Problem pomiaru w mechanice kwantowej

Prezentacja na temat: "Problem pomiaru w mechanice kwantowej"— Zapis prezentacji:

1 Problem pomiaru w mechanice kwantowej
Andrzej Łukasik Instytut Filozofii Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej

2 Klasyczny obraz świata
„Zgodnie z fizyką klasyczną i zdrowym rozsądkiem istnieje obiektywny świat zewnętrzny. Świat ten ewoluuje w czasie w sposób deterministyczny, w pełni określony ściśle sformułowanymi równaniami matematycznymi. Jest tak zarówno w teoriach Maxwella i Einsteina, jak i we wcześniejszej dynamice Newtona. Rzeczywistość fizyczna istnieje niezależnie od nas, konkretna zaś postać ‘istnienia’ klasycznego świata nie zależy od tego, w jaki sposób go obserwujemy”. Roger Penrose, Nowy umysł cesarza, 254

3 Determinizm mechaniki klasycznej i przewidywalność zjawisk
Determinizm mechaniki klasycznej: stan układu w danej chwili jednoznacznie wyznacza jego przyszłość, zatem znajomość stanu układu, działających sił i praw przyrody pozwala – przynajmniej w teorii – przewidzieć przyszły bieg zdarzeń z dowolnym stopniem precyzji. „Intuicyjną ideę determinizmu można ogólnie ująć w stwierdzeniu, że świat przypomina taśmę filmową. Obraz lub zdjęcie, które jest w tym właśnie momencie wyświetlane, to teraźniejszość. Części filmu, które zostały już wyświetlone, to przeszłość, natomiast te zdjęcia, których jeszcze nie pokazano, to przyszłość. Na taśmie filmowej przyszłość współistnieje z przeszłością, podobnie przyszłość jest już ustalona w dokładnie takim samym sensie jak przeszłość. Chociaż obserwator nie może znać przyszłości, każde bez wyjątku przyszłe wydarzenie może w zasadzie być znane z całą pewnością dokładnie tak samo jak przeszłość, ponieważ istnieje ono w takim samym sensie jako przeszłość”. Karl R. Popper, Wszechświat otwarty…, 27

4 Stan układu klasycznego
Stan układu klasycznego: pędy i położenia elementów układu – wielkości fizyczne (bezpośrednio) mierzalne Teoretycznie stan układu można określić (zmierzyć) z dowolnym (skończonym) stopniem dokładności Liniowość CM – dokładność przewidywań jest wprost proporcjonalna do dokładności określenia stanu początkowego układu W CM nie istnieją żadne obiektywne ograniczenia na możliwość dokładności pomiarów Uwaga: W teorii chaosu deterministycznego (dynamika nieliniowa) dowolnie mały błąd w określeniu warunków początkowych może prowadzić do bardzo dużych błędów w przewidywaniach – wrażliwość układów nieliniowych na warunki początkowe (efekt motyla)

5 i przewidywalność zjawisk
Demon Laplace’a i przewidywalność zjawisk „Intelekt, który w danym momencie znałby wszystkie siły działające w przyrodzie i wzajemne położenia składających się na nią bytów i który byłby wystarczająco potężny, by poddać te dane analizie, mógłby streścić w jednym równaniu ruch największych ciał wszechświata oraz najdrobniejszych atomów; dla takiego umysłu nic nie byłoby niepewne, a przyszłość, podobnie jak przeszłość, miałby przed oczami”. Pierre S. de Laplace, Essai philosophique sur les probabilités równanie Newtona: liniowe równanie różniczkowe (deterministyczne) warunki początkowe – w teorii można ustalić z dowolną dokładnością

6 Pomiar – CM vs QM CM pomiar odzwierciedla obiektywny stan rzeczy – otrzymujemy informację o własnościach obiektu, jakie posiadał on przed pomiarem i niezależnie od pomiaru QM zasadniczo różne procedury stosowane do opisu układu swobodnie ewoluującego U i procesu pomiaru R („problem pomiaru” – najbardziej kontrowersyjne zagadnienie QM) U: równanie Schrödingera (ewolucja unitarna – ciągłość, determinizm) R: redukcja wektora stanu (nieciągłość, indeterminizm = można przewidzieć jedynie prawdopodobieństwo rezultatu pomiaru)

7 Przykład – eksperyment z trzema polaryzatorami

8 Probabilistyczny charakter QM
CM możemy przewidywać przyszłe zdarzenia prawdopodobieństwo w CM odzwierciedla jedynie naszą niewiedzę o w istocie deterministycznych procesach (charakter epistemiczny) QM możemy przewidywać prawdopodobieństwa zdarzeń „musimy zastosować teorię prawdopodobieństwa nie z powodu niewiedzy lub złożoności problemu, ale dlatego, że fundamentalne prawa fizyczne mają charakter probabilistyczny” (R. P. Feyman, Charakter praw fizycznych, 154) „Bóg nie gra w kości” Albert Einstein

9 Superpozycja stanów / redukcja wektora stanu
QM – stan układu jest reprezentowany przez wektor z przestrzeni Hilberta przed pomiarem (superpozycja stanów – dowolna kombinacja liniowa wektorów własnych) po pomiarze (redukcja wektora stanu do jednego ze stanów własnych odpowiadającego mierzonej obserwabli): prawdopodobieństwo otrzymania i-tej wartości własnej:

10 Czym jest „pomiar” w QM? Czym pomiar w sensie mechaniki kwantowej różni się od innych oddziaływań? Czy redukcja wektora stanu odzwierciedla rzeczywisty proces zachodzący w przyrodzie, czy też pojawia się ona w formalizmie mechaniki kwantowej jedynie jako „odzwierciedlenie stanu wiedzy obserwatora o obserwowanym systemie”? Czy do wykonania pomiaru potrzebny jest świadomy obserwator, czy też pomiar może być wykonany przez pozbawiony świadomości automat? Czy problem pomiaru jest rzeczywiście najgłębszym filozoficznym problemem mechaniki kwantowej, czy też może jedynie pseudoproblemem?

