Systemy dynamiczne Wykład 3b – 4a /2016

Prezentacja na temat: "Systemy dynamiczne Wykład 3b – 4a /2016"— Zapis prezentacji:

1 Systemy dynamiczne Wykład 3b – 4a - 2015/2016
- studia stacjonarne Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład 3b – 4a /2016 Odpowiedzi - systemy liniowe stacjonarne

2 System ciągły; model stanu (przestrzeni stanu) - odpowiedzi
Poszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Rozważmy najpierw przypadek skalarny (jednowymiarowy, rzędu pierwszego) Klasyczne podejście 1.

3 2. 3. Składowa swobodna Składowa wymuszona

4 4.

5 Przykład vC(0- ) = 1V x(t) = uc(t)

6

7 System ciągły; model stanu (przestrzeni stanu) – odpowiedzi
Poszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Weźmy równanie stanu: Rozwiązanie: Składowa swobodna Składowa wymuszona

8 Składowa swobodna – rozwiązanie równania jednorodnego
Rozwiązanie równania jednorodnego proponujemy w postaci: gdzie Sprawdzenie

9 Rozwiązanie ogólne – rozwiązanie równania jednorodnego, zatem:
gdzie Przejdziemy do wyznaczenia rozwiązania szczególnego – składowej wymuszonej – rozwiązania równania niejednorodnego Rozwiązanie równania niejednorodnego proponujemy w postaci:

10 Rozwiązanie to musi spełniać równanie niejednorodne
z drugiej strony, podstawiając proponowane rozwiązanie do równania stanu porównując

11 podstawiając ostatni wynik do proponowanego rozwiązania
Rozwiązanie szczególne – rozwiązanie równania niejednorodnego, zatem: Podsumowując – rozwiązanie równania stanu Składowa swobodna Składowa wymuszona

12 Weźmy równanie wyjścia:
Wyjście policzymy podstawiając uzyskany wynik rozwiązania równania stanu Podsumowanie:

13 Kluczowy problem przy korzystaniu z tego rozwiązania – obliczenie
- macierz tranzycji stanu – macierz fundamentalna I sposób – z definicji szeregu wykładniczego

14 Przykład 1: Model części mechanicznej silnika prądu stałego, przy zaniedbaniu dynamiki obwodu twornika, wpływu na ten odwód obwodu wzbudzenia i pominięciu momentu obciążenia zewnętrznego można zapisać Przyjmując: otrzymamy Przyjmijmy dla uproszczenia rachunków: oraz

15 Policzmy potęgi A:

16 Korzystamy z definicji
Czasem nie ma potrzeby liczenia granicy szeregu Przykład 2:

17 Policzmy potęgi A:

18 Szereg potęgowy zawiera skończoną liczbę wyrazów

19 Wynik ten można uogólnić na dowolne n

20 II sposób pokażemy znajdując najpierw model przestrzeni stanu w dziedzinie zmiennej s

21 Przez porównanie rozwiązania równania stanu i wyjścia
Możemy napisać

22 Przykład 3: macierz dołączona wyznacznik

23 Otrzymujemy:

24 Rozkład na ułamki proste elementów macierzy
Podobnie

25 Otrzymujemy Ostatecznie macierz tranzycji

26 Przykład 4: Policzymy odpowiedzi układu przy zadanych warunkach początkowych na jednostkowe wymuszenie skokowe Policzmy najpierw:

27 Stąd: Stąd bezpośrednio:

28 Dla podanych warunków początkowych składowa swobodna odpowiedzi stanu i wyjścia :

29 Dla skokowego jednostkowego wejścia transformata Laplace’a składowej wymuszonej odpowiedzi stanu i wyjścia (w dziedzinie zmiennej s)

30 Dla skokowego jednostkowego wejścia składowa wymuszona odpowiedzi stanu i wyjścia
Pełna odpowiedź stanu i wyjścia

31 Funkcja przejścia - transmitancja
Związki z transmitancją Dla układu SISO: Odpowiedź wyjścia: Funkcja przejścia - transmitancja Funkcja tranzycji stanu

