Pobierz prezentację
Pobieranie prezentacji. Proszę czekać
OpublikowałBogdan Chmielewski Został zmieniony 8 lat temu
1
Matematyka I
2
Definicja funkcji jednej zmiennej Niech X i Y oznaczają dowolne niepuste zbiory. Jeżeli każdemu elementowi x ze zbioru X przyporządkowujemy dokładnie jeden element y ze zbioru Y to mówimy, że została określona funkcja f odwzorowująca zbiór X w zbiór Y : f : X ⟶Y lub x ⟶ y = f(x); y = f(x) x ∊ X Własności funkcji: 1. Różnowartościowość 2. Monotoniczność (rosnąca, malejąca, stała) 3. Parzystość 4. Ekstrema lokalne funkcji (minimum, maksimum) 5. Asymtoty funkcji (ukośna, pionowa, pozioma)
3
Funkcje elementarne Każdą funkcję, którą można otrzymać z funkcji 1)y = c c R(funkcja stała) 2)y = x(funkcja tożsamościowa) 2)y = a x 0 < a 1(funkcja wykładnicza) 3)y = sin x(funkcja trygonometryczna) przez dokonanie na nich skończonej liczby operacji dodawania, mnożenia, dzielenia, odwracania i składania nazywamy funkcją elementarną. Pozostałe funkcje nazywamy funkcjami nieelementarnymi
4
Granica lewostronna funkcji Liczba g jest lewostronną granicą funkcji f(x) w punkcie x 0 co zapisujemy: jeżeli dla dowolnej liczby > 0 istnieje taka liczba > 0, że zachodzi |f(x) – g| < dla x D spełniających warunek x 0 – < x < x 0, tj.
5
Granica lewostronna funkcji y x x 0 – g + g g – x0x0
6
Granica prawostronna funkcji jeżeli dla dowolnej liczby > 0 istnieje taka liczba > 0, że |f(x) – g| < dla x D spełniających warunek x 0 < x < x 0 + , tj. Liczba g jest prawostronną granicą funkcji f(x) w punkcie x 0 co zapisujemy:
7
Granica funkcji w punkcie Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f(x) w punkcie x 0, co zapisujemy jeżeli istnieją granice lewostronna i prawostronna funkcji f(x) w punkcie x 0 i obie są równe g tj. Definicja równoważna:
8
Granica funkcji w punkcie x y y=f(x) x0x0 x0+x0+ x0 – x0 – g – g + g + g
9
Granica niewłaściwa funkcji Mówimy, że + jest lewostronną granicą (niewłaściwą) w punkcie x 0, co zapisujemy jeżeli dla dowolnej liczby M > 0 istnieje taka liczba >0, że f(x)>M dla x D spełniających warunek x 0 – < x < x 0, tj. Uwaga: analogicznie definiujemy prawostronną granicę niewłaściwą +
10
Granica niewłaściwa – lewostronna y x x 0 – M x0x0
11
Granica niewłaściwa funkcji Mówimy, że – jest lewostronną granicą (niewłaściwą) w punkcie x 0, co zapisujemy jeżeli dla dowolnej liczby M > 0 istnieje taka liczba >0, że f(x)<–M dla x D spełniających warunek x 0 – < x < x 0, tj. Uwaga: analogicznie definiujemy prawostronną granicę niewłaściwą –
12
y x x 0 – –M–M x0x0
13
Granica funkcji przy x + Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji przy x + , co zapisujemy jeżeli dla dowolnej liczby > 0 istnieje taka liczba K >0, że |f(x) – g| K, tj. Uwaga: analogicznie definiujemy granicę funkcji przy x –
15
Granica niewłaściwa funkcji przy x + Mówimy, że funkcja dąży do - przy x + , co zapisujemy jeżeli dla dowolnej liczby M > 0 istnieje taka liczba K >0, że f(x) K, tj. Uwaga: analogicznie definiujemy granicę niewłaściwe + i – funkcji przy x –
16
y x K –M–M
17
Granica niewłaściwa funkcji przy x + Mówimy, że funkcja dąży do + przy x + , co zapisujemy jeżeli dla dowolnej liczby M > 0 istnieje taka liczba K >0, że f(x)>M dla x D spełniających warunek x>K, tj. Uwaga: analogicznie definiujemy granicę niewłaściwą – funkcji przy x + oraz granice niewłaściwe + i – funkcji przy x –
18
Przykład granicy niewłaściwej y x
19
Przykłady: granice funkcji y=f(x) x y x 0 =1 0 3
20
Twierdzenia o granicach (1) Jeżeli istnieją granice dwóch funkcji oraz to 1) 2) 3) Uwaga: twierdzenie można uogólnić na granice jednostronne oraz granice w nieskończoności (x ) pod warunkiem, że g 2 0
21
Twierdzenia o granicach (2) Uwaga: twierdzenie można uogólnić na granice jednostronne oraz granice w nieskończoności (x ) gdy g 1 >0; i – gdy g 1 <0 gdy g 1 >0; i – gdy g 1 <0 Jeżeli: to: 1. 2. 3. 4. 5.
