Równania funkcyjne równań funkcyjnych. Przykładowe rozwiązywanie

Prezentacja na temat: "Równania funkcyjne równań funkcyjnych. Przykładowe rozwiązywanie"— Zapis prezentacji:

1 Równania funkcyjne równań funkcyjnych. Przykładowe rozwiązywanie
Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

2 Równaniami zajmowaliśmy się, od początkowych klas
szkoły podstawowej. Pomimo tego, niewielu licealistów powie nam co to jest równanie. Mam nadzieję, że śledzący moje prezentacje znają definicję równania. Równaniem nazywamy funkcje zdaniową postaci : gdzie są funkcjami zmiennej x . Dziedziną ( przestrzenią ) równania jest iloczyn dziedzin funkcji W szkole podstawowej rozwiązywaliśmy na ogół równania ( nierówności ) liniowe, ale zdziwi licealistów, że gimnazjaliści potrafią rozwiązać pewne równania oraz nierówności kwadratowe czy wymierne, np. W liceum rozwiązujemy równania wymierne, niewymierne, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne.

3 Sądzę, że warto licealistom postawić pytanie :
czy potrafiliście rozwiązać każde równanie ( nierówność ) z podręcznika czy zbioru zadań ? Zdecydowana większość uczniów odpowie ; tak. Proponuję wtedy : napisz wielomian 3 – go stopnia o dowolnych dwucyfrowych współczynnikach. Jaka jest szansa, że znajdziesz jego pierwiastki ? Mam nadzieję, że pomimo % skuteczności w rozwiązywaniu szkolnych równań, wszyscy stwierdzą że szansa rozwiązania naszego ( dowolnego ) równania jest równa zeru. Niestety w praktyce szkolnej, wszystkie zadania dają się rozwiązać, bo są specjalnie dobierane. Licealista winien zdawać sobie sprawę, że choć rozwiąże równanie wystarczy zmienić jeden współczynnik, np. aby być bezradnym w znalezieniu pierwiastków, choć wiemy, że jest jeden lub trzy pierwiastki niewymierne.

4 Zainteresowanych rozwiązywaniem równań
zapraszam do prezentacji : @ Równania 3 – ciego, 4 – tego stopnia @. Koniecznie trzeba być świadomym, że potrafimy rozwiązać tylko równania liniowe i kwadratowe i tylko niektóre, szczególne równania wielomianowe, wymierne, niewymierne, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne. Sytuacja jest zupełnie podobna jak przy funkcjach, gdyż w szkole poznajemy szczególne funkcje, które nazwałem „ grzecznymi ” ( a tych niegrzecznych jest o niebo więcej ) Zwróćmy uwagę, że równań o banalnie prostych postaciach np. nie potrafimy rozwiązać. Zostawmy tego typy równania na boku ( są one w programie nauczania szkoły średniej ), ale spójrzmy na równania pod innym kątem.

5 W tym zapisie widać dwie funkcje, ale to równanie można przekształcić równoważnościowo do postaci ( gdzie występuje jedna funkcja ). Czy w tym równaniu można by jeszcze dołożyć jakieś dodatkowe warunki ? Z czym możemy je związać, skojarzyć ? Oczywiście nie z przepisem na h, tylko z argumentami np. Mamy zatem równanie, w którym niewiadomą jest funkcja h zmiennej x. Nowa sytuacja. Jak tą funkcję znaleźć ? W zasadzie pole manewru dotyczy argumentów ewentualnie mnożenia h przez liczbę. Dla argumentu ? możemy „ wyznaczyć ”, „ obliczyć ” wartość funkcji, za argument x podstawić ? W naszym przykładzie widać, że za x warto próbować podstawić 1 – x. Wtedy otrzymujemy Co uzyskujemy ?

6 Mamy więc układ równań z którego łatwo wyznaczyć h (x). Sprawdźmy, czy znaleziona funkcja spełnia dany warunek Rozwiązaniem równania funkcyjnego jest funkcja Zajęliśmy się szukaniem funkcji, ale formalnie o niej nic nie mówiliśmy. O czym nie wspomnieliśmy ? O dziedzinie funkcji jej własnościach.

