkiej. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
4
David HILBERT Uniwersytet w Getyndze, na którym w połowie XIX wieku nauczał "książę matematyków" Carl F. Gauss, miał szczęście do wielkich uczonych. W 1886 roku katedrę matematyki objął tam Felix Klein oraz zapoczątkował odbywające się co tydzień seminaria, w czasie których dyskutowano o najnowszych wynikach. Hilbert był "czystym" matematykiem i pogardzał "technikami", którzy dążyli do praktycznego wykorzystania odkryć matematycznych. Felix Klein natomiast zawsze interesował się zastosowaniami matematyki w technice. Raz na rok Klein spotykał się z inżynierami i przemysłowcami. Pewnego razu zdarzyło się, że w ostatniej chwili przed spotkaniem Klein zachorował i rozpaczliwie szukał zastępstwa. Hilbert zgodził się zastąpić Kleina, który solennie mu przykazał wypowiedzenie przychylnej opinii na temat związków matematyki z techniką. Przemówienie Hilberta było dość lakoniczne: Szanowni panowie - matematyka i technika..., matematyka i technika..., matematyka i technika są w najlepszej zgodzie teraz i pozostaną także w przyszłości, ponieważ - proszę panów - nie mają one niczego z sobą wspólnego. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
5
Felix Klein (1862 - †1943) Butelka Kleina
Butelka Kleina jest przykładem powierzchni bez orientacji, gdyż nie można wskazać co jest jej wnętrzem, a co zewnętrzem. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
6
Przestrzeń euklidesowa i Hilberta
Odległość pomiędzy punktami w przestrzeni euklidesowej: Odległość pomiędzy punktami w przestrzeni euklidesowej można wyznaczyć korzystając z pojęcia iloczynu skalarnego: "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
7
Właściwości iloczynu skalarnego
Przemienność Rozdzielność - dodawania Definicja iloczynu skalarnego dla funkcji wg. Hilberta Skalowanie Zerowanie "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
8
Przestrzeń euklidesowa i Hilberta
Przestrzeń Hilberta - przestrzeń w której odległość mierzymy za pomocą iloczynu skalarnego. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
9
Zagadnienie najlepszej aproksymacji funkcji w przestrzeni Hilberta
Szereg Fouriera "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
10
Definicja przekształcenia Hilberta
sygnał w kwadraturze Filtr Hilberta "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
11
Definicja przekształcenia Hilberta
1 "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
12
Przekształcenie Hilberta w dziedzinie częstotliwości
"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
13
Przekształcenie Hilberta w dziedzinie czasu
"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
14
Przekształcenie Hilberta w dziedzinie czasu
"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
15
Transformaty Hilberta
Sygnał x(t) jest sygnałem dolnopasmowym o szerokości widma g < 0. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
16
Transformaty Hilberta
-3 -2 -1 1 2 3 -1.5 -0.5 0.5 1.5 2t/T "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
17
Transformaty Hilberta
Sa(Wt) H{Sa(Wt)} "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
18
Sygnał analityczny "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
19
Sygnał analityczny "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
20
Obwiednia sygnału Obwiednia jest krzywą styczną do krzywych należących do rodziny krzywych. rodzina parabol obwiednia "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
21
Obwiednia sygnału Sygnał modulacji amplitudy: (t) = e(t)cos2f0t
Obwiednia sygnału jest krzywą ograniczającą inną krzywą lub rodzinę krzywych. f0/fm = 10 Sygnał modulacji amplitudy: (t) = e(t)cos2f0t obwiednia e(t) "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
22
Obwiednia sygnału Sygnał modulacji amplitudy: (t) = e(t)cos2f0t
f0/fm = 100 obwiednia e(t) "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
23
Obwiednia sygnału Sygnał modulacji amplitudy: (t) = e(t)cos2f0t
f0/fm = 1000 obwiednia e(t) "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
24
Obwiednia sygnału Definicja obwiedni e(t):
"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
25
Obwiednia sygnału (zdudnianie częstotliwości)
"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
26
Obwiednia sygnału fonii stereo
"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
27
Pewna właściwość obwiedni
Sygnał: jest sygnałem analitycznym, a więc: "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
28
Obwiednia generatorem sygnału
Wartości sygnału mogą być wyznaczone poprzez wartości obwiedni sygnału (obwiednia generuje sygnał). "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
29
Obwiednia generatorem sygnału
Detektor obwiedni "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
30
Obwiednia generatorem sygnału
Detektor obwiedni "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
31
Kąt fazowy sygnału Definicja kąta fazowego (t):
"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
32
Częstotliwość chwilowa sygnału
Definicja częstotliwości chwilowej (t): "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
33
Częstotliwość chwilowa sygnału
"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
34
Częstotliwość chwilowa vs. częstotliwość fourierowska
"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
35
Częstotliwość chwilowa vs. częstotliwość fourierowska
"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
36
Częstotliwość chwilowa vs. częstotliwość fourierowska
Częstotliwość fourierowska pokrywa się z częstotliwością chwilową tylko wtedy, gdy szybkość zmian tej ostatniej jest niewielka (przez pewien okres czasu jesteśmy w stanie obserwować drganie harmoniczne). T "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
37
Częstotliwość chwilowa vs. częstotliwość fourierowska
"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
38
Wykres wskazowy sygnału