22
Twierdzenia o granicach (3) Jeżelioraz to Uwaga: twierdzenie można uogólnić na granice jednostronne oraz granice w nieskończoności (x )
23
Twierdzenia o granicach (4) Jeżeli i f(x)>0 w pewnym sąsiedztwie x 0, to, gdy a > 0, oraz – , gdy a < 0 Uwaga: twierdzenie można uogólnić na granice jednostronne oraz granice w nieskończoności (x )
24
Twierdzenia o granicach (5) Symbole „nieoznaczone”:
25
Przykłady obliczania granic D: x≠ ± 1
26
Symbole nieoznaczone – przykłady
27
27 Z definicji logarytmu wynikają wzory: Szczególne przypadki własności logarytmów:
28
Twierdzenia dotyczące logarytmów:
29
e – liczba Nepera; liczba Eulera
30
Ciągłość funkcji Funkcję y=f(x) nazywamy ciągłą w punkcie x 0, jeżeli istnieje granica funkcji w tym punkcie i granica ta równa jest wartości funkcji w tym punkcie, tj.: Funkcję y=f(x) nazywamy ciągłą lewostronnie w punkcie x 0, jeżeli Funkcja jest ciągła w przedziale otwartym (a,b) jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału Funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym [a,b] jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału oraz jest ciągła prawostronnie w punkcie a i ciągła lewostronnie w punkcie b
31
Twierdzenia o ciągłości 1) Suma dwóch funkcji ciągłych w danym punkcie jest funkcją ciągłą w tym punkcie 2) Iloczyn dwóch funkcji ciągłych w danym punkcie jest funkcją ciągłą w tym punkcie 3) Iloraz dwóch funkcji ciągłych w danym punkcie takim, że dzielnik jest różny od zera, jest funkcją ciągłą w tym punkcie
32
Twierdzenie o ciągłości funkcji elementarnych Każda funkcja elementarna jest funkcją ciągłą w dowolnym punkcie swojej dziedziny
33
Przykład 1: funkcja nieciągła w x=0 x y y=f(x) 0 1 2 3
34
Przykład 2: funkcja nieciągła w x=0 Signum (znak) liczby rzeczywistej x to funkcja, oznaczana jako sign(x) lub sgn(x), zdefiniowana jako:
35
PODSTAWY RACHUNKU RÓŻNICZKOWEGO
36
Pochodna funkcji w punkcie Pochodną (pierwszego rzędu) funkcji y=f(x) w punkcie x 0 nazywamy granicę, do której dąży stosunek przyrostu funkcji y do odpowiedniego przyrostu zmiennej niezależnej x, gdy przyrost zmiennej niezależnej dąży do zera, czyli granicę: Pochodna funkcji w punkcie jest liczbą ! Jeżeli granica nie istnieje, to w tym punkcie funkcja nie ma pochodnej.
37
Pochodna funkcji – interpretacja x y y=f(x) x0x0 x0+xx0+x f(x 0 ) f(x 0 + x) y=ax+b f ’(x 0 )=a=tg 0 00 (sieczna) (styczna) ∆y∆y ∆x∆x
38
Pochodna funkcji y=ax+b f ’(x 0 )=a=tg 0 Pochodna funkcji w punkcie x 0 jest liczbowo równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie (x 0 ) Wyznaczanie pochodnej nazywamy różniczkowaniem Inne oznaczenia pochodnej:
39
Funkcja pochodna Jeżeli funkcja f(x) ma pochodną w każdym punkcie x X, to funkcję f’: x f’(x), x X nazywamy funkcją pochodną lub krótko: pochodną funkcji f na zbiorze X Tak więc pochodna funkcji ogólnie (w pewnym przedziale) jest funkcją. Przykład: Prędkość jest pochodną drogi „po czasie”:
40
Pochodna – warunek istnienia Jeżeli funkcja ma w danym punkcie pochodną skończoną, czyli jest w tym punkcie różniczkowalna, to jest w tym punkcie ciągła funkcja różniczkowalna funkcja ciągła UWAGA: twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe Nie każda funkcja ciągła w danym punkcie ma pochodną w tym punkcie funkcja ciągła ⇏ funkcja różniczkowalna
41
Przykład: funkcja f(x)=|x| x y y=|x| 0 Pochodna ciągłej funkcji f(x)=|x| w punkcie x=0 nie istnieje (funkcja nie ma pochodnej w tym punkcie) Funkcja w pkt x=0 jest ciągła:
42