7 1. Znaleźć wszystkie funkcje
Równanie funkcyjne jest na tyle proste, że nie było problemu ze znalezieniem funkcji która jest rozwiązaniem tego równania i która okazała się znaną od dawna funkcją liniową Nie trzeba nikogo przekonywać, że rozwiązanie okazało się łatwe, bo równanie było banalne i szczególnie dobrane. Na razie zajmijmy się szkolnymi przykładami równań funkcyjnych. 1. Znaleźć wszystkie funkcje dla których zachodzi równość Ponieważ równanie jest bardzo podobne do poprzedniego, wiemy co zrobić. Za x podstawmy 1 – x . < I mamy układ równań

8 Z układu równań wyznaczmy f (x) Ponieważ, dla więc Sprawdźmy, czy znaleziona funkcja spełnia równanie Rozwiązaniem równania funkcyjnego jest funkcja

9 2. Znaleźć wszystkie funkcje dla których
zachodzą równości : a ) b ) c ) d ) ad a ) Podobnie jak w poprzednich przykładach z postaci warunku nasuwa się pomysł by w równaniu w miejsce x podstawić Z układu wyznaczmy f (x) . Rozwiązaniem równania funkcyjnego jest funkcja

10 Sposób wyznaczenia funkcji f (x) jest widoczny.
ad b ) Sposób wyznaczenia funkcji f (x) jest widoczny. I tutaj w miejsce x podstawmy I już mamy rozwiązanie, czyli funkcję f (x). Przepis funkcji możemy przekształcić Pamiętając, że możemy zapisać gdzie ad c ) Nauczeni doświadczeniem z poprzednich zadań, chyba mamy propozycje podstawień : w miejsce x wstawić x -1 lub a może czy

11 ad c ) Spróbujmy dokonać podstawień x -1 , 1- x , i zobaczmy, co z tych równań możemy obliczyć. Ponieważ w równaniach występują trzy postacie funkcji dokonajmy jeszcze jednego podstawienia Z równań (2) , (3) , (4) wyznaczmy np. f (1-x) (4) odjąć (3) : (2) odjąć (5) :

12 za 1-x podstawmy x ad d ) Przy tym równaniu, trzeba chyba pójść na całość i za x podstawić

13 za x podstawiamy Rozwiązaliśmy równania funkcyjne : Czy możemy stwierdzić, że umiemy rozwiązywać równania funkcyjne ? Oczywiście, że nie.

14 Te równania były tak dobrane abyśmy mieli sukces.
Wystarczy wziąć równanie bardzo prostej postaci, np. by po paru próbach przyznać, że dotychczasowe sposoby podstawiania nie pomogą ( wydaje się, że podstawienie za x wyrażenia x+1 czy 1-x nic nam nie daje ) i trzeba szukać innej drogi rozwiązywania. Może wyznaczajmy wartości dla konkretnych argumentów np. 0 , 1 , 2, ….. Podejrzewamy, że dla każdego n naturalnego zachodzi ( ten warunek należy wykazać indukcyjnie ). Gdy przyjmiemy, że możemy przyjąć

15 Łatwo sprawdzić, że ta funkcja
jest rozwiązaniem rozważanego równania funkcyjnego. Czy rozwiązaliśmy równanie ? Nie. Po pierwsze, dziedziną znalezionej funkcji jest N. Po drugie, jeżeli nawet równanie nie ma innego rozwiązania , to musimy to udowodnić. Sposób takiego uzasadnienia pokażemy w jednym z następnych zadań. W dotychczasowych równaniach funkcyjnych występowały wartości funkcji, których argumenty są w pewnych związkach, zależnościach. itd.. Wskażmy jeszcze inne proste równania funkcyjne.

