Tensor naprężeń Cauchyego

Prezentacja na temat: "Tensor naprężeń Cauchyego"— Zapis prezentacji:

1 Tensor naprężeń Cauchyego
Wykład 2 Tensor naprężeń Cauchyego Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

2 Wykład 2 – Tensor naprężeń
Skalar, wektor , tensor Wielkość skalarna –liczba , wartość. Danemu punktowi w przestrzeni przypisuje się określoną wartość, np. temperaturę, lub ciśnienie, stężenie, pH itp.. pole skalarne Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

3 Wykład 2 – Tensor naprężeń
Wektor – obiekt który posiada wartość i kierunek w przestrzeni. pole wektorowe – w danym punkcie przestrzeni umieszczony jest wektor prędkość, przyśpieszenie, siła Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

4 Wykład 2 – Tensor naprężeń
tensor – ( nie wchodząc w szczegóły matematyczne) uogólnienie pojęcia wektora; wielkość (tablica liczb), której własności pozostają identyczne niezależnie od wybranego układu współrzędnych. Operować będziemy w przestrzeni trój wymiarowej stosując różne układy odniesienia Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

5 Wykład 2 – Tensor naprężeń
Kartezjański układ odniesienia: wersory jednostkowe których długość wynosi 1 y x Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

6 Wykład 2 – Tensor naprężeń
Cylindryczny układ odniesienia: Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

7 Wykład 2 – Tensor naprężeń
Tensor rzędu n ma 3n komponentów. Tensor rzędu „0”  jeden komponent skalar ( Temperatura) Tensor rzędu „1”  3 składowe  wektor lub ogólnie: Tensor rzędu „2”  9 składowych  tensor np. tensor naprężenia: Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

8 Wykład 2 – Tensor naprężeń
Podstawowe operacje na wektorach: iloczyn skalarny (dot product) (skalar) interpretacja geometryczna: u gdy wektory są prostopadłe !!!! v Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

9 Wykład 2 – Tensor naprężeń
iloczyn wektorowy (cross product) wektor !!!!! Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

10 Wykład 2 – Tensor naprężeń
interpretacja geometryczna: Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

11 Wykład 2 – Tensor naprężeń
Ważne : Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

12 Wykład 2 – Tensor naprężeń
Wprowadźmy operator: Gdy zadziałamy tym operatorem na skalar ( np. ciśnienie) to otrzymamy wektor: gradient ciśnienia dla współrzędnych cylindrycznych: Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

13 Wykład 2 – Tensor naprężeń
Gdy działamy tym operatorem na wektor to możemy otrzymać : skalar gdy działamy przez iloczyn skalarny dywergencja Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

14 Wykład 2 – Tensor naprężeń
wektor gdy działamy przez iloczyn wektorowy Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

15 Wykład 2 – Tensor naprężeń
Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

16 Wykład 2 – Tensor naprężeń
Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

17 Wykład 2 – Tensor naprężeń
tensor gdy działamy przez dyadic product tensor Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

18 Wykład 2 – Tensor naprężeń
Wprowadzenie do biomechaniki przepływów

19 Podstawowa Koncepcja Mechaniki Ośrodków
WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA Rozważmy ciało B w danej chwili czasu t Wyodrębnijmy zamkniętą powierzchnię S wewnątrz obszaru ciała B. x2 ΔF Jakie jest oddziaływanie materiału części zewnętrznej na materiał ograniczony powierzchnią S? n ΔS S x1 Podstawowa Koncepcja Mechaniki Ośrodków Ciągłych B x3 Rozpatrzmy nieskończenie mały element na powierzchni S  ΔS. Można poprowadzić jednostkowy wektor n normalny do ΔS skierowany na zewnątrz powierzchni S. Zasada naprężeń Eulera i Cauchy`ego Możemy teraz rozróżnić dwie strony ΔS w stosunku do wektora n

20 WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Rozpatrzymy materiał leżący po dodatniej stronie normalnej zewnętrznej. Materiał ten wywiera siłę ΔF na przyległą część leżącą po ujemnej stronie normalnej zewnętrznej. Siła ΔF jest punkcją pola elementu powierzchniowego ΔS oraz jego orientacji na powierzchni S. Założymy że gdy to oraz że moment sił działających na element powierzchniowy ΔS względem dowolnego punktu tego elementu znika Graniczny wektor możemy zapisać w postaci: wektor naprężenia wskaźnik n oznacza kierunek normalnej zewnętrznej przedstawia on siłę przypadająca na jednostkę powierzchni (N/m2) (Pa)

21 WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Stwierdzenie, że na dowolnej, myślowo poprowadzonej powierzchni S wewnątrz danego kontinuum istnieje wektorowe pole naprężeń, którego działanie na materiał zawarty we wnętrzu S jest równoznaczne z oddziaływaniem przyległego materiału zewnętrznego stanowi zasadę naprężeń EULERA i CAUCHY`EGO Rozpatrzmy przypadek szczególny, gdy element ΔS jest równoległy do jednej z płaszczyzn współrzędnych. Normalna zewnętrzna jest skierowana w dodatnim kierunku osi xk oznacza wektor naprężenia którego trzy składowe są odpowiednio równe: ΔSk n płaszczyzna prostopadła kierunek osi xk

22 WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
W tak zdefiniowanym przypadku szczególnym wprowadzić można nowy układ oznaczeń dla składowych stanu naprężenia: Składowe wektora naprężenia działające na elementarne pola k=1, k=2, k=3 można zapisać: 1 2 3 Pow. normalna do x1 Pow. normalna do x2 Pow. normalna do x3

23 WYKŁAD 2 : TENSOR NAPRĘŻENIA
Notację dobrze uwidacznia rys: Składowe : x3 zwane są naprężeniami normalnymi podczas gdy pozostałe składowe zwane są naprężeniami stycznymi x2 Istnieje wielka rozbieżność oznaczeń stanu naprężenia. x1 Najbardziej rozpowszechniony dla prostokątnego kartezjańskiego układu współrzędnych x,y,z: dla naprężeń normalnych

24 Wykład 2 – Tensor naprężeń
Można więc zdefiniować tensor: lub w postaci: naprężenia styczne (deviatoric part) ciśnienie (isotropic part) reprezentuje pole sił na jednostkę powierzchni powstałych w płynie w odpowiedzi na deformację elementu płynu. Wprowadzenie do biomechaniki przepływów