32 Otrzymaliśmy: Transmitancja: Odpowiedź impulsowa:

33 System dyskretny; model stanu (przestrzeni stanu) – odpowiedzi
Poszukujemy rozwiązań Będziemy przyjmowali: Rozwiązanie równania stanu w postaci rekursywnej:

34 Macierz tranzycji stanu:
W ogólnej postaci: Macierz tranzycji stanu: Jest to odpowiednik w dziedzinie czasu ciągłego macierzy Porównanie odpowiedzi stanu Składowa swobodna Składowa wymuszona

35 Odpowiedź wyjścia: Możemy np. policzyć odpowiedź wyjścia na sekwencję impulsu jednostkowego:

36 Transformata Z Odpowiednikiem transformacji s Laplace’a dla systemów ciągłych jest transformacja z dla systemów dyskretnych Interesują nas podobnie: sygnały o wartości zero dla ujemnych chwil czasowych i jednostronna transformacja z Dwa alternatywne sposoby zdefiniowania: Definicja 1: Mając daną sekwencję sygnałów jej transformację z definiujemy jako Zmienną z-1 możemy traktować w podanej definicji jako operator opóźnienia w czasie – wskaźnik pozycji sygnału w sekwencji

37 Pożytki: Zastąpienie nieskończonego ciągu, jego sumą (szeregiem) mogącą mieć użyteczną postać do analizy Pytania: - istnienie sumy – zbieżność szeregu - możliwość odtworzenia z wynikowego wyrażenia zmiennej z, elementów sekwencji w dziedzinie czasu

38 Definicja druga związana jest z sekwencją uzyskaną z próbkowania z okresem Ts sygnału ciągłego i transformacją Laplace’a Ilustracja związków dziedzina ciągła – dziedzina dyskretna poprzez idealny impulsator gdzie

39 Definicja 2: Mając daną sekwencję sygnałów z próbkowania ciągłej funkcji f(t) z okresem T s w postaci Transformacja Laplace’a tej sekwencji dana jest Definiując zmienną z Otrzymujemy

40 Doszliśmy do określenia transformacji z
lub z zastrzeżeniem, że transformata z istnieje tylko wtedy, gdy istnieje pewne z dla którego szereg z definicji jest zbieżny

41 Rozważmy sekwencję skoku jednostkowego
Przykład 5 Rozważmy sekwencję skoku jednostkowego z określonym okresem próbkowania Mamy Jeżeli szereg jest zbieżny i transformata z istnieje Szereg geometryczny zbieżny

42 Przykład 6 Rozważmy funkcję Przy próbkowaniu z okresem Transformata z Jeżeli szereg jest zbieżny i transformata istnieje

43 Transformaty z wybranych sekwencji sygnałów
Sekwencja Transformata Z

44 Wybrane właściwości - transformaty z funkcji przesuniętych w czasie gdzie k jest dodatnie oraz - przesunięcie wstecz - przesunięcie wprzód - twierdzenie o wartości początkowej - twierdzenie o wartości końcowej

45 Korzystając z definicji i podanych własności możemy dokonać transformacji dyskretnego równania stanu i znaleźć jego odpowiednik w dziedzinie zmiennej z otrzymamy Ostatnie równanie może być rozwiązane względem transformaty X(z) Wprowadzając oznaczenie Możemy to rozwiązanie zapisać w postaci

46 Równanie wyjścia w dziedzinie zmiennej z

47 Przez porównanie rozwiązania równania stanu i wyjścia
Możemy napisać

48 Dla skorzystania z tej ostatniej zależności potrzebna jest umiejętność przeprowadzania transformacji odwrotnej z, czyli znajdowania wartości funkcji w chwilach próbkowania Transformacja odwrotna znajduje tylko wartości funkcji w chwilach próbkowania, ale nie umożliwia znalezienia okresu próbkowania Dla znajdowania wartości funkcji w chwilach próbkowania – sekwencji wartości, praktycznie znajduje się wykorzystując  dzielenie wielomianów  rozkład na ułamki

49  Dzielenie wielomianów
Z definicji transformacji Z Jeżeli w jakiś sposób potrafimy przedstawić funkcję F(z) w postaci to jest oczywiste, że Jeżeli F(z) jest funkcją wymierną – ułamkiem wielomianów, to wartości ci mogą być znalezione drogą dzielenia wielomianów