Twierdzenia o pochodnych: pochodna sumy, iloczynu i ilorazu funkcji Jeżeli istnieją pochodna f’(x) funkcji f(x) oraz pochodna g’(x) funkcji g(x) to: 1) [a. f(x)]’= a. f’(x) a R, a=const. 2) [f(x)+g(x)]’= f’(x)+g’(x) 3) [f(x). g(x)]’= f’(x). g(x) + f(x). g’(x) 4) g(x) 0
43
Twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji złożonej Jeżeli funkcja złożona F(x)=f(g(x)) jest określona w pewnym otoczeniu punktu x 0, funkcja u=g(x) jest różniczkowalna w punkcie x 0, a funkcja f(u) jest różniczkowalna w punkcie u 0 =g(x 0 ), to pochodna funkcji złożonej F(x)=f(g(x)) istnieje i jest równa: F’(x)=f’(u 0 ). g’(x 0 ) (Pochodna funkcji złożonej jest iloczynem pochodnej funkcji zewnętrznej i wewnętrznej)
44
Twierdzenia o pochodnych: podstawowe wzory
46
Przykłady obliczania pochodnych
47
Pochodna funkcji złożonej
48
Wyrażenia nieoznaczone { / } Reguła de L'Hospitala Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w pewnym sąsiedztwie punktu x 0 oraz 1)i Uwaga: 1) twierdzenie można zastosować również dla (x ) 2) twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe!!! 2)istnieje (właściwa lub niewłaściwa) granica to istnieje również granica, przy czym
49
Wyrażenia nieoznaczone { / } Reguła de L'Hospitala, przykład
50
Wyrażenia nieoznaczone {0/0} Reguła de L'Hospitala Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w pewnym sąsiedztwie punktu x 0 oraz 1)i 2)istnieje (właściwa lub niewłaściwa) granica to istnieje również granica przy czym Uwaga: 1) twierdzenie można zastosować również dla (x ) 2) twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe!!!
51
Wyrażenia nieoznaczone {0/0} Reguła de L'Hospitala, przykład
52
Monotoniczność a pochodne y x x0x0 1) Jeżeli pochodna funkcji jest w pewnym przedziale dodatnia, to funkcja jest w tym przedziale rosnąca, tj. x2x2 x1x1 f(x 2 ) f(x 1 )
53
Monotoniczność 2)Jeżeli pochodna funkcji jest w pewnym przedziale ujemna, to funkcja jest w tym przedziale malejąca, tj. x0x0 f(x 1 ) f(x 2 ) x1x1 x2x2
54
Monotoniczność 3)Jeżeli pochodna funkcji jest każdym punkcie pewnego przedziału równa zeru, to funkcja ma w tym przedziale wartość stałą, tj.
55
Różniczka funkcji Różniczką funkcji f w punkcie x 0 nazywamy iloczyn pochodnej tej funkcji w tym punkcie przez dowolny przyrost ∆ x zmiennej niezależnej: a różniczkę w dowolnym punkcie x dla przyrostu ∆ x zapisujemy: lub (Różniczka jest stosowana powszechnie w rachunku błędów)
56
Różniczka funkcji – interpretacja x y y=f(x) x0x0 ∆x f(x 0 ) dy y=f(x 0 + ∆ x)- f(x 0 ) f(x 0 + ∆ x) x0+∆xx0+∆x
57
Różniczka funkcji –interpretacja i zastosowanie Dla dostatecznie małych ∆ x ≈ dx dozwolony jest zapis: lub Dla dostatecznie małych ∆x przyrost funkcji można zastąpić różniczką: ∆ f = df, wówczas:
58
Różniczka funkcji – przykład zastosowania Obliczyć przybliżoną wartość funkcji ln x w punkcie x = 1,004; ln 1,004 ( wartość „dokładna”)
59
Pochodna drugiego rzędu Pochodną rzędu drugiego (drugą pochodną) funkcji y=f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Oznaczamy ją symbolami:
60
Pochodna rzędu n Definicja: Pochodną rzędu n (n-tą pochodną) funkcji y=f(x) nazywamy pochodną pochodnej rzędu n-1. Oznaczamy ją symbolami:
61
Ekstrema funkcji (minima i maksima lokalne) Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji Jeżeli funkcja różniczkowalna w pewnym przedziale, osiąga w pewnym punkcie wewnętrznym x = x 0 tego przedziału ekstremum lokalne, to pochodna w tym punkcie równa się zeru f’(x 0 ) = 0 Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe.