16 Czy znacie rozwiązanie takiego równania
Mam nadzieję, że teraz wszyscy odpowiedzą : tak. Przecież to równanie jest warunkiem nieparzystości funkcji. Okazało się że to równanie funkcyjne ma nieskończenie wiele rozwiązań. Dla przypomnienia, wypiszmy reprezentantów różnych rodzajów funkcji : itd.… ( w odpowiednich dziedzinach ). Warto wspomnieć, że wykresy tych funkcji są symetryczne w/g początku układu współrzędnych. Trzeba też zwrócić uwagę, że nic nie wspomnieliśmy o dziedzinach funkcji ( byle były symetryczne w/g 0 ) ani o jakichkolwiek ich własnościach.

17 Teraz dla wszystkich jest oczywiste, że
rozwiązaniami równania są z kolei funkcje parzyste, Spośród nieskończeniu wielu takich funkcji wskażmy niektóre z nich : itd.… Wykresy tych funkcji są symetryczne w/g osi y. Jest widoczne, że równanie spełnia funkcja oraz Czy to są jedyne ? Chyba wszyscy widzą dalsze : Czy są inne ? Nasze doświadczenie podpowiada nam , że chyba nie, ale jak zawsze, zależy to od warunków, jakie narzucimy na funkcje ( np. monotoniczność, ciągłość, itd. ).

18 Napiszmy równanie w którym jest mowa o wartościach
funkcji dla dowolnych argumentów ; x , y , x+y , itd... Ważnym, a zarazem prostym takim przykładem jest równanie zwane równaniem Cauchy'ego Funkcję spełniającą to równanie nazywamy funkcją addytywną. Podejrzewamy, że takich funkcji jest nie mało, stad na funkcję nakładamy dalsze warunki jakie powinna spełniać, np. monotoniczność, ciągłość, itd. ( funkcja ciągła w R, intuicyjnie oznacza, że jej wykres można nakreślić nie odrywając pisaka od kartki ) Cauchy rozwiązał to równanie funkcyjne w zbiorze funkcji ciągłych. Łatwo zauważyć, że równanie spełnia funkcja Sprawdźmy.

19 Wykazaliśmy, że funkcja
jest rozwiązaniem powyższego równania funkcyjnego. Czy możecie wskazać inne takie funkcje ? Jeżeli nawet takiej funkcji nie ma, to trzeba to udowodnić. Jeżeli w równaniu funkcyjnym podstawimy to czyli Jeżeli w równaniu funkcyjnym podstawimy otrzymamy Zatem czyli funkcja jest nieparzysta. Zauważmy, że z zasady indukcji matematycznej łatwo wykazać Stąd dla dowolnego oraz zachodzi oraz

20 Podobnie, jak wyżej dla oraz otrzymujemy Zatem Z poprzednich przesłanek wynika, że dla dowolnego oraz zachodzi Podstawiając x = 1 i przyjmując, że otrzymujemy dla dowolnego Pozostaje jeszcze wykazać, że ten przepis zachodzi dla wszystkich liczb rzeczywistych. Niestety, by tego dowieść, musimy sięgnąć po wiedzę, którą tylko nieliczni licealiści posiadają.

21 Do uzasadnienia potrzebne są pojęcia :
granicy ciągu, granicy funkcji i ciągłość funkcji. Zainteresowanych dogłębnym zrozumieniem wymienionych pojęć zapraszam do moich prezentacji. Z przytoczonych powodów dowód będzie intuicyjny. Niech r będzie dowolną liczbą niewymierną, a ciąg ciągiem liczb wymiernych zbieżnym, dążącym do r , co zapisujemy ( tym ciągiem może być np. ciąg przybliżeń dziesiętnych ). z ciągłości funkcji f z udow. twierdz. Zatem Wykazaliśmy jak Cauchy’ea, że jedynymi ciągłymi rozwiązaniami równania są funkcje liniowe

22 * ** *** Najbardziej znane równanie funkcyjne Cauchy’ego ma
szereg prostych zastosowań w wielu dziedzinach wiedzy, np. w geometrii ( pole prostokąta ), w fizyce ( problem składania sił ), ekonomii ( sprawiedliwy podział puli pieniędzy ). Przydatne są również różne modyfikacje ( trzy dalsze równania Cauchy’ego ) i uogólnienia tego równania ( równania Jensena, Pexidera ). Poza tym istnieje wiele równań funkcyjnych dających się rozwiązać elementarnie z wykorzystaniem rozwiązania równań Cauchy’ego. Postać tego równania Cauchy’ego, podpowiada nam różne, równie proste jego warianty ( np. „ + ” zastąpić „ • ” ). * ** *** Czy umiemy rozwiązywać te równania ? Nie. Czy znamy jakieś rozwiązania tych równań ? Tak.

