yi b) metoda różnic skończonych nadal problem nieliniowy 2-go rzędu z warunkiem Dirichleta przedział (a,b) dzielimy na siatkę, powiedzmy o stałym kroku: punkty siatki: w metodzie strzałów używamy metod dla problemu początkowego, możemy sobie pozwolić na adaptację kroku itd. - w MRS raczej nie. A yi u y(x) B x b=xN a=x0 1

b) metoda różnic skończonych zastępujemy pochodne ilorazami różnicowymi – problem różniczkowy sprowadzony do algebraicznego wykorzystujemy rozwinięcie Taylora: pamiętamy, że całą obciętą sumę można zastąpić wyrażeniem z k-tą pochodną policzoną gdzieś w przedziale (x,x+Dx) dwupunktowy przedni i wsteczny iloraz różnicowy pochodnej (widzimy, że będą dokładne dla wielomianów stopnia 1) odjąć stronami r.T. (iloraz centralny, trójpunktowy) 2

b) metoda różnic skończonych iloraz centralny drugiej pochodnej: ilorazy, które poznaliśmy wystarczą aby rozwiązać problem modelowy: 3

dla i=1,...,N-1 u0=A, uN=B wracamy do metody RS problem algebraiczny: problem jest zbyt ogólny dla rozważań wstępnych, zawęźmy uwagę do problemu liniowego: 4

wersja zdyskretyzowana: równanie różniczkowe jego przybliżenie algebraiczne (różnicowe) błąd dyskretyzacji (definicja) błąd dyskretyzacji w przypadku równania liniowego: 5

+ + szacujemy błąd dyskretyzacji wiedząc, że: użyliśmy ilorazów dokładności Dx2 błąd dyskretyzacji tego samego rzędu + 6

Au=f problem algebraiczny: dla i=1,...,N-1 [dla i=0,N nie stosujemy równania tylko wb. punkty na brzegu nie spełniają rr] równanie różniczkowe liniowe  algebraiczny układ równań liniowych Au=f macierz trójprzekątniowa bo centralne ilorazy równań: N+1 – pierwsze i ostatnie wymuszają WB. można pozbyć się pierwszego i ostatniego równania 7

można pozbyć się pierwszego i ostatniego równania i=N-1 najlepiej zamiast np. eliminacji Gaussa rozwiązać problem algorytmem trójprzekątniowym zmodyfikowane wg wzoru 8

5n mnożeń /dzieleń 3n dodawań / odejmowań dla n=N-1 Uu=z Lz=f dekompozycja A=LU LUu=f rozwiązać Au=f itd.. 5n mnożeń /dzieleń 3n dodawań / odejmowań podczas gdy eliminacja Gaussa n3/3 operacji 9

Błąd globalny dla dwupunktowego problemu brzegowego definiowany (jak dla problemów początkowych) jako odchylenie od wartości dokładnej w problemie początkowym = widzieliśmy akumulację błędów lokalnych, w której wyniku rząd błędu globalnego był mniejszy o jeden niż błędu lokalnego lokalny:=O(dtn) (w jednym kroku) globalny w chwili t := zakumulowany w N krokach, gdzie N=t/dt O(dtn) t/dt daje błąd globalny rzędu O(dtn-1) jak jest w problemie brzegowym ? Czy następuje akumulacja błędu od brzegów?? problem początkowy kierunek generacji wyników wartości z wewnątrz obszaru całkowania wyliczane przy zafiksowanych wartościach na obydwu końcach przedziału warunki brzegowe przenoszone do wewnątrz obszaru całkowania. problem brzegowy: czy punkt ze środka jest policzony z gorszą (o jeden rząd dokładnością) niż punkt z brzegu ??? 10