62
y = x 3 y’= 3x 2 dla x = 0 y’ = 0, a funkcja w tym punkcie nie ma ekstremum y x y = x 3
63
Ekstrema funkcji (minima i maksima lokalne) Warunek wystarczający istnienia ekstremum Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w otoczeniu punktu x 0 i f’(x 0 )=0 oraz 1) f’(x)>0 dla x x 0 to funkcja ta ma w punkcie x 0 maksimum lokalne 2) Jeżeli f’(x) 0 dla x>x 0 to funkcja ta ma w punkcie x 0 minimum lokalne Inaczej: gdy pochodna przy przejściu zmiennej niezależnej (x) przez pkt. x 0 zmienia znak z dodatniego na ujemny to w pkt. x 0 jest maksimum, gdy zmienia znak z ujemnego na dodatni - minimum.
64
Maksimum lokalne y x x0x0 f’(x 0 )=0 oraz f’(x)>0 dla x x 0
65
Minimum lokalne y x x0x0 Jeżeli f’(x 0 ) = 0 oraz f’(x) 0 dla x>x 0
66
Monotoniczność, ekstremum – przykład x y y=f(x) 1 0 2 Funkcja malejąca dla x (- ,1) x 0 =2 Funkcja malejąca dla x (1,2) Funkcja rosnąca dla x (2,+ ) Minimum lokalne dla x 0 =2
67
Wypukłość i wklęsłość wykresu funkcji Definicja Wykres funkcji nazywamy wypukłym w przedziale (a,b), jeżeli istnieje sąsiedztwo punktu x 0 z przedziału (a,b), że punkty wykresu funkcji w tym przedziale leżą powyżej stycznej do wykresu funkcji f(x) w punkcie x 0. Wykres funkcji nazywamy wklęsłym w przedziale (a,b), jeżeli istnieje sąsiedztwo punktu x 0 z przedziału (a,b), że punkty wykresu funkcji w tym przedziale leżą poniżej stycznej do wykresu funkcji f(x) w punkcie x 0.
68
y xx0x0 y x x0x0 wypukławklęsła a b
69
Wypukłość, wklęsłość a druga pochodna Twierdzenia: Jeżeli druga pochodna funkcji jest w pewnym przedziale dodatnia, to funkcja jest w tym przedziale wypukła. Jeżeli druga pochodna funkcji jest w pewnym przedziale ujemna, to funkcja jest w tym przedziale wklęsła.
70
Punkt przegięcia wykresu funkcji Definicja: Funkcja y=f(x) posiada w punkcie x 0 punkt przegięcia wykresu funkcji, gdy 1) istnieje styczna do wykresu w punkcie x 0 2) wykres posiada różne wypukłości w prawostronnym i lewostronnym sąsiedztwie punktu x 0
71
Punkty przegięcia krzywej y x x1x1 x2x2 y = f(x 1 ) P(x1,y1)P(x1,y1)P(x2,y2)P(x2,y2) Styczne do krzywych w punktach x 1 i x 2
72
Punkt przegięcia a druga pochodna Twierdzenie (warunek konieczny istnienia punktu przegięcia): Jeżeli funkcja y=f(x) ma ciągłą drugą pochodną, to w punkcie przegięcia x 0 wykresu funkcji wartość drugiej pochodnej f’’(x 0 ) jest równa zeru Jest to warunek konieczny, ale nie wystarczający. (Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe). Np. y = x 4 y’= 4x 3 y’’ =12x 2 y’’= 0 dla x = 0 a funkcja ta nie ma dla x = 0 punktu przegięcia, w punkcie tym funkcja ma minimum
73
Punkty przegięcia Warunek wystarczający istnienia punktów przegięcia Jeżeli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w otoczeniu punktu x 0 i oraz f’’(x) 0 dla x > x 0 lub f’’(x)>0 dla x x 0 to funkcja ma punkt przegięcia w pkt. x 0 Inaczej: Jeżeli druga pochodna przy przejściu przez punkt x 0 zmienia znak to ma w tym punkcie przegięcie
74
Wypukłość, wklęsłość, punkt przegięcia – przykład y=f(x) x y 103 Funkcja malejąca dla x (3,+ ) Funkcja wklęsła dla x (2,4) Maksimum lokalne dla x 0 =3 24 Funkcja rosnąca dla x (- ,3) Funkcja wypukła dla x (4,+ ) Funkcja wypukła dla x (- ,2) Punkt przegięcia dla x=4 Punkt przegięcia dla x=2
75
Asymptoty funkcji 1. Asymptota pionowa x = a jest asymptotą pionową funkcji f(x) gdy istnieje przynajmniej jedna jednostronne niewłaściwa granica w pkt. „a” lub 2. Asymptota ukośna Prostą o równaniu y = mx + n nazywamy asymptotą ukośną krzywej y = f(x) w ± , gdy: Przy czym
76
Asymptota pozioma y = mx + n Gdy m = 0 asymptota ma równanie y = n i jest równoległa do osi Ox. Nazywa się asymptotą poziomą. Krzywa ma asymptotę pozioma y = n przy x ± , gdy
77
Asymptota pionowa i pozioma x y y=f(x) 1 0 2 x 0 =2 x = 1 jest asymptotą pionową y = 2 jest asymptotą poziomą
78
y x y= f(x) y = mx + n Asymptota ukośna
79
Przykład – badanie przebiegu zmienności funkcji Zbadać przebieg zmienności funkcji: 1. Dziedzina: x ∊ R\4; D: (- ,4) ⋃ (4,+ ) 2. Miejsca zerowe: x 1 = 0 x 2 = 3 3. Granice i asymptoty W pkt. x=4 obie granice są niewłaściwe, a więc prosta o równaniu x=4 jest asymptotą pionową obustronną.