23 * ** *** * Znamy pewne rozwiązania tych równań.
Odpowiedź, nie powinna zaskoczyć. Dlaczego ? Czy uczeń szkoły podstawowej, potrafi rozwiązać równanie Nie. Ale gdy w dowiaduje się, że symbol oznacza i ma za zadanie znaleźć, liczbę którą należy podstawić w miejsce x, by otrzymać prawdę, bez trudu wskaże liczbę 1. Czy znacie rozwiązania wskazanych równań ? By odpowiedzieć na pytanie, trzeba znać funkcje omawiane w liceum i wykorzystując doświadczenie, próbować która z nich spełnia równanie. * Czy to równanie kojarzycie z twierdzeniem dla podstawowej funkcji znanej nawet gimnazjalistom ?

24 * ** Z jakim twierdzeniem kojarzycie to równanie ?
Zatem znamy funkcję spełniającą powyższe równanie funkcyjne. Czy są inne ? Twierdzenie Cauchy’ego orzeka, że Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania są funkcje wykładnicze ** I również to równanie, gimnazjalista powinien skojarzyć z pewnym twierdzeniem. Zatem znamy funkcję spełniającą powyższe równanie funkcyjne. Czy są inne ?

25 *** Twierdzenie Cauchy’ego orzeka, że
Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania są funkcje potęgowe *** Dlaczego taka dziedzina ? Wyjaśni się przy rozwiązywaniu. Rozwiązania tego równania gimnazjalista już nie poda, ale licealista zna takie twierdzenie. Zatem znamy funkcję spełniającą powyższe równanie funkcyjne. Czy są inne ? Twierdzenie Cauchy’ego orzeka, że Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania są funkcje logarytmiczne

26 Uzasadnienie tego twierdzenia pokażemy
w następnej prezentacji bo dowody pozostałych twierdzeń Cauchy’ego przeprowadzają uczestnicy Olimpiad Matematycznych i studenci kierunków politechnicznych. Wskazaliśmy wersje twierdzenia Cauchy’ego, ale można je uogólnić, np. tak Znajdźmy ciągłe w R rozwiązania tego równania. Wprowadźmy funkcję pomocniczą Wtedy dla dowolnych x , y ∈ R mamy A więc g ( x ) spełnia równanie Cauchy’ego i jest ciągła

27 f (x) ciągła w R ciągła w R ciągła w R ,
Zgodnie z tezą twierdzenia Cauchy’ego, rozwiązaniem jest i wtedy Gdy oznaczymy symbolem c , wtedy Matematyczną wyobraźnię i pomysł miał J.Jensem by równanie powiązać ze średnia arytmetyczną f (x) ciągła w R J.Jensem ( 1859 – 1925 ) Równanie Jensena ( jansenizacja ). Podstawiając otrzymujemy

28 Podstawmy wtedy Zatem Niech ciągła w R Stąd zachodzi którego rozwiązaniem jest Więc Wykazaliśmy, że rozwiązaniami równania Jensena wszystkie funkcje liniowe. Pexider w uogólnieniu równaniu Cauchy’ego poszedł jeszcze dalej, zwiększając ilość funkcji. funkcje ciągłe

29 Rozwiązaniami równania Pexidera są funkcje :
funkcje ciągłe Rozwiązaniami równania Pexidera są funkcje : Tylko niektórzy udowodnią to twierdzenie na studiach. Rozwiążmy jeszcze dwa równania funkcyjne : znajdźmy wszystkie funkcje f : R  R dla których a ) b ) ciągła w 0 ad a ) Podstawiając otrzymujemy czyli .Niech wówczas Czyli Zatem jedyną funkcją spełniającą to równanie funkcyjne jest funkcja

