Indukcja a prawdopodobieństwo

Prezentacja na temat: "Indukcja a prawdopodobieństwo"— Zapis prezentacji:

1 Indukcja a prawdopodobieństwo

2 Indukcja a prawdopodobieństwo
Stopień przekonania Żadnej hipotezy nie da się udowodnić indukcyjnie. Niemniej hipoteza może być w mniejszym lub większym stopniu potwierdzona, zależnie od aktualnego świadectwa empirycznego. Przekonanie jest stopniowalne, podobnie jak potwierdzenie. Indukcja a prawdopodobieństwo

3 Stopień przekonania (2)
Racjonalny stopień przekonania o prawdziwości hipotezy powinien odpowiadać stopniu jej potwierdzenia. Jak mierzyć stopień przekonania? Indukcja a prawdopodobieństwo

4 Stopień przekonania (3)
Niech s1 and s2 oznaczają stawki w zakładzie zawartym między dwiema osobami. Iloraz s1/s1+ s2 nazywa ilorazem zakładu dla pierwszego gracza. Stopień przekonania gracza o tym, że wygra, jest równy najwyższemu ilorazowi zakładu, który gracz jest skłonny zaakceptować. Indukcja a prawdopodobieństwo

5 Indukcja a prawdopodobieństwo
Dutch-Book argument Załóżmy, że gracz zawiera zakłady na wszystkie możliwe wyniki. Jego system zakładów nazywa się holenderski wtedy i tylko wtedy, gdy jego zwrot z zakładów może być ujemny. Przykład: przypuśćmy, że gracz stawia 2 zł przeciw 10, że będą przedterminowe wybory oraz 9 zł przeciw 10, że nie. Indukcja a prawdopodobieństwo

6 Indukcja a prawdopodobieństwo
Dutch-Book argument Holenderski system zakładów jest nieracjonalny. System zakładów nie jest holenderski wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia aksjomaty rachunku prawdopodobieństwa. Zatem racjonalny układ stopni przekonania musi spełniać aksjomaty rachunku prawdopodobieństwa. Indukcja a prawdopodobieństwo

7 Indukcja a prawdopodobieństwo
Aksjomaty: P(A) ≥ 0 P(A  B) = P(A) + P(B), A  B   P(A  A) = 1 Indukcja a prawdopodobieństwo

8 Indukcja a prawdopodobieństwo
Aksjomaty: P(A) ≥ 0 P(A  B) = P(A) + P(B), A  B   P(A  A) = 1 Prawdopodobieństwo warunkowe (względne): P(A|B) = P(A  B)/P(B) Indukcja a prawdopodobieństwo

9 Indukcja a prawdopodobieństwo
Aksjomaty: P(A) ≥ 0 P(A  B) = P(A) + P(B), A  B   P(A  A) = 1 Prawdopodobieństwo warunkowe (względne): P(A|B) = P(A  B)/P(B) Przykład: Prawdopodobieństwo, że popełnię błąd, jeżeli jestem pijany jest równe prawdopodobieństwu, że popełnię błąd i będę (jednocześnie) pijany podzielonemu przez prawdopodobieństwo, że jestem pijany. Indukcja a prawdopodobieństwo

10 Indukcja a prawdopodobieństwo
Aksjomaty: P(A) ≥ 0 P(A  B) = P(A) + P(B), A  B   P(A  A) = 1 Prawdopodobieństwo warunkowe (względne): P(A|B) = P(A  B)/P(B) Zadanie: określić prawdopodobieństwo P(H|P), tj. że hipoteza H jest prawdziwa, pod warunkiem, że mamy świadectwo empiryczne E. Do tego jednak trzeba znać P(E). Skąd? Indukcja a prawdopodobieństwo

11 Indukcja a prawdopodobieństwo
Bayesianizm Wybór prawdopodobieństwa wyjściowego nie ma znaczenia. Racjonalność polega na sposobie modyfikowania prawdopodobieństw w reakcji na nowe świadectwa. Thomas Bayes ( ) Indukcja a prawdopodobieństwo

12 Indukcja a prawdopodobieństwo
Bayesianizm Prawdopodobieństwa należy modyfikować zgodnie z regułą warunkowania (conditionalization rule) opartą na twierdzeniu Bayesa: P(H|E) = P(E|H)P(H)/P(E) gdzie P(E) = P(E|H)P(H) + P(E|H)P(H) Thomas Bayes ( ) Indukcja a prawdopodobieństwo

13 Indukcja a prawdopodobieństwo
Bayesianim Prawdopodobieństwa wyliczone w ten sposób zmierzają do tej samej granicy bez względu na wybór prawdopodobieństwa wyjściowego. Thomas Bayes ( ) Indukcja a prawdopodobieństwo

14 Jak stosować regułę warunkowania?
Paradoks samochodowy (Placek) W = „Dojadę (z Krakowa) do Warszawy bez tankowania” J = „Dojadę do Janek bez tankowania” P(W) = 0,7 P(J) = 0,9 P(W|J) = P(J|W)P(J)/P(J) = 0,7/0,9 = 7⁄9 Indukcja a prawdopodobieństwo

15 Jak stosować regułę warunkowania?
Paradoks samochodowy (Placek) W = „Dojadę (z Krakowa) do Warszawy bez tankowania” J = „Dojadę do Janek bez tankowania” P(W) = 0,7 P(J) = 0,9 P(W|J) = P(J|W)P(W)/P(J)=0,7/0,9 = 7⁄9 Co takiego stało się, gdy dotarłem do Janek, że powinienem być mocniej przekonany, iż uda mi się dojechać do Warszawy bez tankowania? Indukcja a prawdopodobieństwo

16 Problem istotności świadectwa
Warunkowanie w następstwie dotarcia do Janek jest słuszne, jeżeli proces jest losowy. Niemniej, zgodnie z naszą wiedzą, proces jest przyczynowy. Szanse dotarcia do celu bez tankowania zależą od zużycia paliwa, ono zaś zależy z kolei od natężenia ruchu drogowego i pogody. Indukcja a prawdopodobieństwo

17 Problem istotności świadectwa (2)
Racjonalne warunkowanie wymaga zatem wcześniejszego założenia pewnych hipotez, które są podstawą oceny istotności świadectwa. Jeżeli te hipotezy należałoby oceniać za pomocą bayesiańskiej logiki indukcji, powstaje regres w nieskończoność. Indukcja a prawdopodobieństwo

18 Indukcja a prawdopodobieństwo
Dlaczego pojęcie prawdopodobieństwa nie nadaje się do skonstruowania logiki indukcji Wniosek: racjonalne stosowanie rachunku prawdopodobieństwa zawsze opiera się na jakichś hipotezach. Zatem to hipotezy uwiarygodniają zastosowanie rachunku prawdopodobieństwa, a nie na odwrót. Indukcja a prawdopodobieństwo