80
asymptoty ukośne prosta jest asymptotą ukośną funkcji 4. Ekstrema funkcji Badanie I pochodnej w. konieczny w. wystarczający
81
dla x 0 oraz dla 2<x<6 f’(x)<0 w pkt. x=2 funkcja ma maksimum dla 2 6 f’(x)>0 w pkt. x=6 funkcja ma minimum Badanie II pochodnej dla x ∊D (tj. x≠4) f’’(x)≠0 co oznacza, że funkcja nie posiada p. przegięcia f’(x) x26 ++ -
82
x - … 2…..4……6 …+ f’(x)+0--0+ f’’(x)---+++ f(x) -- 1 -- ++ 9 ++ maxmin f(x) x 9 6234 1 Asymptota ukośna y = x + 1 Asymptota pionowa x = 4
83
Funkcje wielu zmiennych
84
Funkcja dwóch zmiennych Definicja Mówimy, że w zbiorze płaskim D R 2 została określona funkcja f dwóch zmiennych, jeżeli każdemu elementowi (x, y) D jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba z R, co zapisujemy f: D R, D R 2 lub z = f(x, y)
85
Wykres funkcji dwóch zmiennych Definicja Wykresem funkcji dwóch zmiennych z=f(x,y) nazywamy zbiór wszystkich punktów (x, y, z) w przestrzeni R 3, których współrzędne spełniają równanie funkcji tj. dla których z=f(x,y). Wykresem funkcji z=f(x,y) jest pewna powierzchnia w przestrzeni trójwymiarowej
86
Wykres funkcji dwóch zmiennych – paraboloida hiperboliczna
87
Granica funkcji dwóch zmiennych Definicja Funkcja z=f(x,y) w punkcie (x 0,y 0 ) posiada granicę g, jeżeli dla dowolnego >0 istnieje takie >0, że zachodzi |f(x,y)-g|< dla wszystkich punktów (x,y) należących do dziedziny i sąsiedztwa punktu (x 0,y 0 ) o promieniu
88
Ciągłość funkcji dwóch zmiennych Definicja Funkcja z=f(x,y) jest ciągła w punkcie (x 0,y 0 ), jeżeli posiada skończoną granicę g w tym punkcie i granica ta równa jest wartości funkcji w tym punkcie
89
Twierdzenia o ciągłości funkcji dwóch (wielu) zmiennych 1) Suma dwóch funkcji ciągłych w danym punkcie jest funkcją ciągłą w tym punkcie 2) Iloczyn dwóch funkcji ciągłych w danym punkcie jest funkcją ciągłą w tym punkcie 3) Iloraz dwóch funkcji ciągłych w danym punkcie takim, że dzielnik jest różny od zera, jest funkcją ciągłą w tym punkcie
90
Pochodna cząstkowa f x ’ funkcji w punkcie Pochodną cząstkową (pierwszego rzędu) względem zmiennej x funkcji dwóch zmiennych z=f(x,y) w punkcie (x 0, y 0 ) nazywamy granicę (jeżeli istnieje) ilorazu różnicowego Inne oznaczenia pochodnej cząstkowej :
91
Pochodna cząstkowa f y ’ funkcji w punkcie Pochodną cząstkową (pierwszego rzędu) względem zmiennej y funkcji dwóch zmiennych z=f(x,y) w punkcie (x 0, y 0 ) nazywamy granicę (jeżeli istnieje) ilorazu różnicowego Inne oznaczenia pochodnej cząstkowej :
92
Pochodna cząstkowa funkcji – interpretacja graficzna z x y z=f(x,y) x0x0 x0+xx0+x y0y0 y0+yy0+y y=y 0 x=x 0
93
Pochodna cząstkowa drugiego rzędu funkcji w punkcie Pochodną cząstkową drugiego rzędu funkcji dwóch zmiennych z=f(x,y) w punkcie (x 0, y 0 ) nazywamy pochodną cząstkową względem odpowiedniej zmiennej pierwszej pochodnej cząstkowej, jeżeli istnieje
94
Pochodne cząstkowe funkcji - przykład
95
Różniczka zupełna funkcji dwóch zmiennych Różniczką zupełną dz funkcji z=f(x,y) klasy C 1 (tj. mającej ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego) w punkcie (x 0,y 0 ) dla przyrostu (dx,dy) nazywamy wyrażenie: dz przedstawia liniową część przyrostu z z dz w przypadku „małych” przyrostów dx i dy
96
Różniczka funkcji – przykład zastosowania Oblicz maksymalny błąd bezwzględny i względny przy obliczaniu objętości walca o podanej wysokości i promieniu podstawy, wyznaczonych z podaną dokładnością: h=25 0,05 cm, r=12 0,01 cm
97
Podstawy rachunku całkowego
98
Funkcja pierwotna Definicja Funkcją pierwotną funkcji f(x) w pewnym przedziale nazywamy każdą funkcję F(x), której pochodna F’(x)=f(x) dla każdego x z przedziału Twierdzenie Dwie funkcje pierwotne mające w danym przedziale tę samą skończoną pochodną różnią się co najwyżej o stałą.
