Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej

Prezentacja na temat: "Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej"— Zapis prezentacji:

1 Metody matematyczne w Inżynierii Chemicznej
Rozwiązywanie równań różniczkowych

2 Równanie różniczkowe rzędu n
Wzór ogólny

3 Cel rozwiązania równania różniczkowego
Matematyk: rozwiązanie analityczne w postaci funkcji Inżynier: rozwiązanie w postaci wartości funkcji dla kolejnych zmiennych niezależnych, czyli zbiór par (x1, y1), (x2,y1),...,(xn, yn) kiedy dana jest funkcja f(x, y, y', y",..,y(n) )=0

4 Warunki początkowe Zagadnienie początkowe Zagadnienie brzegowe

5 Warunki początkowe Zagadnienie początkowe – wszystkie równania warunków początkowych podane są dla tej samej zmiennej niezależnej Np. dla równania: Warunki początkowe:

6 Warunki początkowe Zagadnienie brzegowe –równania warunków początkowych podane są dla co najmniej dwóch wartości zmiennej niezależnej Np. dla równania: Warunki brzegowe: i i lub

7 Równania wyższych rzędów
Przekształca się do układów równań rzędu pierwszego Np. w równaniu: podstawmy: stąd:

8 Równania wyższych rzędów
Otrzymujemy układ równań pierwszego rzędu:

9 Równania wyższych rzędów
Dla równanie trzeciego rzędu

10 Równania wyższych rzędów
Równanie trzeciego rzędu przechodzi w układ 3 równań pierwszego rzędu

11 Rodzaje metod rozwiązywania r.r.
Metody wielokrokowe: yi+1 oblicza się na podstawie znanych yi, yi-1, yi-2,.., yi-p. Do wyliczenia punktu (xi+1, yi+1) wymagana jest znajomość p+1 punktów obliczonych wcześniej Metody klasy Rungego-Kutty: yi+1 oblicza się na podstawie yi i pewnych wartości pośrednich F(xi+a, yi+b), gdzie a należy do przedziału < xi, xi+1 > b oblicza się wg algorytmu danej metody

12 Metoda Eulera z warunkami początkowymi II rząd

13 Metoda Eulera dla równań 2-go rzędu
z warunkami początkowymi z warunkami początkowymi

14 Metoda Eulera dla równań 2-go rzędu

15 Metody wielokrokowe Typy
Wykorzystujące wzory na wartość pochodnej w punkcie Wykorzystujące wzory całkowania numerycznego

16 Zasada metod wielokrokowych
xi+1 xi-p xi-3 xi-2 xi-1 xi p – oznacza ilość punktów które trzeba mieć do dyspozycji przed obliczeniem punktu i+1 oprócz punktu i

17 Metody wielokrokowe typ 1.
Pochodną w równaniu: Podstawia się odpowiednim wyrażeniem. Jeżeli zastosować najprostszy wzór na pochodną w przód: Po podstawieniu: i przekształceniu: m. Eulera, p=0

18 Metody wielokrokowe typ 1.
Jeżeli zastosować dokładniejszy wzór na pochodną: Po podstawieniu: i przekształceniu: p=1

19 Metody wielokrokowe typ 1.
Jeszcze większą dokładność otrzyma się stosując wzór: Po podstawieniu: i przekształceniu: p=2

20 Metody wielokrokowe typ 1. Podsumowanie
Ogólny wzór metod wielokrokowych jawnych

21 Metody wielokrokowe typ 2.
Wychodzą z operacji całkowania równania: W granicach przedziału <i-p, i+1> Lewa strona jest dokładnie równa różnicy wartości funkcji między punktami i-p, i+1:

22 Metody wielokrokowe typ 2.
Prawą stronę oblicza się całkując numerycznie jedną z metod. Jeżeli zastosować metodę prostokątów to p = 0 m. Eulera!!