11 Paradoks kota Schrödingera
E. Schrödinger (1935) – eksperyment myślowy, mający wykazać absurdalność kopenhaskiej interpretacji QM Przed pomiarem układ znajduje się w superpozycji stanów: Pomiar: redukcja wektora stanu: kot żywy albo martwy Problem: czy układ makroskopowy (np. kot) może znajdować się w superpozycji stanów? Czy do wykonania pomiaru potrzebny jest świadomy obserwator?

12 Mechanika kwantowa i granice poznania
CM – ideał deterministycznej przewidywalności (demon Laplace’a) „Jeśli oryginalnym celem fizyki było – a wszyscy sądzili, że tak właśnie było – poznanie praw, które pozwolą w danej sytuacji przewidzieć, co się stanie dalej, to w pewnym sensie fizycy skapitulowali”. (R. P. Feynman)

13 Prawdopodobieństwo

14 Prawdopodobieństwo – Laplace

15 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa - ograniczenia
m i n muszą być skończone niedoskonała pod względem formalnym (circulus vitiosus) – zakłada się, że wszystkie zdarzenia n są jednakowo możliwe, co znaczy tyle, co jednakowo prawdopodobne. może być stosowana w wielu przypadkach, takich jak na przykład obliczenie prawdopodobieństwa określonego rezultatu podczas rzutu kostką czy prawdopodobieństwa wylosowania określonej kombinacji liczb podczas gry w Lotto, jako kombinatoryczny sposób obliczania prawdopodobieństwa. Np. rzut kostką: możliwych jest sześć zdarzeń elementarnych: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki p (6) = 1/6 (jedno zdarzenie sprzyjające {6}); prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby parzystej p (P) = 3/6 = 1/2 (trzy zdarzenia sprzyjające: {2, 4, 6}).

16 Zdarzenia losowe zdarzenia losowe (events) A, B, C… są reprezentowane przez podzbiory zbioru zdarzeń elementarnych Ω (sample space). Pojęcie zdarzenia losowego - pojęcie pierwotne, którego się nie definiuje, podobnie jak pojęcie punktu, prostej i płaszczyzny w geometrii. Zdarzenie losowe - coś, co może zajść lub nie, coś, co leży całkowicie poza możliwością naszej kontroli. Np: wyrzucenie określonej liczby oczek przy rzucie kostką, wypadnięcie określonej liczby w grze w ruletkę czy też wylosowanie kuli z określonym numerem podczas gry w Lotto. koniunkcja zdarzeń A i B zachodzi, gdy zachodzi zarówno A, jak i B alternatywa zdarzeń A lub B zachodzi, gdy zachodzi A lub B, lub obydwa zdarzenia zdarzenie przeciwne nie-A - zdarzenie A nie zachodzi

17 Zdarzenie, które nigdy nie zachodzi - zdarzenie niemożliwe
Zdarzenia, które nie mogą zajść równocześnie - zdarzeniami wykluczające się Zdarzenie, które nigdy nie zachodzi - zdarzenie niemożliwe Zdarzenie, które zawsze zachodzi - zdarzenie pewne Zdarzenia niezależne - zajście jednego nie wpływa na zajście drugiego

18

19 Prawdopodobieństwo - Kołmogorow

20 Prawdopodobieństwo w QM

21 Prawdopodobieństwo – von Neuman

22 Prawdopodobieństwo CM / QM

23 Prawdopodobieństwo warunkowe CM / QM

24 Prawdopodobieństwo CM / QM

25 Prawdopodobieństwo QM – efekt kolejności

26 Prawdopodobieństwo i operatory rzutowe

27 Prawdopodobieństwo i operatory rzutowe
Ilustracja geometryczna obliczania prawdopodobieństwa „A, następnie B” w mechanice kwantowej. Wektor stanu rzutujemy najpierw na podprzestrzeń reprezentującą zdarzenie A, a następnie (po unormowaniu do jedności przez podzielenie rzutu wektora przez jego długość) rzutujemy go na podprzestrzeń reprezentującą zdarzenie B.

28 Prawdopodobieństwo i interferencja

29 Prawdopodobieństwo i interferencja

30 Prawdopodobieństwo i komutacja

31 Interpretacje prawdopodobieństwa
Do czego odnosi się pojęcie prawdopodobieństwa? do długiej serii zdarzeń losowych (interpretacja częstościowa) do pojedynczych obiektów w określonej sytuacji (interpretacja skłonnościowa) do naszych przekonań (interpretacja subiektywna) do stopnia potwierdzenia hipotez naukowych (interpretacja logiczna) Jaki jest związek prawdopodobieństwa z naszą wiedzą (lub brakiem wiedzy)? Czy „sama natura” jest losowa czy tylko nasze teorie?