30 W celu pozbycia się drugiego składnika x ,
ad b ) ciągła w 0 W celu pozbycia się drugiego składnika x , wprowadzamy funkcję jest ona również ciągła w punkcie 0. . Wstawiając , oraz do rozważanego równania, otrzymamy czyli Weźmy dowolną liczbę . oraz dostajemy Podstawiając za n , kolejno 0 , 1, 2 , 3, …. otrzymujemy Przyjrzyjmy się tym zależnościom ( wzorom ).

31 Podstawiając za n , kolejno 0 , 1, 2 , 3, …. otrzymujemy
ciągła w 0 ciągła w punkcie 0. Podstawiając za n , kolejno 0 , 1, 2 , 3, …. otrzymujemy Skąd przez indukcję uzyskamy Z ciągłości h (x) w punkcie 0 wynika, że ciąg liczb po prawej stronie ostatniej równości dąży do 0 gdy n dąży do nieskończoności, To oznacza, że . Ponieważ punkt x0 wybrany był dowolnie, funkcja h (x) tożsamościowo równa się zeru. Zatem Łatwo sprawdzić, że funkcja ta jest rozwiązaniem danego równania.

32 Podczas szkolnej edukacji, już od szkoły podstawowej
rozwiązywaliśmy równania, w których poszukiwaliśmy argumentów ( niewiadomych ) spełniających równania. W tej prezentacji poznaliśmy i rozwiązywaliśmy równania funkcyjne, w których niewiadomą jest funkcja. Równania funkcyjne często opisuje pewne własności funkcji lub nakłada warunki jakie powinno spełniać rozwiązanie . Naszym celem jest znalezienie wszystkich takich funkcji i uzasadnienie, że nie istnieją inne funkcje spełniające to równanie. Równanie funkcyjne mają na ogół nieskończenie wiele rozwiązań ( tzn. funkcji, które spełniają to równanie w każdym punkcie dziedziny ). Czasem w prostych równaniach, korzystając tylko z postaci równania funkcyjnego, potrafimy bezpośrednio wyznaczyć wzór funkcji. Niestety, nie istnieje ogólny algorytm rozwiązywania równań funkcyjnych ( czemu się chyba nie dziwimy ).

33 1. Wnioskowanie pewnych informacji o funkcji
Wszyscy wiemy z dotychczasowej praktyki, że sposób rozwiązywania równania, zależy od postaci równania ( wymierne, niewymierne, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne, itd. ). Warto i tu podkreślić, że potrafimy rozwiązać tylko szczególne wyżej wymienione równania. Już w tej prezentacji poznaliśmy różne sposoby rozwiązywania równań funkcyjnych. 1. Wnioskowanie pewnych informacji o funkcji w pewnych charakterystycznych punktach np. 0 , 1 , -1 , 2. Przekształcenie równania funkcyjnego poprzez wprowadzenie nowej zmiennej np. w = - x , w = x + 1 , itd…. 3. Wielokrotna iteracja równania funkcyjnego 4. Jeżeli występują dwie zmienne w równaniu funkcyjnym x ; y , to możemy je związać np. x = - y, x = 2 y , itd….

34 Zapraszam Koniec prezentacji Oczywiście istnieje wiele innych sposobów
rozwiązywania specjalnych równań funkcyjnych, które niektórzy poznają na specjalistycznych kierunkach studiów. Warto również widzieć, że być może już przyszli maturzyści, po poznaniu pojęcia pochodnej funkcji i całki funkcji, będą mogli rozwiązywać równania różniczkowe i równania całkowe. Zapraszam do następnej prezentacji @ Ćwiczenia w rozwiązywaniu równań funkcyjnych @ Opr. WWWęgrzyn i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji i przekazanie uwag, by po korekcie, można było ją uznać za poprawną. Z góry dziękuję. tel Koniec prezentacji op.pl