23 Metody wielokrokowe typ 2.
Jeżeli zastosować metodę trapezów to p = 0 Równanie to jest uwikłane ze względu na yi+1. Metody takie nazywane są niejawnymi

24 Metody wielokrokowe typ 2.
Ponieważ to wartość pochodnej w punkcie i Można ją oznaczyć , co upraszcza zapis Metodę wielokrokową bazującą na całkowaniu metodą trapezów można ostatecznie zapisać Rozwiązanie wymaga wykonania obliczeń iteracyjnych (w przypadku ogólnym)

25 Metody wielokrokowe typ 2.
Wstępne oszacowanie wartości yi+1. Obliczenie pochodnej y'i+1=F(xi+1, yi+1) Obliczenie yi+1 z wybranego wzoru Porównanie oszacowanej i obliczonej wartości yi+1 . Jeżeli różnią się o więcej niż założona wartość e to powrót do punktu 2. Metody oparte o wzory całkowe mają większą dokładność niż bazujące na równaniach na obliczenie pochodnych

26 Metody wielokrokowe typ.2
Stosując wzór całkowy Simpsona (p = 1) Otrzymuje się wzór niejawny

27 Metody wielokrokowe typ.2 podsumowanie

28 Metody wielokrokowe wzór ogólny
Jest to ogólny wzór na metody wielokrokowe b0 = 0 to wzór jest jawny, b0  0 wzór jest niejawny

29 Metody wielokrokowe dwuetapowe
Pierwszy krok można wykonać stosując metodę jawną opartą o wzory na pochodną. Np.: 1. Pierwsze przybliżenie y*i+1 jest nazywane PROGNOZĄ (PREDICTOR) 2. Obliczenie pochodnej y'i+1=F(xi+1 , y*i+1 ) 3. Lepsze przybliżenie yi+1 Nazywane korektą (uściśleniem) - CORRECTOR

30 Metody wielokrokowe dwuetapowe
Punkty 2. i 3. powtarzane są iteracyjnie. Warunek zakończenia obliczeń iteracyjnych można przedstawić następująco: Ten sposób obliczeń nazywany jest metodą predictor-corrector. Przedstawiona metoda nosi nazwę zmodyfikowanej metody Eulera

31 Metody wielokrokowe predictor-corrector
Metoda Milne'a (1) Prognoza: Korekta:

32 Metody wielokrokowe predictor-corrector
Metoda Milne'a (2) Prognoza: Korekta:

33 Metody wielokrokowe predictor-corrector
Wzory Adamsa Prognoza (Adamsa-Bashfortha): Korekta (Adamsa-Moultona):

34 Obliczanie punktów początkowych w metodach wielokrokowych
Stosując metody wielokrokowe mamy dany warunek początkowy typu zagadnienie początkowe czyli współrzędne punktu początkowego x0 i y0. Aby wykonać obliczenia metodą o pewnej wartości p potrzeba jeszcze p par xi, yi. Np. W pierwszej metodzie Milne'a p = 3. Pierwszą wartość jaką możemy obliczyć jest y4 a innym sposobem trzeba obliczyć y1, y2, y3. Można wykorzystać rozwinięcie w szereg Taylora w otoczeniu punktu x0.

35 Stabilność i zbieżność obliczeń
x0 y0 y3 y2 Y x3 x2 x1 y1 h Zbieżność oznacza, że:

36 Stabilność i zbieżność obliczeń
We wszystkich wzorach błąd jest dodatnią potęgą kroku: Ponieważ krok jest bardzo mały h << 1 oraz stąd Przedstawione metody spełniają warunek zbieżności.

37 Stabilność i zbieżność obliczeń
Definicja stabilności Rozwiązanie numeryczne równania różniczkowego jest stabilne, jeżeli błąd wniesiony do obliczeń przez zaokrąglenie lub metodę zostanie w trakcie obliczeń stłumiony lub rośnie wolniej od obliczonych wartości (błąd względny maleje)

38 Stabilność i zbieżność obliczeń
Stabilność, tak jak zbieżność, zależy od kroku. Błąd k-tego kroku obliczeń numerycznych to suma błędów metody i zaokrąglenia:

39 Stabilność i zbieżność obliczeń
hopt

40 Algorytm rozwiązywania równań różniczkowych metodą jawną O(h3)
1. Czytaj parametry punktów startowych x0, y0, x1, y1 2. Czytaj końcową wartość xk i krok h 3. Podstaw za i wartość 2 4. Oblicz xi = x0+i*h 5. Oblicz yi = yi-2+2hF(xi-1, yi-1) 6. Zwiększ i o 1 7. Oblicz xi = x0+i*h 8. Jeżeli xi <= xk to idź do punktu 5 9. Podstaw za n wartość i-1 10. Podstaw za i wartość 0 11. Drukuj xi oraz yi 12. Zwiększ i o 1 13. Jeżeli i<=n to idź do punktu 11 14. Koniec

