Reinhard Kulessa1 Wykład Ruch rakiety 5 Ruch obrotowy 5.1 Zachowanie momentu pędu dla ruchu obrotowego punktu materialnego Wyznaczanie środka masy 5.3 Zachowanie momentu pędu przy działaniu siły centralnej 5.2 Zachowanie momentu pędu dla układu punktów materialnych Opis ruchu planet Rozpraszanie cząstek alfa na ciężkich jądrach

Reinhard Kulessa Ruch rakiety Rozważmy następujący układ. m m-dmdm dvv0v0 Rozważmy problem ruchu rakiety w układzie środka masy. Jest on umiejscowiony w rakiecie tak długo jak masa wyrzucanych gazów dM jest mała w stosunku do chwilowej masy rakiety. W układzie tym całkowity pęd jest stały przed i po wyrzucie gazów i jest równy zero. Zaniedbując dm·dv mamy:..

Reinhard Kulessa3 Prędkość rakiety zależy od prędkości wylotu gazów i stosunku mas rakiety z paliwem do masy pustej rakiety, Wyznaczanie środka masy W jaki sposób możemy wyznaczyć środek masy ciała? Rozważmy następującą sytuację.

Reinhard Kulessa4 x rSrS riri dm i g Względem punktu zawieszenia działa moment siły;. Pamiętamy w oparciu o r. (4.30) że, Otrzymujemy więc, że,.. Widzimy, że równowagę uzyskamy tylko wtedy, gdy środek masy czy ciężkości leży poniżej punktu zaczepienia, r S || g, (lub ogólnie, gdy suma momentów sił działających na dane ciało jest równa zero) Powtarzając tą czynność dwa razy, możemy wyznaczyć r S.

Reinhard Kulessa5 5Ruch obrotowy 5.1 Zachowanie momentu pędu dla ruchu obrotowego punktu materialnego Rozpatrzmy następujący układ.  r F Równanie ruchu punktu materialnego można napisać jako:. Pomnóżmy do równanie wektorowo przez r.. Równanie to możemy zapisać inaczej korzystając z zależności;

Reinhard Kulessa6. Mamy więc;, lub krócej,. (5.1) Wyrażenie nazywamy momentem siły lub momentem obrotowym. Z kolei nazywamy momentem pędu lub krętem.

Reinhard Kulessa7 5.2 Zachowanie momentu pędu dla układu punktów materialnych. W poprzednim rozdziale równanie (4.32) opisywało ruch środka masy. Jego ruch zależał tylko od sumy sił zewnętrznych. Gdy ich nie ma, środek masy porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej lub spoczywa.. Widzimy więc, że środek masy nie bierze udziału w ruchu obrotowym ciała. Możemy więc wysnuć wniosek, że przy braku sił zewnętrznych obrót ciała może zachodzić tylko wokół osi, które przechodzą przez środek masy ciała.

Reinhard Kulessa8 S FzFz FzFz Zastanówmy się jak zasadę zachowania krętu możemy uogólnić dla układu wielu mas. Przeprowadźmy w tym celu następujące rozumowanie.

Reinhard Kulessa9 Siły zewnętrzne pochodzą od mas i ładunków z poza naszego układu. F 21 F 32 F 13 F 31 F 23 F 12 S F1zF1z F3zF3z F2zF2z r1r1 r3r3 r2r Drugie prawo Newtona dla jednego ciała możemy napisać jako:

Reinhard Kulessa10. Równanie to pomnożymy z lewej strony wektorowo przez wektor r 1. Następnie robimy to samo dla pozostałych dwóch mas i dodajemy do siebie.. Pamiętając o zasadzie akcji i reakcji, czyli np. otrzymamy,

Reinhard Kulessa11 Wiemy, że, i.t.d.. Wobec tego znikają pierwsze trzy człony po lewej stronie. Mamy więc;. (5.2) Możemy to równanie zapisać inaczej jako;. (5.3)

Reinhard Kulessa12 Całkowity moment pędu układu zamkniętego może zostać zmieniony tylko przez działający zewnętrzny moment siły. kiedy M z = 0, (5.4) 5.3 Zachowanie momentu pędu przy działaniu siły centralnej. Zarówno moment siły M jaki i moment pędu L zależą od r. Zależą więc od wyboru układu współrzędnych. Szczególnie warto zauważyć, że w przypadku gdy siła jest siłą centralną, moment siły jest równy zero. W przypadku ruchu planety wokół Słońca, siła grawitacji leży zawsze wzdłuż promienia i z tego powodu zawsze jest spełniona zależność:

Reinhard Kulessa13. Taka sama sytuacja zachodzi przy rozpraszaniu cząstki  na ciężkim jądrze atomowym.  F r Jeśli w czasie ruchu ciała nie działa moment siły, to z równania (5.1) wynika, że (5.5).