32 Interpretacja częstościowa
Interpretacja częstościowa (frequency interpretation – Richard von Mises) prawdopodobieństwo - względna częstość zdarzeń w losowym, wystarczająco długim ciągu doświadczeń jaki ciąg należy uznać za „wystarczająco długi”? prawdopodobieństwa jako granica względnej częstości w nieskończonym ciągu doświadczeń np. prawdopodobieństwo wyrzucenia „orła” w rzucie monetą wynosi ½ - że w granicy nieskończenie wielu prób średnia częstość występowania „orła” będzie się nieograniczenie zbliżać do wartości ½

33 Interpretacja częstościowa
charakter idealizacyjny - w rzeczywistym świecie zawsze mamy do czynienia ze skończonymi ciągami zdarzeń prawdopodobieństwo w ogóle nie odnosi się do pojedynczych zdarzeń, lecz wyłącznie do serii zdarzeń Względną częstość występowania zdarzenia w długiej serii - definicyjna cecha prawdopodobieństwa. Gdy przypisujemy prawdopodobieństwo poszczególnemu zdarzeniu, „to tak naprawdę mówimy o względnej częstości w długich seriach […], tyle że posługujemy się elipsą”.

34 Interpretacja skłonnościowa
Interpretacja skłonnościowa (propensity-interpretation – Karl R. Popper): prawdopodobieństwo jest cechą pojedynczych rzeczy w określonych sytuacjach fizycznych, wykazujących skłonności (dyspozycje) do pewnych zachowań i nie jest utożsamiane ze względną częstością. krytyka „subiektywistycznych elementów” w kopenhaskiej interpretacji mechaniki kwantowej: „teoria probabilistyczna lub statystyczna wykorzystuje w jakiś sposób naszą wiedzę subiektywną lub nasz brak wiedzy”. Heisenberg: wektor stanu charakteryzuje „tendencję do realizacji zdarzeń i naszą wiedzę o zdarzeniach” - prawdopodobieństwo w mechanice kwantowej w specyficzny sposób łączy elementy obiektywne z subiektywnymi.

35 Interpretacja skłonnościowa
Popper: „ilekroć mówimy o prawdopodobieństwie pojedynczego zdarzenia jako elementu zjawiska masowego, obiektywność staje się problematyczna; można więc powiedzieć, że w odniesieniu do pojedynczych zdarzeń, takich jak emisja jednego fotonu, wielkości prawdopodobieństwa stanowią jedynie szacunek naszej niewiedzy. Obiektywne prawdopodobieństwo mówi nam tylko o tym, co zazwyczaj się zdarza, jeśli tego rodzaju zdarzenie jest wielokrotnie powtarzane: o samym pojedynczym zdarzeniu statystyczne prawdopodobieństwo nie mówi nam nic”.

36 Interpretacja skłonnościowa
Interpretacja Poppera – obiektywistyczna (wyklucza jakiekolwiek powiązanie pojęcia prawdopodobieństwa z wiedzą lub brakiem wiedzy) „Skłonności można uważać za realności fizyczne. Są one miarami dyspozycji”. skłonności - równie realne jak pola sił w fizyce klasycznej Prawdopodobieństwo - cecha dyspozycyjna danego obiektu w określonej sytuacji, której częścią jest ten przedmiot (np. rozpuszczalność w przypadku danego kryształu soli) Dyspozycję do określonego zachowania definiuje się więc przez kontrfaktyczny okres warunkowy i rozumiana jest ona jako własność przyczynowo odpowiedzialna za występowanie określonych względnych częstości. Względne częstości rozumiane są jako świadectwo dyspozycji do określonych zachowań indywidualnego obiektu w danej sytuacji. To, że dany obiekt ma dyspozycję do określonych zachowań (na przykład moneta ma dyspozycję do tego, aby podczas rzutu wypaść „orłem” lub „reszką” z prawdopodobieństwem wynoszącym 1/2), możemy rozpoznać na podstawie względnej częstości w długiej serii rzutów, ale określona względna częstość jest skutkiem dyspozycji właściwej pojedynczemu obiektowi, nie zaś cechą definicyjną prawdopodobieństwa.

37 Interpretacja subiektywna
Interpretacja subiektywna (Frank P. Ramsey). Problem: w jaki sposób akceptacja sądów probabilistycznych wpływa na nasze przekonania i decyzje. Stwierdzenie, że pewne zdarzenie ma określone prawdopodobieństwo traktowane jest jako miara stopnia przekonania, że przy przeprowadzeniu odpowiedniego doświadczenia otrzymamy określony rezultat. Przekonania mogą być rozumiane behawiorystycznie i wyrażać się w określonych decyzjach, na przykład podczas podejmowania zakładów.

38 Interpretacja logiczna
Interpretacja logiczna (John M. Keynes, Harold Jeffreys, Rudolf Carnap): prawdopodobieństwo jest logiczną relacją między dwoma zdaniami: „gdy wypowiadamy sąd probabilistyczny, to nie mówimy niczego o świecie, lecz jedynie o logicznej relacji pomiędzy dwoma innymi zdaniami. Stwierdzamy tylko, że jedno zdanie ze względu na drugie ma takie a takie duże prawdopodobieństwo logiczne”. Carnap: prawdopodobieństwo logiczne (prawdopodobieństwo indukcyjne) jest miarą potwierdzenia hipotezy h na podstawie przesłanek empirycznych e prawdopodobieństwo statystyczne (względna częstość) a prawdopodobieństwo logiczne – statystyczne: zdania syntetyczne o empirycznie stwierdzalnych zależnościach panujących w świecie - logiczne: zdania analityczne, które nie wymagają badań empirycznych, ponieważ wyrażają „relację pomiędzy zdaniem wyrażającym dane [empiryczne] oraz zdaniem wyrażającym hipotezę”.

39 Interpretacja logiczna
Prawdopodobieństwo statystyczne, zdaniem Carnapa, jest częścią języka przedmiotowego nauki, natomiast prawdopodobieństwo logiczne, które stosuje się do zdań o prawdopodobieństwie statystycznym, należy do metajęzyka nauki.