41 Algorytm rozwiązywania równań różniczkowych metodą typu predictor-corrector
1. Czytaj parametry punktów startowych x0, y0, x1, y1 2. Czytaj końcową wartość xk oraz krok h 3. Podstaw za i wartość 1 4. Oblicz xi+1 = x0+(i+1)*h 5. Oblicz yi+1 = yi-1+2hF(xi, yi) 6. Przyjmij y*= yi+1 7. Oblicz 8. Jeżeli |y* – yi+1|>h3 to idź do punktu 6 9. Zwiększ i o 1 10. Oblicz xi+1 = x0+(i+1)*h 11. Jeżeli xi+1 <= xk to idź do punktu 5

42 Algorytm rozwiązywania równań różniczkowych metodą typu predictor-corrector
12. Podstaw za n wartość i-1 13. Podstaw za i wartość 0 14. Drukuj xi oraz yi 15. Zwiększ i o 1 16. Jeżeli i<=n to idź do punktu 14 17. Koniec

43 Rozwiązywanie równań różniczkowych
Metody klasy Rungego-Kutty

44 Zalety metod klasy Rungego-Kutty
Brak konieczności stosowania dodatkowych algorytmów do obliczenia punktów początkowych Możliwość zmiany kroku w trakcie obliczeń

45 Zasada metod klasy Rungego-Kutty
Bezpośrednie zastosowanie rozwinięcia wymaga użycia trudnych do obliczenia pochodnych wyższych rzędów Metody klasy R-K polegają na podzieleniu odcinka h na N części i wykorzystaniu tylko pochodnych 1-go rzędu z zachowaniem założonej dokładności.

46 Zasada metod klasy Rungego-Kutty
Przyrost k aproksymuje się wyrażeniem liniowym o budowie zależnej od rzędu metody R-K Dla metody drugiego rzędu wyrażenie to ma postać: w którym: Parametry: a, b, m, n to stałe tak dobrane by błąd aproksymacji k przez K miał rząd 3 Składniki równania na K należy rozwinąć w szereg Taylora z 1 pochodną wokół punktu F(x0,y0)

47 Zasada metod klasy Rungego-Kutty
F(x0,y0) to środek rozwinięcia, możliwe jest tylko rozwiniecie k2: Po podstawieniu do wzoru na k2: I ostatecznie do wzoru na K

48 Zasada metod klasy Rungego-Kutty
Ponieważ: Aby wyznaczyć parametry a, b, n, m trzeba porównać z rozwinięciem k

49 Zasada metod klasy Rungego-Kutty
Można „dowolnie” przyjąć 1 wartość Przyjmijmy m=1 otrzymamy: b = ½ a= ½ n = 1

50 Zasada metod klasy Rungego-Kutty
Ogólnie:

51 Metoda Rungego-Kutty rzędu 4-tego (Rungego-Simpsona)

52 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do układów rr. i rr. wyższego rzędu.

53 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do układów rr. i rr. wyższego rzędu.
Wektor wartości w kroku i -tym

54 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do układów rr. i rr. wyższego rzędu.
Funkcja wektorowa (prawe strony równań)

55 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do układów rr. i rr. wyższego rzędu.
Wektory współczynników

56 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu.
Podstawmy

57 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu.
Funkcja wektorowa: i-ty wektor wartości

58 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu.
Wektory współczynników:

59 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu.
Wektory współczynników:

60 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu.

61 Metoda Rungego-Kutty algorytm
Czytaj punkt startowy x0, y0, xk i ilość podziałów n h=(xk - x0)/n. Przyjmij i=0 Oblicz k1=hF(xi,yi), k2=hF(xi+1/2h,yi+1/2k1), k3=hF(xi+1/2h,yi+1/2k2), k4=hF(xi+h,yi+k3) Oblicz K=1/6(k1+2(k2+k3)+k4) Oblicz yi+1=yi+K xi+1 = xi+h Zwiększ i o 1 Jeżeli i<n idź do punktu 4 Drukuj xj, yj Jeżeli i<=n idź do punktu11 Koniec