PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ

2 FUNKCJA LOGICZNA funkcja zdaniowa, która zbudowana jest jedynie z tałych logicznych i zmiennych (zdaniowych lub nazwowych).

3 PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ STAŁE LOGICZNE to inaczej funktory prawdziwościowe (spójniki). ZMIENNE ZDANIOWE oznaczane symbolami p, q, r, s … reprezentują dowolne zdania w sensie logicznym.

4 PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ p. q Wrocław leży nad Odrą i Warszawa leży nad Wisłą. Wrocław leży nad Wisłą i Warszawa leży nad Odrą.

5 PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ p. ~ p Franek zdał egzamin z logiki. Franek zdał egzamin z logiki i nieprawda, że Franek zdał egzamin z logiki.

6 PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ p → p Wykładowca stoi przed ekranem. Wykładowca stoi przed ekranem → wykładowca stoi przed ekranem.

7 PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ p → p Wykładowca stoi na głowie. Wykładowca stoi na głowie → wykładowca stoi na głowie.

8 PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ Wyrażenie „p → p” przy wszelkich poprawnych wstawieniach za występującą w nim zmienną zdaniową przekształca się w zdanie prawdziwe. Wyrażenia takie nazywamy: PRAWAMI LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ.

9 PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ Franek śpi na wykładzie wtedy i tylko wtedy, gdy Franek śpi na wykładzie. p ≡ p każde zdanie jest równoważne z samym sobą ZASADA TOŻSAMOŚCI p p ≡ p

10 PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ Kasia studiuje prawo wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest tak, że Kasia nie studiuje prawa. p ≡ ~ ~ p każde zdanie jest równoważne negacji swojej negacji ZASADA PODWÓJNEGO PRZECZENIA p ~ p p ≡ ~ ~ p

11 PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ ~ (p. ~ p) Nie jest tak, że (Wrocław leży nad Odrą i Wrocław nie leży nad Odrą. Nie jest tak, że (Franek śpi na wykładzie i Franek nie śpi na wykładzie) p ~ p ~ (p. ~ p) dwa zdania wzajem sprzeczne nie są oba prawdziwe ZASADA SPRZECZNOŚCI

12 PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ p v ~ p Staś zdał egzamin z prawa rzymskiego lub Staś nie zdał egzaminu z prawa rzymskiego Franek zdał egzamin z logiki lub Franek nie zdał egzaminu z logiki p ~ p p v ~ p dwa zdania wzajem sprzeczne nie są oba fałszywe ZASADA WYŁĄCZONEGO ŚRODKA

13 PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ (p → ~ p) → ~ p Jeśli (jeżeli Łódź jest stolicą Polski, to Łódź nie jest stolicą Polski), to Łódź nie jest stolicą Polski p ~ p (p → ~ p) (p → ~ p) → ~ p jeżeli dane zdanie implikuje swoją negację, to ta negacja owego zdania jest prawdziwa PRAWO REDUKCJI DO ABSURDU

14 PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ (p. q) → p Jeśli Wrocław leży nad Odrą i Opole leży nad Odrą, to Wrocław leży nad Odrą. p q (p. q) (p. q) → p koniunkcja dwóch zdań implikuje pierwsze z tych zdań PRAWO SYMPLIFIKACJI

15 PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ (p. q) ≡ (q. p) Jaskółki są ptakami i niedźwiedzie są ssakami wtedy i tylko wtedy, gdy niedźwiedzie są ssakami i jaskółki są ptakami p q (p. q) (q. p) (p. q) ≡ (q. p) koniunkcja pierwszego zdania i drugiego zdania jest równoważna koniunkcji drugiego zdania i pierwszego zdania PRAWO PRZEMIENNOŚCI KONIUNKCJI

16 PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ p → (p v q) Jeżeli Marcin idzie na wykład, to Marcin idzie na wykład lub Michał idzie na wykład. p q (p v q) p → (p v q) każde zdanie implikuje alternatywę, której jest składnikiem PRAWO ADDYCJI

17 PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ (p v q) ≡ (q v p) Staś jest studentem lub Jaś jest studentem wtedy i tylko wtedy, gdy Jaś jest studentem lub Staś jest studentem. p q (p v q) (q v p) (p v q) ≡ (q v p) alternatywa pierwszego zdania i drugiego zdania jest równoważna alternatywie drugiego zdania i pierwszego zdania PRAWO PRZEMIENNOŚCI ALTERNATYWY

18 PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ ~ (p. q) ≡ (~ p v ~ q) Nie jest tak, że Maria jest prawnikiem i Maria jest lekarzem wtedy i tylko wtedy, gdy Maria nie jest prawnikiem lub Maria nie jest lekarzem. p q ~ (p. q) (~ p v ~ q) ~ (p. q) ≡ (~ p v ~q) negacja koniunkcji zdań jest równoważna alternatywie negacji tych zdań PIERWSZE PRAWO DE MORGANA