Reinhard Kulessa14 Równanie (5.5) przedstawia sobą trzecie ważne prawo zachowania – prawo zachowania krętu. W dalszej części wykładu pokażemy jak z prawa zachowania krętu można wyciągnąć szczegółowe informacje dotyczące toru ruchu planet czy cząstki  Opis ruchu planet r Słońce Planeta vdt Weźmy planetę o masie m poruszającą się wokół Słońca o masie M.

Reinhard Kulessa15 Zakreślane pole przez promień r wynosi;, (5.6) czyli. Widzimy więc, że stałość prędkości polowej, czyli II prawo Keplera wynika z prawa zachowania momentu pędu. Ażeby rozważyć bliżej tory planet, wprowadźmy biegunowy układ współrzędnych. Niech Słońce znajduje się w początku tego układu.

Reinhard Kulessa16  r M m vrvr vtvt Wiemy, że, (5.7). Wiemy również, że,. Moment pędu dla rozważanego przypadku, wyraża się wzorem,

Reinhard Kulessa17. (5.7a) Równocześnie spełnione jest prawo zachowania energii.. Z równania (5.7a) znajdujemy wyrażenie na prędkość transwersalną,. Otrzymujemy więc na energię wzór:  = U ’ (r) Mamy więc,. (5.8).

Reinhard Kulessa18 Zróbmy wykres energii potencjalnej U ’ (r). E1E1 E3E3 E2E2 L 2 /(2mr 2 ) -C/r U ’ =L 2 /(2mr 2 )-C/r r0r0 r max r min rSrS rSrS 2r 0 2r min 2r max 2a r U’U’

Reinhard Kulessa19 1.Jeśli ciało niebieskie posiada energię E 1, zbliża się ono na odległość r S, a następnie oddala się do nieskończoności. 2.Gdy planeta posiada energię E 2, porusza się ona po elipsie, przy czym 2a = r min + r max. 3.W punkcie o energii E 3 planeta porusza się po stałym promieniu. Jej prędkość radialna jest równa zero, orbita jest więc kołowa. Zastanówmy się jakie parametry fizyczne warunkują wielkość dużej półosi elipsy a = ½(r min +r max ). W położeniu r min i r max prędkość radialna v r znika. Wtedy U ’ (r) = E, czyli. Równanie to ma dwa rozwiązania: (5.9)

Reinhard Kulessa20. Wiemy, że, i Widać również, że planety krążąc po różnych torach, ale z tą samą wartością 2a, mają tą samą energię. Należy również zaznaczyć, że dla energii E 2 i E 3, całkowita energia jest ujemna. Znaczy to, że energia kinetyczna nie przewyższa energii potencjalnej. Obiekt jest więc związany z masą centralna. Ażeby cząstki rozdzielić, musimy im dostarczyć tyle energii, aby przezwyciężyć energię ujemną, którą nazywamy energią wiązania..

Reinhard Kulessa Rozpraszanie cząstek alfa na ciężkich jądrach  b r  mv  x W przypadku tym mamy do czynienia z siłą kulombowską i jest ona odpychająca. Siła ta jest siłą centralną i moment pędu w czasie ruchu cząstki  wzór (5.7a) pozostaje cały czas stały..(5.10) Wielkość b nazywamy parametrem zderzenia. Dla zderzenia centralnego jest on równy zero. Przy takim wyborze osi x jak na rysunku, musi nastąpić zmiana pędu w kierunku x.

Reinhard Kulessa22 x  pp mv . Zgodnie z prawem Newtona mamy,. Wiemy, że siła kulombowska ma następującą postać:. Ponieważ zmiana pędu następuje tylko w kierunku x, mamy

Reinhard Kulessa23 Z równania (5.10) znajdujemy, że., czyli. Dla mamy.

Reinhard Kulessa24 Otrzymamy więc:, gdzie. Znaleźliśmy więc zależność pomiędzy parametrem zderzenia a kątem odchylenia. b2b2 b1b1 22 11