40 Logika kwantowa

41 Logika kwantowa John con Neumann, The Mathematical Foundation of Quantum Mechanics, 1932 Garret Birkhoff, John von Neumann (The Logic of Quantum Mechanics, 1936): mechanika kwantowa zakłada różną od klasycznej logikę – logikę kwantową (quantum logic). Cel badań – znalezienie rachunku zdań, który byłby izomorficzny (formalnie nieodróżnialny) z rachunkiem podprzestrzeni przestrzeni Hilberta oraz interpretacja iloczynu, sumy i dopełnienia ortogonalnego podprzestrzeni jako spójników „i”, „lub” oraz „nie” rachunku zdań.

42 John von Neumann John von Neumann (ur. Na Węgrzech, Neumann János Lajos) – Jeden z najwybitniejszych matematyków XX w. Rachunek operatorowy w mechanice kwantowej Analiza funkcjonalna Automaty komórkowe Logika kwantowa Teoria gier Projekt Manhattan…

43 Relacja porządkująca

44 Zbiór częściowo uporządkowany

45 Krata

46 Krata

47 Krata

48 Krata dystrybutywna i niedystrybutywna

49 Algebra Boole’a

50 Logika klasyczna a logika kwantowa

51 Logika kwantowa

52 Logika kwantowa

53 Logika kwantowa – przykład (spin)

54 Pomiary elementarne

55 Pomiary elementarne

56 Pomiary elementarne i rzutowanie

57 Logika kwantowa - interpretacje
jeżeli QM jest poprawną i zupełną teorią rzeczywistości fizycznej, jak rozumieć stwierdzenie, że zakłada ona logikę różną od klasycznej? formalizm matematyczny QM opiera się na logice klasycznej jak rozumiemy zdanie: „wartość obserwabli P wynosi a”

58 Interpretacja kopenhaska
interpretacja kopenhaska QM (Bohr, Heisenberg) QM nie dotyczy „rzeczywistości obiektywnej”, pozwala obliczyć prawdopodobieństwa rezultatów pomiarów osobliwości logiki kwantowej odzwierciedlają fakt, że: 1. nie wszystkie wielkości fizyczne, które są mierzalne w mechanice klasycznej, można zgodnie z mechaniką kwantową równocześnie zmierzyć z dowolną dokładnością (zasada nieoznaczoności) – niekomutujące operatory 2. kolejność pomiarów w przypadku niekomutujących operatorów ma istotne znaczenie nie wszystkie zdania testowalne empirycznie z punktu widzenia mechaniki klasycznej są testowalne z punktu widzenia mechaniki kwantowej. Mechanika kwantowa nie pozwala opisać tego, co zachodzi pomiędzy dwoma obserwacjami – Heisenberg: „termin «zachodzi» ma sens jedynie wtedy, gdy jest związany z opisem obserwacji”

59 Logiki wielowartościowe
logika klasyczna: dwie wartości logiczne: „prawda” i „fałsz” każde zdanie w sensie logicznym może być albo prawdziwe, albo fałszywe i nie ma trzeciej możliwości logika trójwartościowa: przyjmuje się trzecią wartość logiczną – „nieokreśloność” (indeterminate) odrzucona zasada wyłączonego środka (tertium non datur)

60 Logiki wielowartościowe – Reichenbach
Reichenbach: rewolucyjny charakter QM - jej implikacje zawierają „oprócz przejścia od praw przyczynowych do probabilistycznych, rewizję idei filozoficznych odnośnie do istnienia przedmiotów nieobserwowalnych, a nawet odnośnie do zasad logiki, oraz sięgają do najgłębszych podstaw teorii poznania” zagadnienia dotyczące istnienia przedmiotów fizycznych zostają przekształcone na zagadnienia dotyczące znaczenia zdań język obserwacyjny / język mechaniki kwantowej „licznik Geigera”, „położenie wskazówki przyrządu”, „ślad na kliszy fotograficznej”… terminy języka obserwacyjnego odnoszą się do przedmiotów, które możemy bezpośrednio zaobserwować terminy języka mechaniki kwantowej: „położenie elektronu”, „pęd elektronu”… prawdziwość albo fałszywość zdań języka mechaniki kwantowej jest zdefiniowana w kategoriach prawdziwości albo fałszywości zdań języka obserwacyjnego np. prawdziwość zdania „elektron ma położenie q” jest określona, jeśli zdanie obserwacyjne „w rezultacie pomiaru położenia elektronu otrzymano wartość q” jest prawdziwe, co sprowadza się do wypowiedzi o wskazaniach makroskopowych (bezpośrednio postrzegalnych) przyrządów pomiarowych; wszystkie zdania języka mechaniki kwantowej można wyrazić w zdaniach języka obserwacyjnego

61 Logiki wielowartościowe – Reichenbach
„obserwowalność” (w wąskim sensie) - żadne zjawisko kwantowe nie jest (bezpośrednio) obserwowalne „obserwowalność” (w szerszym sensie) – np. pozostawienie przez elektron śladu na emulsji fotograficznej (fenomeny) – opisane w języku fizyki klasycznej interfenomeny – np. ruch elektronu zanim nastąpi jego oddziaływanie z przyrządem pomiarowym – opisane są w języku mechaniki kwantowej twierdzenia o interfenomenach należy uznać za sensowne, ale nie są one ani prawdziwe, ani fałszywe, ale nieokreślone