50 Przykład 7 Znaleźć f[k] - dzielimy licznik i mianownik przez największa potęgę z

51 - dzielimy licznik przez mianownik

52 - obliczamy wartość początkową
Otrzymaliśmy

53  rozkład na ułamki Metoda prawie identyczna to metody używanej w odwrotnej transformacji Laplace’a Ponieważ większość funkcji z ma składnik z w liczniku, jest czasem dogodniej przeprowadzać rozkład na ułamki proste dla F(z)/z niż dla F(z) Procedura 1. znaleźć rozkład na ułamki proste F(z)/z lub F(z) 2. określ odwrotną transformatę f[k] korzystając z tablic transformat z

54 Przykład 8 Przypadek: pojedyncze pierwiastki rzeczywiste Znaleźć transformatę odwrotną funkcji:  z dzieleniem F(z)/z - rozkład na ułamki proste

55 stąd - spojrzenie w tablice Można zauważyć zatem

56  bez dzielenia F(z) - rozkład na ułamki proste stąd

57 - spojrzenie w tablice zatem

58 Wyprowadziliśmy uprzednio równanie stanu i równanie wyjścia dla systemu dyskretnego
Odwrotna transformacja Z wyprowadzonych równań

59 Funkcja przejścia - transmitancja
Dla warunku początkowego Funkcja przejścia - transmitancja Wejście Wyjście Transmitancja systemu dyskretnego Transformata wyjścia systemu dyskretnego

60 Model dyskretny systemu ciągłego (patrz Podstawy modelowania i identyfikacji)
Odpowiedź stanu systemu ciągłego (t0 = 0) lub Dla dwóch kolejnych chwil próbkowania Przemnażając przez wyrażenie na i odejmując od wyrażenia na

61 Przyjmując, że u(t) jest stałe pomiędzy chwilami próbkowania Odpowiedź stanu systemu ciągłego (t0 = 0) Zmieniając zmienna całkowania Definiujemy macierze możemy napisać równanie stanu lub w postaci uproszczonej

62 Odpowiadające równanie wyjścia
przy czym Dla wartości własnych macierzy A oraz AD zachodzi (twierdzenie Frobenius’a)

63 Podsumowanie Mając model systemu ciągłego: Model systemu dyskretnego: przy czym:

64 Przykład 9 Dany jest model transmitancyjny systemu ciągłego Zbudować model stanu ciągły i dyskretny Metoda zmiennej pomocniczej

65 Zmienne stanu Równania stanu w dziedzinie zmiennej s Równania stanu w dziedzinie zmiennej t Równania wyjścia w dziedzinie zmiennej s Równania wyjścia w dziedzinie zmiennej t

66 Ostatecznie Macierz tranzycji w dziedzinie zmiennej s (rezolwenta) Macierz tranzycji w dziedzinie zmiennej t

67 Wprowadzenie impulsatora i ekstrapolatora zerowego rzędu
Dla okresu próbkowania Ts = 1s

68

69 Przykład 10 Dany jest model systemu ciągłego w przestrzeni stanu Znaleźć odpowiedź modelu dyskretnego na wymuszenie skokowe jednostkowe Wartości własne systemu są zespolone, sprzężone Układ drugiego rzędu oscylacyjny, o pulsacji drgań nietłumionych i współczynniku tłumienia odpowiednio

70 Dyskretyzacja z wprowadzeniem impulsatora i ekstrapolatora zerowego rzędu
Dla Ts = 0.1 otrzymamy I oczywiście

71 Wartości własne macierz AD
Sprawdzić! Stan i wyjście policzymy rekurencyjnie, zakładając zerowe warunki początkowe

72 Wynik

73 Przebieg zmiennych stanu, Ts = 0.1s

74 Przebieg zmiennej wyjścia, Ts = 0.1s

75 Przebieg zmiennej wyjścia, Ts = 0.5s

76 Przebieg zmiennej wyjścia, Ts = 2s

77 Transmitancja, Ts = 0.1s

78 Ostatecznie