Pobierz prezentację
Pobieranie prezentacji. Proszę czekać
OpublikowałDobrogost Węgier Został zmieniony 11 lat temu
1
WYKŁAD 1. Grafy są wokół nas. Pojęcia wstępne.
2
Przykład 1. ZOO Budujemy domowe zoo mając do dyspozycji kozę, lwa, wilka, słonia, jastrzębia, zająca i mysz. Cel: jak najmniej klatek, zapewniając bezpieczeństwo wszystkich zwierząt.
3
k l m w z s j
4
k z m l s w j
5
Przykład 2. Podział na pary
Dzielimy grupę 10 osób na pary. Każdy chce być w parze ze swoim znajomym.
6
A F E J B G H I C D Graf Petersena
7
A F E J B G H I C D Graf Petersena
8
A B
9
A B
10
Przykład 3. Muzeum Zwiedzamy muzeum będące labiryntem korytarzy, w którym obrazy wiszą po obu stronach. Cel: przejść każdy korytarz 2 razy i wrócić do wyjścia.
11
PLAN MUZEUM a b c d e a b c e d
12
Przykład 4. Trzy domki i trzy studnie
Mieszkańcy trzech domków chcą korzystać z trzech studni, ale tak by nigdy nie musieli spotkać się w drodze do nich. Czy jest to możliwe?
13
D2 D1 D3 ? ? S1 S2 S3
14
Pojęcie grafu Graf to para zbiorów G=(V,E), gdzie
V to skończony zbiór (wierzchołków) E to zbiór 2-elementowych podzbiorów zbioru V (krawędzi). Inaczej, graf to relacja symetryczna i antyzwrotna. Jeszcze inaczej: symetryczna 0-1 macierz kwadratowa z zerami na przekątnej.
15
Grafy puste i pełne. Dopełnienia grafów.
Graf pełny Dopełnienie grafu G: Graf pusty
16
Te same czy takie same? a d c b G3 a b c d G1 a b c d G2 a b c d G4 a
17
Izomorfizm grafów G1=G5, G2=G3, wszystkie grafy mają tę
samą strukturę – są izomorficzne. Na przykład G1 jest izomorficzny z G2, bo f(a)=a, f(c)=c, f(b)=d, f(d)=b.
18
Automorfizmy Automorfizm to izomorfizm grafu w siebie.
Na przykład f(a)=a, f(d)=d, f(c)=b, f(b)=c to 1 z 8 automorfizmów grafu G1. a b c d G1
19
Samodopełnianie G nazywamy samodopełniającym, gdy jest izomorficzny ze swoim dopełnieniem. Na przykład
20
Stopnie wierzchołków Stopniem wierzchołka v nazywamy liczbę dG(v)=d(v) krawędzi grafu zawierających (incydentnych z) v. Zachodzi wzór gdzie e(G)=|E|.
21
Graf jest k-regularny, gdy wszystkie wierzchołki mają stopień k.
Ciąg stopni grafu Ciąg stopni grafu Uwaga: Nie każdy ciąg liczb naturalnych jest ciągiem stopni grafu, np. 4,4,3,2,1 lub 3,3,3,2,2. Δ(G)= Δ to największy stopień wierzchołka w grafie, δ(G)=δ to najmniejszy stopień. Graf jest k-regularny, gdy wszystkie wierzchołki mają stopień k.
22
Podgrafy Indukowane Rozpięte Ani takie, ani takie
23
Podgrafy indukowane Podgraf grafu G=(V,E) indukowany przez podzbiór wierzchołków W to graf G[W]=(W,E’), gdzie E’ składa się ze wszystkich krawędzi grafu G o obu końcach w W.
24
Podgraf indukowany - ilustracja
W={a,b,c}, G[W] – kolor czerwony a b c
25
Podgrafy rozpięte Rozpięty podgraf grafu G to graf G’=(V,E’), gdzie E’ jest podzbiorem E.
26
Podgrafy Podgrafem grafu G=(V,E) nazywamy graf G’=(V’,E’), gdzie V’ jest podzbiorem V, a E’ jest podzbiorem E.
27
Spójność Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne i niepuste podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B (graf jest w 1 „kawałku”). Inaczej
28
Grafy niespójne A B B1 B2
29
Wierzchołek cięcia G-v=G[V-v]
Wierzchołek v grafu spójnego G nazywamy wierzchołkiem cięcia, gdy G-v nie jest spójny. Inaczej, istnieje podział V na A i B, |A|, |B|>1 :
30
Cykle Cykl to 2-regularny graf spójny.
Inaczej: cykl to graf, którego wierzchołki można ponumerować v_1,...,v_n, tak, że pary {v_1, v_2}, {v_2,v_3},...,{v_(n-1),v_n}, {v_n, v_1} są jego jedynymi krawędziami. Notacja C_n, dla n=3,4,...
31
Cykle : ilustracja C_3=K_3 C_4 C_5
32
Ścieżki Ścieżka to graf spójny o 2 wierzchołkach stopnia 1, a pozostałych o stopniu 2. Inaczej: ścieżka to graf, którego wierzchołki można ponumerować v_1,...,v_n, tak, że pary {v_1, v_2}, {v_2,v_3},...,{v_(n-1),v_n}, są jego jedynymi krawędziami. Notacja P_n, dla n=1,2,...
Podobne prezentacje
© 2024 SlidePlayer.pl Inc.
All rights reserved.