62 Logiki wielowartościowe – Reichenbach
Zastosowanie logiki trójwartościowej - eliminacja anomalii przyczynowych (termin Reichenbacha) np. zależność rozkładu elektronów na ekranie w eksperymencie z dwiema szczelinami od tego, czy otwarta jest jedna, czy też dwie szczeliny (anomalia przyczynowa aspektu korpuskularnego) „ściągnięcie fali do punktu”, gdy elektron pada na ekran (anomalia przyczynowa aspektu falowego) poprawny opis zjawiska interferencji w eksperymencie z dwiema szczelinami - obraz falowy – ze szczelin wychodzi szereg fal ugiętych, ale tylko jeden elektron elektron trafia na ekran i pozostawia ślad - znikają wszystkie fale – jeśli falom przypisujemy realność fizyczną, to fale ściągają się do punktu, w którym elektron pozostawił ślad

63 Kwantowy efekt tunelowy
CM – cząstka nie może przekroczyć bariery potencjału V, jeśli jej całkowita energia E < V Zasada zachowania energii Energia całkowita = energia kinetyczna + energia potencjalna QM – amplituda funkcji falowej stanowiącej rozwiązanie równania Schrödingera może być poza barierą potencjału różna od zera. Kwantowy efekt tunelowy jest między innymi odpowiedzialny za zjawisko promieniotwórczości α, jest także podstawą działania diody półprzewodnikowej, powszechnie wykorzystywanej w elektronice.

64 Kwantowy efekt tunelowy i logika trójwartościowa
energia kinetyczna elektronu – funkcja pędu p (E = p2/2m) energia potencjalna – funkcja położenia q (E = mgh) pęd i położenie są wielkościami komplementarnymi - jeżeli w danym czasie jedna z nich jest określona, druga pozostaje nieokreślona stwierdzenie stałości sumy energii kinetycznej i potencjalnej wymagałoby równoczesnego dokładnego pomiaru położenia i pędu, co jest niemożliwe Reichenbach: zasada zachowania energii przestaje być wprawdzie twierdzeniem prawdziwym, ale nie staje się przez to fałszywym – zgodnie z logiką trójwartościową jest to twierdzenie o wartości logicznej „nieokreślone”

65 Logika czasów – Carl Friedrich von Weizsäcker
zdania wieczne (aczasowe) – np. 2 x 3 = 6 – logika klasyczna – zdania prawdziwe albo fałszywe niezależnie od czasu zdania kontyngentne „kontingente” Aussgagen (zawierają odniesienie do czasu, brak „konieczności”) – np. w miejscu x znajduje się elektron „Zdanie gotów jestem nazwać prawdziwym jeśli można go w zasadzie dowieść bądź to bezpośrednim spojrzeniem (teraźniejszość), bądź zobaczeniem śladu (przeszłość), bądź argumentacją matematyczną lub podobną (bezczasowo). Chciałbym natomiast zaproponować, by wartości «prawdziwy» – «fałszywy» nie stosować do zdań o przyszłości [….]. Zdania o przyszłości można przez zobaczenie dowieść lub mu zaprzeczyć dopiero wówczas, gdy nie jest już zdaniem o przysz­łości. Można jednak sensownie wartościować zdania o przyszłości jako «konieczne», «możliwe», «niemożliwe», «prawdopodobne z prawdopodobieństwem p» itd.; można stosować do nich to, co logicy nazywają modalnościami”.

66 Logika czasów „właściwości kontyngentne przedmiotu X” = zbiór wszystkich możliwych zdarzeń związanych z przedmiotem X „przedmiot X ma w chwili t właściwość A” = „wektor stanu leży w chwili t w podprzestrzeni A” „nie-A” = podprzestrzeń ortogonalna do A „A i B” = przecięcie podprzestrzeni A i B „A lub B” = podprzestrzeń liniowa rozpięta na A i B „stopień prawdziwości” (Wahrheitswert) = zespolona amplituda prawdopodobieństwa kwadrat wartości bezwzględnej amplitudy oznacza prawdopodobieństwo prawdziwości wypowiedzi skrajne przypadki = 1 (prawda) i 0 (fałsz), możliwe są sytuacje, w których wartość logiczna jakiegoś zdania pozostaje obiektywnie nieokreślona

67 Hilary Putnam – logika empiryczna
stanowisko realistyczne – QM dotyczy obiektywnej rzeczywistości, a nie tylko pomiarów empiryczny sukces QM - prawa logiki klasycznej mają ograniczoną ważność – żyjemy w nieklasycznym, czyli kwantowym świecie, w którym obowiązują prawa logiki kwantowej. logika jest równie empiryczna jak geometria geometria logika _________________­­­­_________ = ­­­­­_________________ ogólna teoria względności mechanika kwantowa mechanika kwantowa wyjaśnia przybliżoną ważność logiki klasycznej w odniesieniu do makroświata, podobnie jak geometrie nieeuklidesowe wyjaśniają przybliżoną ważność geometrii Euklidesa w odniesieniu do małych obszarów czasoprzestrzeni CM - nie występuje pojęcie wielkości niezgodnych (incompatible) QM - dla zmiennych niezgodnych (sprzężonych) przestaje obowiązywać prawo rozdzielności, a więc i logika klasyczna

68 Nieoznaczoność

69 Zasada nieoznaczoności
Zasada nieoznaczoności (uncertainty principle) - Werner Heisenberg, 1927 r. W. Heisenberg, Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik, „Zeitschrift für Physik” 1927, vol. 43, s. 172–198 (O poglądowej treści kinematyki i mechaniki kwantowej) nie można jednocześnie z dowolną dokładnością zmierzyć położenia i pędu cząstki elementarnej albo: im dokładniej znamy położenie cząstki, tym mniej dokładnie znamy jej pęd i vice versa Heisenberg – macierzowe sformułowanie QM kopenhaska interpretacja QM (wspólnie z Bohrem) zasada nieoznaczoności prace nad bombą atomową