99
Funkcja pierwotna Przykład:f(x)=2x dla tej funkcji istnieje rodzina funkcji pierwotnych które różnią się stałą F(x)=x 2 +C C R(gdyż(x 2 +C)’ = 2x) F 1 (x)= x 2 +5 gdyż F’ 1 (x) = 2x F 2 (x)= x 2 -3 F’ 2 (x) = 2x F 3 (x)= x 2 + F’ 3 (x) = 2x
100
F(x) x F 1 (x) F 2 (x) F 3 (x) F 4 (x) Dana funkcja f(x) ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych różniących się jedynie stałą F(x) = x 2 +C
101
Funkcja pierwotna Twierdzenie Dla każdej funkcji ciągłej w pewnym obszarze domkniętym istnieje funkcja pierwotna również ciągła w tym obszarze
102
Całka nieoznaczona Definicja Całką nieoznaczoną funkcji f(x), oznaczaną symbolem nazywamy wyrażenie F(x)+C, gdzie F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), a C R jest dowolną stałą, tj. gdzie
103
Całka nieoznaczona – podstawowe wzory
105
Własności całek nieoznaczonych Twierdzenia: 1)(addytywność całki względem funkcji podcałkowej) Całka sumy (różnicy) jest sumą (różnicą) całek 2)Stały czynnik można wyłączyć przed znak całki
106
Własności całek nieoznaczonych 3) Całkowanie przez podstawienie Jeżeli funkcja t = g(x) ma ciągłą pochodną w przedziale x ∊ oraz g(x) ∊, a funkcja f(t) jest ciągła w przedziale t ∊, to po scałkowaniu prawej strony w otrzymanym wyniku należy podstawić t=g(x)
107
Własności całek nieoznaczonych 4)(wzór na całkowanie przez części) Jeżeli funkcje f(x) i g(x) mają ciągłą pochodną, to Jeżeli jest dana całka, to aby zastosować całkowanie przez części należy ją przedstawić w postaci t(x) = f(x) ⋅ g’(x) Jeżeli u i v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to:
108
Całkowanie – przykłady
109
Całkowanie przez części
110
Całka oznaczona 1)Dana funkcja f(x) ograniczona w przedziale [a, b] 2)Dokonujemy tzw. normalnego podziału przedziału [a, b] na n części a= x 0 < x 1 < x 2 <... < x n-1 < x n =b, takich, że max( x i ) 0 gdy n 3)dowolnie wybieramy punkty i [x i-1, x i ] 4)w każdym przedziale wyznaczamy wartość f( i ). x i gdzie x i = x i - x i-1 5)dodajemy wszystkie składniki z p-tu 4, tj. S n = f( 1 ). x 1 + f( 2 ). x 2 +... + f( n-1 ). x n-1 + f( n ). x n 6)wyznaczamy granicę S otrzymanej sumy przy x i 0 (n )
111
Całka oznaczona Definicja Jeżeli ciąg {S n } dla n jest zbieżny do tej samej granicy przy każdym normalnym ciągu podziałów niezależnie od wyboru punktu i, to funkcję f(x) nazywamy funkcją całkowalną w przedziale [a,b], a granicę ciągu {S n } przy n nazywamy całką oznaczoną funkcji f(x) w granicach od a do b i oznaczamy symbolem czyli
112
Całka oznaczona f(x) x a = x 0 x1x1 x2x2 x3x3 xixi x n = bx i–1 x n–1 11 22 33 ii nn
113
Całka oznaczona a- dolna granica całkowania b - górna granica całkowania f(x)- funkcja podcałkowa x- zmienna całkowania Całka oznaczona jest liczbą!!! Całka nieoznaczona jest funkcją!!!