0 A0 "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
39
Wykres wskazowy sygnału
0 e(t) "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
40
Wykres wskazowy sygnału
e(t) (t) x+(t) "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
41
Sygnał wąskopasmowy W "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
42
Sygnał wąskopasmowy Stereofonia FM: B = 200 kHz, f0 100 MHz, B/f0 = 0,002 CATV: B = 8 MHz, f0 500 MHz, B/f0 = 0,016 SAT TV: B = 40 MHz, f0 4 GHz, B/f0 = 0,01 Transmisja światłowodowa: III okno 1550 nm, szerokość okna 30 nm, B/f0 = 0,02 "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
43
Sygnał wąskopasmowy "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
44
Sygnał wąskopasmowy Składowa synfazowa (I) oraz kwadraturowa (Q)
I - inphase Q - quadrature "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
45
Sygnał wąskopasmowy Widma składowej synfazowej xI(t) oraz kwadraturowej xQ(t) są dolnopasmowe. Widma składowej kwadraturowej xQ(t) znika, gdy widmo sygnału X() jest osiowosymetryczne względem prostej = 0. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
46
Sygnał wąskopasmowy "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
47
Dolnopasmowa reprezentacja sygnału wąskopasmowego
"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
48
Wykres wskazowy sygnału wąskopasmowego
xQ(t) xI(t) x(t) t = const "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
49
Wykres wskazowy gaussowskiego szumu wąskopasmowego
n = 10 n = 100 1 2 n = 1000 "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
50
Realizacja gaussowskiego szumu wąskopasmowego
"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
51
Filtracja sygnału modulacji amplitudy
? "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
52
Filtracja sygnału modulacji amplitudy
"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
53
Zamiana kolejności modulacji i filtracji
+ – "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
54
Opóźnienie grupowe i fazowe
"Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
55
Opóźnienie grupowe i fazowe
tg - opóźnienie grupowe - opóźnienie obwiedni tf - opóźnienie fazowe - opóźnienie sygnału nośnego "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
56
Opóźnienie grupowe i fazowe
tg - opóźnienie grupowe - opóźnienie obwiedni tf - opóźnienie fazowe - opóźnienie sygnału nośnego "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
57
Sygnały przyczynowe Sygnał x(t) nazywamy przyczynowym (bez przeszłości), jeżeli x(t) = 0 dla t < 0. x(t) t sygnał nieprzyczynowy sygnał przyczynowy "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
58
Sygnały przyczynowe Filtr h(t) H() nazywamy przyczynowym
jeżeli y(t) = 0 dla t < 0, gdy tylko x(t) = 0 dla t < 0 (skutek nie wyprzedza przyczyny). y(t) x(t) t "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
59
Filtry przyczynowe Filtr h(t) jest przyczynowy, jeżeli y(t) = 0 dla t < 0, gdy tylko x(t) = 0 dla t < 0. t Filtr h(t) jest przyczynowy, jeżeli h(t) = 0 dla t < 0. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
60
Filtr nieprzyczynowy t = 0 "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
61
Filtr przyczynowy R C t = 0 "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
62
Warunki budowy filtrów przyczynowych
Sygnał analityczny ma widmo prawostronne, gdyż część urojona sygnału jest transformatą Hilberta części rzeczywistej sygnału. Właściwości przekształcenia Fouriera (a więc i Hilberta) są dualne. Sygnał ma przebieg prawostronny (jest przyczynowy), gdy część urojona transformaty Fouriera sygnału jest transformatą Hilberta części rzeczywistej widma sygnału. Transmitancja filtru jest funkcją analityczną. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
63
Kryterium Paley’a - Wienera
Jeżeli cha-ka a-cz filtru spełnia warunek to dla przyczynowości filtru potrzeba i wystarcza, aby spełniony był warunek: znany jako kryterium Paley’a-Wienera. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
64
Kryterium Paley’a - Wienera
Kryterium Paley’a - Wienera pozwala stwierdzić, że nie można zrealizować: 1. idealnego tłumienia i/lub 2. idealnie opadającego zbocza. Maksymalna szybkość opadania zbocza filtru "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
65
Filtry minimalno-fazowe
Kryterium P-W nie podaje zasad doboru cha-ki f-cz (), a mówi jedynie, że charakterystykę tę można dobrać tak, aby implementacja filtru A()exp[j ()] była możliwa. Transmitancja filtru przyczynowego jest analityczna, zatem analityczna jest funkcja lnH() = lnA() + j (). Warunek ten pozwala dobrać cha-kę f-cz () (filtr minimalno-fazowy): "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
66
Podsumowanie Przekształcenie Hilberta nie zmienia ch-aki a-cz sygnału, natomiast wszystkie częstotliwości są przesuwane w fazie o -/2. Przekształcenie Hilberta pozwala zdefiniować sygnał analityczny zawierający wyłącznie częstotliwości dodatnie. Sygnał analityczny pozwala określić obwiednię oraz kąt fazowy sygnału (częstotliwość chwilową). Wykresy wskazowe stanowią ilustrację graficzną sygnału analitycznego na płaszczyźnie zespolonej. Sygnał analityczny pozwala na przedstawienie sygnałów wąskopasmowych za pomocą sygnałów dolnopasmowych. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
67
Podsumowanie Zamiana kolejności modulacji oraz filtracji jest możliwa, gdy filtr pasmowoprzepustowy zastąpimy jego odpowied- nikiem dolnopasmowym. Filtracja sygnału modulacji amplitudy wiąże się z wprowadzeniem opóźnienia obwiedni (opóźnienie grupowe) oraz opóźnienia sygnału nośnego (opóźnienie fazowe). Implementacja układowa filtru jest możliwa, gdy jego odpowiedź impulsowa jest przyczynowa, a o tym decydują związki Hilberta pomiędzy cz. rzeczywistą a cz. urojoną transmitancji filtru; alternatywą jest kryterium Paley’a - Wienera. "Teoria sygnałów" Zdzisław Papir
Podobne prezentacje
© 2024 SlidePlayer.pl Inc.
All rights reserved.