70 Mikroskop Heisenberga – eksperyment myślowy
obserwacja toru ruchu elektronu za pomocą mikroskopu Energia fotonu (wzór Plancka) Stała Plancka h = 6,63 x Js Dokładne określenie położenia wymaga użycia światła o małej długości fali (i dużej energii) – np. promienie gamma – musimy na elektronie rozproszyć przynajmniej jeden foton Pomiar położenia powoduje „zaburzenie” pędu (i vice versa) Użycie światła o mniejszej energii (mniejsze zaburzenie, większa długość fali) – mniej dokładne określenie położenia

71 Czym nie jest zasada nieoznaczoności
Nie chodzi o potocznie rozumianą „niepewność” Nie jest związana z błędami pomiarowymi popełnianymi podczas rzeczywistych pomiarów Dotyczy również „pomiarów idealnych” – przeprowadzanych z maksymalną precyzją Relacje nieoznaczoności dotyczą określonych par wielkości fizycznych (sprzężonych) Wynikają bezpośrednio z formalizmu QM – rachunku operatorów na przestrzeni Hilberta

72 Relacje komutacji i nieoznaczoność

73 Relacje komutacji i nieoznaczoność

74 Przypadek jednowymiarowy – pęd i położenie

75 Zasada nieoznaczoności a determinizm
Laplace – znajomość (pomiar) pędów i położeń wszystkich cząstek pozwala (na podstawie praw Newtona) na przewidywanie przyszłości… Heisenberg – nie można zmierzyć z dowolną dokładnością pędu i położenia nawet dla jednej cząstki…. Konsekwencje: Cząstkom kwantowym nie przysługują klasyczne trajektorie Nie można jednoznacznie przewidywać przyszłych stanów układu – jeżeli dokonamy pomiarów położenia elektronów opisywanych taką samą funkcją falową, to nie zawsze otrzymamy taki sam wynik

76 Zasada nieoznaczoności a budowa atomu
Model atomu: w atomie obiektywnie nie istnieją orbity elektronowe wymagane przez mechanikę klasyczną (orbita byłaby określona, jeśli pęd i położenie byłyby określone w każdej chwili) Pęd i położenie nie istnieją jako wielkości realne, są obserwablami – mogą być zmierzone, ale pomiar niszczy stan stabilny i tworzy inny

77 Nieoznaczoność pędu i położenia

78 Zmienna losowa, obserwable i nieoznaczoność

79 Wartość oczekiwana

80 Odchylenie standardowe

81 Wartość oczekiwana w QM

82 Nieoznaczoność jako odchylenie standardowe

83 Nieoznaczoność a skala

84 Interpretacje zasady nieoznaczoności
Interpretacja epistemologiczna (np. Heisenberg): wiedza o systemie jest zawsze niezupełna i dlatego „prawa mechaniki kwantowej muszą mieć charakter statystyczny”. „Wiedza o położeniu cząstki jest komplementarna w stosunku do wiedzy o jej prędkości (lub pędzie). Im większa jest dokładność pomiaru jednej z tych wielkości, tym mniej dokładnie znamy drugą. Musimy jednak znać obie, jeśli chcemy określić zachowanie się układu”. Interpretacja ontologiczna (np. Eddington): taki obiekt, jak elektron z równocześnie określonym pędem i położeniem po prostu w naturze nie istnieje (nie daje się zdefiniować w formalizmie QM) Stanowisko Feynmana odnośnie do „wielkości nieobserwowalnych” w fizyce: fakt, iż nie jesteśmy w stanie jednocześnie zmierzyć pędu i położenia z dowolną dokładnością, nie oznacza a priori, że nie możemy o nich mówić. Znaczy to jedynie, że nie musimy o nich mówić; niemożliwość jednoczesnego pomiaru z dowolną dokładnością pędu i położenia cząstki elementarnej w mechanice kwantowej nie oznacza w żadnym wypadku, że mechanika klasyczna jest błędna na gruncie mechaniki klasycznej pojęcie cząstki z jednocześnie określonym pędem i położeniem jest użyteczne, natomiast na gruncie mechaniki kwantowej nie jest użyteczne.

85 Problem parametrów ukrytych
Albert Einstein – eksperyment myślowy EPR z parą cząstek pozwala na ustalenie pędu i położenia David Bohm – ukryty porządek

86 Nieoznaczoność energii i czasu

87 Cząstki wirtualne i kwantowa próżnia

88 Efekt Casimira

89 Pomiar a ontologia mikroświata
QM: w mikroświecie nie można obserwować bezpośrednio funkcjonowania wnętrza atomów, cząstek elementarnych… można obserwować jedynie pewne zewnętrzne ich własności Informacje o ruchu elektronów wewnątrz atomów zawiera widmo światła emitowanego przez atomy każdy pierwiastek chemiczny (każdy atom pierwiastka) emituje ściśle określone, dyskretne linie widmowe konsekwencje - skwantowanie energii i pędu elektronów w atomach ruchu elektronów wewnątrz atomu nie można więc opisać stosując codzienne „obrazowe” pojęcia takie jak położenie, prędkość czy orbita opis atomów traci walory poglądowości (anschaulich) podstawowe znaczenie: laboratoryjne procedury obserwacji i pomiarów i matematyka całkowita nieadekwatność klasycznych pojęć do opisu mikroświata