114
Całka oznaczona – interpretacja geometryczna x y y=f(x) 0... a=x 0 b=x n x1x1 11 nn x n-1 22 x2x2 x2x2 xnxn x1x1 f( 1 )
115
Całka oznaczona – interpretacja geometryczna x y y=f(x) 0 ab
116
Całka oznaczona – interpretacja geometryczna x y y=f(x) 0 ab
117
Całka oznaczona – istnienie Twierdzenia: 1)Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym [a, b], to jest w tym przedziale całkowalna 2) twierdzenie „mocniejsze” Jeżeli funkcja f(x) jest ograniczona w przedziale domkniętym [a, b] oraz ciągła w nim z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, to jest w tym przedziale całkowalna
118
Własności całek oznaczonych Twierdzenia: 1) Zmiana granic całkowania 2)Stały czynnik można wyłączyć przed znak całki oznaczonej 3) (addytywność całki względem funkcji podcałkowej) Całka sumy jest sumą całek
119
Całka oznaczona-właściwości x y y=f(x) 0 ac 2) Addytywność całki względem przedziału całkowania Jeżeli a b c,to b
120
Związek pomiędzy całką oznaczoną i nieoznaczoną Twierdzenie (wzór Newtona-Leibniza): Jeżeli funkcja F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), ciągłej w przedziale [a, b] (tzn. F’(x)=f(x) lub ∫ f(x)dx=F(x)+C), to Inne równoważne zapisy:
121
Całka oznaczona – przykłady Oblicz pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji y=x 2 oraz y=x+2 x y y=x+2 2 4 1 y=x 2
122
Całka niewłaściwa funkcji Całka właściwa: 1) przedział całkowania [a, b] jest skończony oraz 2) funkcja podcałkowa f(x) jest ograniczona w tym przedziale Całka niewłaściwa: 1) funkcja podcałkowa f(x) jest nieograniczona w tym przedziale (symbol jak całka właściwa)! 2) lub przedział całkowania [a, b] jest nieskończony
123
Całka niewłaściwa funkcji nieograniczonej w przedziale skończonym (ograniczonym) a/ Osobliwość w lewym końcu przedziału Niech funkcja f(x): 1/ jest określona w przedziale (a,b> 2/ jest całkowalna w przedziale, gdzie a<h<b, 3/ jest nieograniczona w każdym przedziale (a,h), co wyrażamy mówiąc, że funkcja f ma osobliwość w lewym końcu przedziału (a,b> y x abh
124
Wówczas nie istnieje całka oznaczona (Riemanna) Natomiast dla każdego h, a<h<b, istnieje całka oznaczona I można rozważać istnienie granicy tej całki Jeśli granica ta istnieje i jest skończona, to granicę tą nazywamy całką niewłaściwą funkcji f(x) od a do b (z osobliwością w pkt. a i oznaczamy symbolem identycznym do całki oznaczonej mówimy, że całka niewłaściwa funkcji f od a do b istnieje, a całka jest zbieżna.
125
Jeżeli granica tej całki nie istnieje lub jest nieskończona, to mówimy, że całka niewłaściwa funkcji f od a do b nie istnieje, albo, że jest rozbieżna. Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale (a,b>, a funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f, to całka niewłaściwa funkcji f oda do b (z osobliwością w pkt a) wyraża się równością: Z zapisu tego wynika, że całka ta istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje skończona granica
126
Całka niewłaściwa funkcji nieograniczonej 2/ Analogicznie możemy rozważyć osobliwość w prawym końcu przedziału y x abk
127
Całka niewłaściwa funkcji nieograniczonej 3/ Osobliwość na obu końcach przedziału y x abhkc
128
Całka niewłaściwa funkcji nieograniczonej 4/ Osobliwość wewnątrz przedziału y x abhkc
129
Całka niewłaściwa – przykład y 1 x210 k h 6
130
Całka niewłaściwa – przykłady całka rozbieżna !!!
