Modelowanie konstrukcji z uwzględnieniem niepewności parametrów

Prezentacja na temat: "Modelowanie konstrukcji z uwzględnieniem niepewności parametrów"— Zapis prezentacji:

1 Modelowanie konstrukcji z uwzględnieniem niepewności parametrów
Andrzej Pownuk Zakład Mechaniki Teoretycznej Politechnika Śląska

2 Przykład

3 L=1 [m], P1=1012 [N], P2=500 [N], P1=P1·0.025=25.3 [N], P1+= P1+ P1 = [N] P1- = P1 - P1 = [N] MA (P1, P2)=-12 [N · m] MA (P1+, P2)=-37.3 MA (P1 -, P2)= 13.3

4 Względny błąd obliczeń

5 Celem niniejszej pracy jest przedstawienie nowych metod projektowania
konstrukcji z niepewnymi parametrami. W szczególności: - konstrukcji z przedziałowymi parametrami, - konstrukcji z losowymi parametrami, - konstrukcji z rozmytymi parametrami, - konstrukcji o parametrach modelowanych przy wykorzystaniu teorii zbiorów losowych.

6 Szacowanie bezpieczeństwa w metodzie stanów granicznych
O bezpieczeństwie decyduje najsłabszy element konstrukcji. (tzn. ekstremalne wartości nośności (N) i obciążenia (P) ) Warunek stanu granicznego (nośności lub użytkowalności) można zapisać w następującej postaci:

7 Warunek stanu granicznego można również zapisać następująco.
lub bardziej ogólnie Niepewności parametrów uwzględniane są przy wykorzystaniu współczynników bezpieczeństwa . Wartość charakterystyczna Wartość obliczeniowa Wartość ekstremalna

8 Obecnie wykorzystywane algorytmy półprobabilistyczne
są szczególnym przypadkiem metod wykorzystujących parametry przedziałowe.

9 X W przypadku gdy dysponujemy dużą liczbą pomiarów,
do modelowania niepewności najlepiej wykorzystać metody probabilistyczne. Pomiary (realizacje zmiennej losowej) X Funkcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa

10 Czasem nie można wykonać dokładnych pomiarów.
(konstrukcje zabytkowe, biomechanika, mechanika gruntów, konstrukcje murowe) W takim przypadku możemy otrzymać jedynie oszacowanie przedziałowe dokładnych wartości parametrów układów mechanicznych. Rodzinę pomiarów przedziałowych można interpretować jako zbiór losowy.

11 Zbiór losowy może być interpretowany jako realizacje
zmiennej losowej o wartościach zbiorowych (przedziałowych).

12 Interpretacja funkcji przynależności zbioru rozmytego oparta na teorii zbiorów losowych
1 0.5 P

13 Rodzina pomiarów przedziałowych (zbiorowych)
Zbiory losowe Rodzina pomiarów przedziałowych (zbiorowych) lub punktowych. Parametry rozmyte Parametry przedziałowe Jeden przedziałowy pomiar. Parametry losowe Monotoniczna rodzina pomiarów przedziałowych. Rodzina pomiarów punktowych.

14 Górne i dolne prawdopodobieństwo

15

16 Funkcja graniczna P x u(x) lub

17 Górne i dolne prawdopodobieństwo zniszczenia konstrukcji
W praktycznych obliczeniach można wykorzystać metodę Monte-Carlo.

18 Funkcja gęstości rozkładu zmiennej losowej o wartościach przedziałowych.

19 W praktycznych obliczeniach kluczową rolę odgrywa problem rozwiązania
układu równań z przedziałowymi parametrami. Jeśli , to

20 Algorytm rozwiązywania równań z przedziałowymi parametrami

21 Własności algorytmu: 1) W wielu zagadnieniach inżynierskich zależność rozwiązania od niepewnych parametrów jest monotoniczna, dlatego algorytm może zostać zastosowany do rozwiązywania szerokiej klasy problemów. 2) Algorytm charakteryzuje się niską złożonością obliczeniową i może zostać zastosowany do bardzo złożonych zagadnień mechaniki konstrukcji. 3) W algorytmie można wykorzystać istniejące metody analizy wrażliwości. 4) Algorytm może zostać wykorzystany do rozwiązywania zagadnień nieliniowych oraz zagadnień dynamiki.

22 E_P IEX_P 1 210E9 21E9 1 IA_P E_P IEX_P 2 210E9 21E9 3 IA_P E_P IEX_P 3 210E9 21E9 4 IA_P E_P IEX_P 4 210E9 21E9 5 IA_P E_P IEX_P 5 210E9 21E9 6 IA_P E_P IEX_P 6 210E9 21E9 6 IA_P E_P IEX_P 7 210E9 21E9 4 IA_P E_P IEX_P 8 210E9 21E9 5 IA_P E_P IEX_P 9 210E9 21E9 6 IA_P E_P IEX_P E9 21E9 4 IA_P E_P IEX_P E9 21E9 5 IA_P E_P IEX_P E9 21E9 6 IA_P E_P IEX_P E9 21E9 4 IA_P E_P IEX_P E9 21E9 5 IA_P E_P IEX_P E9 21E9 6 IA_P E_P IEX_P E9 21E9 6 IA_P F 6 FX 1 F 8 FX 1

23 1 [ , ] kN 2 [ , ] kN 3 [ , ] kN 4 [ , ] kN 5 [ , ] kN 6 [ , ] kN 7 [ , ] kN 8 [ , ] kN 9 [ , ] kN 10 [ , ] kN 11 [ , ] kN 12 [ , ] kN 13 [ , ] kN 14 [ , ] kN 15 [ , ] kN 16 [ , ] kN Siły osiowe

24 Wnioski 1) Zaprezentowane w pracy algorytmy umożliwiają
projektowanie układów o parametrach, które są opisane przy pomocy: - współczynników bezpieczeństwa; - zmiennych losowych; - zbiorów rozmytych; - zbiorów losowych. 2) Zaprezentowane w pracy idee mogą zostać wykorzystane do uogólnienia istniejących norm projektowania konstrukcji tak, aby umożliwiały projektowanie układów o parametrach losowych i rozmytych. 3) Wykorzystane w pracy algorytmy mogą zostać wykorzystane do modelowania układów o dużej liczbie stopni swobody.