90 QM a obiektywność poznania
Heisenberg: obiektywny opis przyrody - nie bierze pod uwagę środków obserwacji QM: badamy mikroświat za pomocą materialnych przyrządów pomiarowych, a istnienie elementarnego kwantu działania sprawia, że oddziaływanie między przyrządem a obiektem nie może być dowolnie małe Mechanika kwantowa nie opisuje mikroświata takiego, jakim jest niezależnie od nas, ale opisuje „przyrodę poddaną badaniom, które prowadzimy we właściwy nam sposób, posługując się swoistą metodą”. oddziaływanie między przyrządem a obiektem stanowi integralną część zjawiska to, jaki wynik eksperymentu otrzymamy, zależy w istotny sposób od rodzaju materialnych narzędzi, jakich używamy wynik obserwacji (pomiaru) zależy w istotny sposób od użytych przyrządów pomiarowych i nie informuje nas o własnościach mikroobiektów niezależnych od oddziaływania z przyrządem

91 QM a obiektywność poznania
Heisenberg: W nauce klasycznej „natura jawiła się jak zgodny z prawami proces, przebiegający w przestrzeni i czasie, przy którego opisie można było w zasadzie, jeśli nie w praktyce, pominąć człowieka i jego ingerencję”. „W dawniejszej fizyce pomiar był sposobem ustalenia obiektywnego, i niezależnego od pomiaru, stanu rzeczy. Te obiektywne stany można było opisywać matematycznie i określać dzięki temu ściśle ich więź przyczynową. W teorii kwantów pomiar jest wprawdzie stanem obiektywnym, podobnie jak w dawniejszej fizyce; problematyczne jednak staje się wnioskowanie z pomiaru o obiektywnym przebiegu atomowego toku zdarzeń, który ma być zmierzony, pomiar bowiem ingeruje w ten tok i nie daje się już od niego w pełni oddzielić” Pomiar = oddziaływanie kwantowego obiektu z klasycznym przyrządem „przyrząd” i „obiekt” są pewnymi idealizacjami obiekt kwantowy ma znaczenie jedynie w kontekście jego odniesienia do opisywanego w języku fizyki klasycznej przyrządu pomiarowego Klasyczne przyrządy – istnieją obiektywnie Obiekty kwantowe – funkcja falowa nie opisuje przebiegu zdarzeń w przestrzeni i czasie, raczej „tendencję” (potencjalność)

92 Sytuacje obserwacyjne (Beobachtungssituation)
Heisenberg: QM w odróżnieniu od mechaniki klasycznej nie opisuje rzeczywistości obiektywnej żądanie opisu tego, co zachodzi pomiędzy obserwacjami stanowi dla sytuacji poznawczej w mechanice kwantowej contradictio in adiectio Opisywać = posługiwać się językiem potocznym i terminami fizyki klasycznej a prawa fizyki klasycznej nie dają poprawnego opisu mikroświata między dwoma obserwacjami, można je wyrazić jedynie w postaci prawdopodobieństw, opisu możliwości, a nie faktów

93 Interpretacja kopenhaska - Heisenberg
„Punktem wyjścia interpretacji kopenhaskiej mechaniki kwantowej jest paradoks. Każde doświadczenie fizyczne, niezależ­nie od tego, czy dotyczy zjawisk życia codziennego, czy też mikroświata, może być opisane wyłącznie w terminach fizyki klasycznej. Język fizyki klasycznej jest językiem, którym posługujemy się, gdy opisujemy doświadczenia oraz ich wyniki. Pojęć tych nie umiemy i nie możemy zastąpić innymi. Jednocześnie jednak relacje nieoznaczoności ograniczają zakres stosowalności tych pojęć. O ograniczeniu stosowalności pojęć klasycznych musimy pamiętać, gdy się nimi posługujemy; nie potrafimy jednak udos­konalić tych pojęć”. pojęcia CMj są (w pewnym sensie) a priori wobec QM (por. Kant) pojęcia czasu, przestrzeni i przyczynowości muszą być stosowane do opisu rezultatów eksperymentów nie można inaczej obserwować zdarzeń, jak w formach czasu i przestrzeni zachowanie pojęcia przyczynowości jest konieczne, jeśli chcemy wnosić cokolwiek o świecie na podstawie obserwacji wskazań przyrządu pomiarowego pojęcia CM niezbędne intersubiektywnej komunikacji rezultatów doświadczenia fizyką klasyczną możemy się posługiwać tylko w granicach zakreślonych przez zasadę nieoznaczoności: czasoprzestrzennego opisu i przyczynowości nie można stosować do samych mikroobiektów

94 Dualizm korpuskularno-falowy i komplementarność
Terminy „cząstka”, „fala” nie odnoszą się do samych mikroobiektów „dualistyczne” opisy typu „cząstka”, „fala” pojawiają wyłącznie wówczas, gdy opisujemy rezultaty eksperymentów, co oznacza konieczność użycia pojęć mechaniki klasycznej komplementarne opisy (cząstka, fala) odnoszą się do wzajemnie wykluczających się sytuacji obserwacyjnych – opis eksperymentu musi uwzględniać również przyrząd pomiarowy Zgodnie z zasadą komplementarności Bohra pewną klasę eksperymentów możemy opisać stosując mechaniczne pojęcie cząstki, inną zaś – stosując mechaniczne pojęcie fali. Nie możemy jednak stąd wnosić, że same mikroobiekty są cząstkami lub falami w takim sensie, jak używamy tych terminów w fizyce klasycznej. Pojęcia są komplementarne – wzajemnie wykluczające się, ale jednocześnie uzupełniające do pewnej całości. Relacje nieoznaczoności ograniczają zasięg stosowalności pojęć klasycznych