131
Całka niewłaściwa w przedziale nieograniczonym (+ ) Jeżeli funkcja f(x) jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale skończonym [a, u] gdzie u>a oraz istnieje granica to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji f(x) w przedziale [a, + ) i oznaczamy symbolem
132
Całka niewłaściwa w przedziale nieograniczonym (- ) Przedział nieograniczony z prawej strony Jeżeli funkcja f(x) jest: 1/ określona w przedziale <a, ) 2/ całkowalna w każdym przedziale, gdzie h>a to całkę niewłaściwą funkcji f od a do definiujemy wzorem: ah x y
133
O ile granica ta istnieje i jest skończona, mówimy wówczas, ze całka funkcji f od a do istnieje i jest zbieżna. Jeśli zaś granica ta nie istnieje lub jest nieskończona to mówimy, że całka funkcji f od a do nie istnieje, albo, że jest rozbieżna. dla przedziału nieograniczonego z lewej strony
134
Całka niewłaściwa – przykład y 1 0 x -2-3
135
Całka niewłaściwa – przykłady
136
Elementarne wiadomości o równaniach różniczkowych
137
Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci F(x, y, y’)=0 w którym F jest funkcją trzech zmiennych, y jest niewiadomą funkcją zmiennej x określoną w pewnym przedziale, a y’ – pochodną tej niewiadomej funkcji. pochodna y’ (dy/dx) musi występować (występuje w sposób istotny), pozostałe argumenty nie muszą, tj. nie musi występować x lub y. Przykłady y–y’+x-1=0e x +y’=0 y’–3y=0y’+2=0
138
Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równanie różniczkowe F(x, y, y’)=0 można w pewnych przypadkach zapisać w następującej postaci: y’ = f(x,y) gdzie f jest jest funkcją ciągłą w pewnym obszarze D ∊ R 2 ; Jest to tzw. postać normalna.
139
Rozwiązanie szczególne równania różniczkowego Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną) równania różniczkowego F(x, y, y’)=0 nazywamy każdą różniczkowalna funkcję y= (x), która spełnia to równanie dla każdej wartości x z pewnego przedziału. Wykres funkcji y= (x) nazywamy krzywą całkową równania F(x, y, y’)=0 Przykład y’–2x=0 y= (x)=x 2 Istnieje nieskończenie wiele rozwiązań szczególnych
140
Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego Rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) równania różniczkowego F(x, y, y’)=0 nazywamy funkcję y= (x,C) która dla każdej wartości C należącej do pewnego przedziału jest rozwiązaniem szczególnym równania F(x, y, y’)=0. Rozwiązanie ogólne jest rodziną rozwiązań szczególnych tego równania Rozwiązanie szczególne otrzymujemy przyjmując konkretną stałą wartość C
141
Rozwiązanie równania różniczkowego – warunki początkowe Warunki początkowe rozwiązania: Warunek początkowy, to taka para liczb (x 0, y 0 ), która z wszystkich funkcji (będących rozwiązaniem ogólnym) pozwala wybrać jedną i ustalić C Żądamy, aby krzywa całkowa równania przechodziła przez punkt (x 0,y 0 ), tj. zagadnienie sprowadza się do wyznaczenia C 0 parametru C z równania y 0 = (x 0,C 0 ) Po podstawieniu otrzymanej wartości C 0 do rozwiązania ogólnego otrzymujemy rozwiązanie szczególne spełniające warunki początkowe: y= (x,C 0 )= (x)
142
Rozwiązanie ogólne i szczególne – przykład x y 1 1 y=x 2 +3 y=x 2 -2 (...) (1,4) rozwiązanie ogólne rozwiązanie szczególne spełniające warunki początkowe
143
Rozwiązanie równania różniczkowego przez rozdzielenie zmiennych Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu postaci luby’= f(x) ∙ g(y) Metoda rozwiązania: rozdzielenie zmiennych całkowanie różniczek całka ogólna rozwiązanie ogólne
144
Równania różniczkowe - przykłady
145
Rozwiązanie równania różniczkowego przez rozdzielenie zmiennych – przykład Wyznacz równanie rozpadu promieniotwórczego. Liczba jąder dN atomów pierwiastka rozszczepionych w czasie dt jest proporcjonalna do liczby jąder atomowych istniejących. Współczynnik proporcjonalności jest ujemny (– gdyż liczba nierozszczepionych jąder atomowych maleje w czasie, to stała rozpadu).\ Oblicz czas połowicznego zaniku pierwiastka 1/2.
146
Rozwiązanie równania różniczkowego przez rozdzielenie zmiennych – przykład N N0N0 0 t N 0 /2 1/2
147
Równanie Bernulliego Równanie różniczkowe postaci * Nazywamy równaniem Bernulliego; Równanie to sprowadzamy do równania liniowego wprowadzając nową niewiadomą, funkcję t=t(x): ** Mnożąc przez obie strony rów. * mamy i po uwzględnieniu w powyższym rów.** otrzymujemy r. liniowe
148
Literatura do cz. I Krysicki W., Włodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa 1998 Steiner E., Matematyka dla chemików, Wyd. Naukowe PWN, Warszawa 2001 K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow, Matematyka dla studentów studiów technicznych, tom 1, HELPMATH, Łódź, 2007
149
Symbol Newtona
150
Trójkąt Pascala
Podobne prezentacje
© 2024 SlidePlayer.pl Inc.
All rights reserved.