Metody numeryczne wykład no 7.

Prezentacja na temat: "Metody numeryczne wykład no 7."— Zapis prezentacji:

1 Metody numeryczne wykład no 7

2 Metody całkowania numerycznego
Obliczana jest całka: Wzory Newtona - Cotesa na węzłach równoodległych Interpolujemy funkcję f(x) za pomocą wzoru Lagrange’a: gdzie

3 Dzieląc odcinek [a,b] na N jednakowych części h:
x a=x0 xk=a+kh b=xN Biorąc pod uwagę, że xk=a+kh mamy: przyjmując: gdzie t[0,N] mamy:

4 Podstawiając zamiast f(x) wielomian interpolacyjny do
otrzymujemy:

5 Błąd eN z jakim obliczana jest całka podaje oszacowanie:
Metoda trapezów t f(b) f(a) t-1 a; 0 x; t b; 1

6 błąd e1 wynosi: Metoda Simpsona y 1 1 f2 0 f0 f1 2 x a=x0 b=x2

7 Całka obliczana metodą Simpsona jest:

8 Błąd obliczania całki metodą Simpsona jest:
Wielomian 3-go stopnia jest całkowany dokładnie! Kwadratury złożone Newtona-Cotesa. y Metoda trapezów x a b

9 Całkę przy podziale odcinka [a,b] na N części liczymy ze wzoru: Obliczenia prowadzimy w schemacie z połowieniem kroku co pozwala wykorzystać poprzednie obliczenia fk: 1 2 3 4 a b

10 Błąd e1N złożonego wzoru trapezów przy podziale przedziału
całkowania [a,b] na N części jest: Przykład: N 1 2 4 8 Ip 0.5 I eps 36 13 4.64 1.65

11 Metoda Simpsona liczba punktów podziału jest N=2M
i całka IN określona jest wzorem: 2 22 23 Ocena błędu:

12 Przykład: N 2 4 8 Ip I eps 5.3 1.85 0.65 Formalna ocena błędu jeszcze gorsza ze względu na czwartą pochodną.

13 Ogólna metoda przyśpieszania zbieżności
Metoda Romberga Ogólna metoda przyśpieszania zbieżności Ogólnie wzór kwadratur dla całki ma postać: . Załóżmy, że resztę można przedstawić w postaci: gdzie

14 Niech n=sp wtedy : Mnożąc przez i przyjmując p=n po odjęciu stronami otrzymuje się:

15 gdzie Definiując: widzimy, że przybliżona wartość całki jest obliczona z dokładnością większą bo wynoszącą Ogólnie po k+1 krokach mamy:

16 Dla wzoru trapezów zachodzi oszacowanie:
Zakładając s=2 otrzymuje się: Organizację obliczeń można zapisać w formie tablicy:

17 gdzie elementy macierzy obliczane zgodnie z podanym
powyżej algorytmem. Uwaga - przy obliczaniu korzystamy z

18 Przykład Q1=0.5 Q2= Q11= Q4= Q12= Q21=

19 Q8= = = = Ocena błędu: eps=0.55% trapezy: 1.65% Simpson: 0.65%

20 Przykład z ograniczoną pochodną:
Wstępny krok Wartość dokładna Q= 1 - 2 4 8 16 32

21 Błąd względny wynosi: 0.1E-5%.