95 Pojęcia klasyczne jako metafory
klasyczne pojęcia stanowią jedynie „malowidła słowne, za pomocą których staramy się zbliżyć do rzeczywistego procesu. Kiedy zachodzi konieczność ścisłego o czymś orzekania, trzeba często powracać do sztucznego języka matematycznego” Heisenberg – porównanie funkcji prawdopodobieństwa do potencji (Arystoteles)

96 Status praw QM Podczas pomiaru przedmiot i przyrząd stanowią nierozłączną całość Zastosowanie określonej metody ma istotny wpływ na rezultaty poznania „Wskutek tego prawa przyrody, które formułujemy matematycz­nie w teorii kwantów, nie traktują już ostatecznie o cząstkach elementarnych samych w sobie, lecz o naszej znajomości cząstek. Pytania, czy te cząstki istnieją «w sobie» w przestrzeni i czasie, nie można już stawiać w tej formie, ponieważ mówić możemy jedynie o procesach, które zachodzą, gdy za sprawą oddziaływania wzajemnego cząstki elementarnej i jakichś innych układów fizycz­nych, na przykład przyrządów pomiarowych, mamy się czegoś dowie­dzieć o zachowaniu cząstki. Przedstawienie o obiektywnej real­ności ulotniło się zatem w osobliwy sposób, bo nie we mgle jakiegoś nowego, niejasnego, czy też nie zrozumianego jeszcze przedstawienia rzeczywistości, lecz w przejrzystej jasności matematyki, która nie reprezentuje już zachowania cząstki elemen­tarnej, ale naszą znajomość tego zachowania. Fizyk atomowy musi się pogodzić z tym, że jego nauka jest tylko ogniwem w nie kończącym się przewodzie rozprawy człowieka z naturą, i że nie jest mu dane mówić po prostu o naturze «samej w sobie». Człowiek jest zawsze apriorycznością przyrodoznawstwa i, jak to powiedział Bohr, musimy sobie uświadamiać, że w widowisku życia nie jesteśmy tylko widzami, lecz zawsze również współaktorami”.

97 Pojęcia klasyczne jako metafory
klasyczne pojęcia stanowią jedynie „malowidła słowne, za pomocą których staramy się zbliżyć do rzeczywistego procesu. Kiedy zachodzi konieczność ścisłego o czymś orzekania, trzeba często powracać do sztucznego języka matematycznego” Heisenberg – porównanie funkcji prawdopodobieństwa do potencji (Arystoteles)

98 Interferometr Macha–Zehndera
Zwierciadła Z i zwierciadła półprzepuszczalne BS ustawione są tak, że wszystkie fotony docierają do D1; D2 nie rejestruje nic Zablokowanie jednej z dróg – fotony mogą trafić do D1 i do D2 z równym prawdopodobieństwem (każdy foton porusza się określoną drogą): d albo u (brak interferencji) Wniosek: w BS2 następuje interferencja – pojedynczy foton po oddziaływaniu z BS1 znajduje się w superpozycji stanów Fotony (lub elektrony) rejestrowane są jako niepodzielne cząstki Problem: jak niepodzielny foton może poruszać się po dwóch drogach równocześnie

99 Eksperyment z opóźnionym wyborem J. A. Wheeler
Możemy zdecydować, czy zablokować jedną z dróg już po tym, jak foton oddziaływał z BS1 Zablokowanie – foton porusza się po drodze d albo po u – może trafić do D1 lub D2 Następuje redukcja wektora stanu fotonu albo Obie drogi otwarte – interferencja, foton porusza się po dwóch drogach równocześnie Problem: jak nasza decyzja może mieć wpływ na zachowanie fotonu w przeszłości? Wersja kosmiczna eksperymentu – źródło fotonów: kwazar odległy o 5 mld lat: Foton został wyemitowany, gdy nie istniała jeszcze Ziemia. Zblokowanie jednej drogi – foton porusza się po jednej drodze Obie drogi otwarte –foton porusza się po dwóch drogach równocześnie

100 Pomiar zerowy Problem testowania bomb Elitzura I Vaidmana
Bomby mają zapalniki zepsute albo sprawne Zapalnik (przymocowany do Z1) reaguje nawet na pojedynczy foton (wybuch) Jak wyselekcjonować sprawne bomby? CM – zadanie nie ma rozwiązania. QM: Bomba zepsuta – zapalnik działa jak zwierciadło: interferencja – fotony docierają do D1 Bomba sprawna – zapalnik działa jak przyrząd pomiarowy (redukcja wektora stanu) 1. Redukcja oddziaływanie – tracimy bombę 2. Redukcja brak oddziaływania – bomba sprawna (fotony do D2) Pomiar bez oddziaływania: przyrząd (zapalnik bomby) dokonuje pomiaru, że foton do niego nie dotarł. Problem: czy przyczyną zdarzeń mogą być kontrfakty – zdarzenia, które się nie zdarzyły, choć mogły się zdarzyć.

101 Paradoks kota Schrödingera
E. Schrödinger (1935) – eksperyment myślowy, mający wykazać absurdalność kopenhaskiej interpretacji QM Przed pomiarem układ znajduje się w superpozycji stanów: Pomiar: redukcja wektora stanu: kot żywy albo martwy Problem: czy układ makroskopowy (np. kot) może znajdować się w superpozycji stanów? Czy do wykonania pomiaru potrzebny jest świadomy obserwator?