19 PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ ~ (p v q) ≡ (~ p. ~ q) Nie jest tak, że Bolek jest posłem lub Maciek jest senatorem wtedy i tylko wtedy, gdy Bolek nie jest posłem i Maciek nie jest senatorem. p q ~ (p v q) (~ p. ~ q) ~ (p v q) ≡ (~ p. ~ q) negacja alternatywy zdań jest równoważna koniunkcji negacji tych zdań DRUGIE PRAWO DE MORGANA

20 PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ [ (p → q). p ] → q Jeśli [(jeżeli pada deszcz, to jest mokro) i pada deszcz], to jest mokro. p q (p → q) [ (p → q). p ] [ (p → q). p ] → q gdy jedno zdanie implikuje drugie i jest tak, jak stwierdza pierwsze zdanie, to jest też tak, jak stwierdza drugie zdanie MODUS PONENDO PONENS (sposób przez potwierdzenie potwierdzający)

21 PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ [ (p → q). ~ q ] → ~ p Jeśli [(jeżeli Bolek zdał egzamin z logiki, to Franek zdał egzamin z logiki) i Franek nie zdał egzaminu z logiki], to Bolek nie zdał egzaminu z logiki p q (p → q) [(p → q). ~ q] [(p → q). ~ q ] → ~ p gdy jedno zdanie implikuje drugie i nie jest tak, jak stwierdza drugie zdanie, to nie jest tak, jak stwierdza pierwsze zdanie MODUS TOLLENDO TOLLENS (sposób przez zaprzeczenie zaprzeczający)

22 PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ [ (p v q). ~ p ] → q Jeśli [(Bolek zdał egzamin z logiki lub Franek zdał egzamin z logiki) i Bolek nie zdał egzaminu z logiki], to Franek zdał egzaminu z logiki. p q (p v q)[ (p v q). ~ p ] [ (p v q). ~ p ] → q gdy prawdziwa jest alternatywa dwóch zdań i jedno z nich jest nieprawdziwe, to drugie jest prawdziwe MODUS TOLLENDO PONENS (sposób przez zaprzeczenie potwierdzający)

23 PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ [ (p / q). p ] → ~ q Jeśli (bądź Bolek zdał egzamin z logiki bądź Franek zdał egzamin z logiki i Bolek zdał egzaminu z logiki), to Franek nie zdał egzaminu z logiki. p q (p / q) [(p / q). p ] [ (p / q). p ] → ~ q gdy prawdziwa jest dysjunkcja i jedno z jej zdań składowych, to drugie jest fałszywe MODUS PONENDO TOLLENS (sposób przez potwierdzenie zaprzeczający)

24 PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ ~ p → (p → q) Jeśli Wenecja nie jest stolicą Włoch, to (jeżeli Wenecja jest stolicą Włoch, to Ania jest matką Kasi). p q ~ p (p → q) ~ p → (p → q) gdy dane zdanie jest fałszywe, to implikuje ono dowolne zdanie PRAWO DUNSA SZKOTA

25 PRAWA LOGIKI RACHUNKU ZDAŃ (p → q) → (~ q → ~ p) Jeśli (jeżeli słońce świeci, to jest dzień), to (jeżeli nie ma dnia, to nie świeci słońce). p q (p → q) (~ q → ~ p) (p → q) → ( ~ q → ~ p) gdy jedno zdanie implikuje drugie, to negacja drugiego zdania implikuje negację pierwszego zdania PRAWO TRANSPOZYCJI

26 Metoda zero-jedynkowa polega na skonstruowaniu swoistej tabelki.

27 W konstruowaniu tabelki można wyróżnić trzy etapy: - ustalenie poszczególnych kolumn tabelki; - ustalenie ilości rzędów i wypełnienie kolumn dla poszczególnych zmiennych; - wypełnienie pozostałych kolumn tabelki w oparciu o matryce poszczególnych spójników.

28 METODA ZERO-JEDYNKOWA (p. q) → p Pierwszy etap: - ustalenie poszczególnych kolumn tabelki p q (p. q) (p. q) → p

29 METODA ZERO-JEDYNKOWA Drugi etap: - ustalenie ilości rzędów i wypełnienie kolumn dla poszczególnych zmiennych pq (p. q) (p. q) → p

30 METODA ZERO-JEDYNKOWA Trzeci etap: - wypełnienie pozostałych kolumn tabelki w oparciu o matryce poszczególnych spójników pq (p. q) (p. q) → p

31 METODA ZERO-JEDYNKOWA INNY PRZYKŁAD: [ p v (q. r) ] → r Pierwszy etap: ustalenie poszczególnych kolumn tabelki pqr (q. r) IvIVV→III IIIIIIIVVVI

32 METODA ZERO-JEDYNKOWA Drugi etap: ustalenie ilości rzędów i wypełnienie kolumn dla poszczególnych zmiennych

33 METODA ZERO-JEDYNKOWA pqr (q. r) I v IV V → III IIIIIIIVVVI

34 METODA ZERO-JEDYNKOWA Trzeci etap: wypełnienie pozostałych kolumn tabelki w oparciu o matryce poszczególnych spójników wypełnienie pozostałych kolumn tabelki w oparciu o matryce poszczególnych spójników

35 METODA ZERO-JEDYNKOWA pqr (q. r) I v IV V → III IIIIIIIVVVI