Problem akumulacji błędu. Rząd błędu globalnego w zagadnieniu brzegowym [ten sam czy niższy niż błąd lokalny ?] – eksperyment numeryczny u’’(x)=u , u(0)=0, u(1)  u(x)=sinh(x)/sinh(1), sinh(x)=(exp(x)-exp(-x))/2 rachunek na N=2j+1 punktach z Dx=1/N, j=1,9 stosujemy iloraz centralny z błędem lokalnym O(Dx2) widzimy, że błąd globalny jest również rzędu 2 odchylenie = tam gdzie błędy arytmetyki wniosek: dla problemu brzegowego (dla zmiennej przestrzennej) błąd globalny jest tego samego rzędu co błąd lokalny  nie ma przestrzennej akumulacji błędu (błędy akumulują się tylko z czasem) ważne dla r.r. cząstkowych z (x oraz t): błędy w t się akumulują, w x nie: większa dokładność będzie wymagana dla t niż dla x 11

yi mieszany WB (Robina) dla równania liniowego pochodna z w prawym brzegu: mamy dostępne tylko punkty na lewo od niego: możemy zastosować wsteczną pochodną, ale – wprowadzimy w ten sposób błąd O(Dx) do całego rachunku możemy zastosować wzór wsteczny z 3-ma punktami, ale – zakłócimy trójprzekątniową strukturę problemu wyjście – fikcyjny punkt uN+1 w b+Dx A yi u y(x) B x b=xN a=x0 12

równanie na punkt ostatni z punktem fikcyjnym WB: równanie na punkt ostatni z punktem fikcyjnym fikcyjny punkt eliminowany z WB do równania: 2 p. trójp. 13

uwaga: dla Dirichleta – modyfikujemy prawą stronę (tzw. naturalny wb) p. trójp. uwaga: dla Dirichleta – modyfikujemy prawą stronę (tzw. naturalny wb) : dla Neumanna i Robina– modyfikujemy macierz A (tzw. istotny wb) 14

problem algebraiczny z dyskretyzacji równania nieliniowego układ równań nieliniowych: metoda Newtona dla układu równań: funkcja i pochodne liczone w 15

w każdej iteracji Newtona układ równań z macierzą trójprzekątniową do rozwiązania 16

Przykład: - problem pręta w imadle: zmieniamy oznaczenia s x, qu u – na siatce od 0 do ½ wzory ogólne: 1 1 17

Przykład: - problem pręta w imadle Wyniki druga iteracja trzecia iteracja u=q start x=s 18

Przykład: - problem pręta w imadle Wyniki bardzo zły start druga iteracja u=q u=q trzecia iteracja czwarta = bez zmian druga iteracja x=s x=s trzecia iteracja 19

równanie Poissona jako modelowe eliptyczne funkcjonał działania, zbieżność, relaksacje wielosiatkowe Eliptyczne: opisuje stany stacjonarne Rozkład potencjału elektrostatycznego [minimum działania w układzie ładunek/pole] 2) Rozkład temperatury przy stacjonarnym przepływie ciepła [ granica czasowa problemu parabolicznego ] ... wnętrze na brzegu musimy określić wartość rozwiązania lub jego pochodnej normalnej lub związek między nimi brzeg 20

wnętrze brzeg Warto wiedzieć: (zasada maximum) rozwiązanie równanie Laplace’a osiąga wartości ekstremalne na brzegach (dowód np. u Weinbergera) wnętrze dla metody RS: brzeg skoro każdy punkt z wewnątrz obszaru całkowania jest średnią arytmetyczną z sąsiadów nigdy nie będzie większy od żadnego z nich 21

Z elektrostatyki poprzez metodę różnic skończonych do równania Poissona i metod relaksacji i nadrelaksacji . Działanie dla układu ładunek ( r ) + pole : potencjał pola elektrycznego (to nie jest energia układu energia będzie gdy znak przy r będzie +) funkcja podcałkowa: tzw. lagranżjan układu pole - ładunek rozkład ładunku wektor pola elektrycznego Działanie jest najmniejsze dla potencjału, który spełnia równanie Poissona Zobaczymy to w 1D: 22

działanie a równanie Poissona w 1D Z warunkami brzegowymi typu Dirichleta Dla jakiego wartość działania jest ekstremalna ? (w praktyce minimalna, bo maksymalna nie istnieje). Ogólny problem minimum funkcjonału (całki funkcjonalnej) optymalny potencjał: minimalizuje działanie „bliski” optymalnemu i spełniający te same warunki brzegowe dowolna funkcja ciągła z pochodną mały parametr 23

z definicji: Wartość a=0 jest optymalna: Pochodna pod całkę: ( wstawiamy a=0 ) 24

dz pochodna iloczynu [całkowanie przez części] dowolna v(-d/2)=v(d/2)=0 czyli: równanie Eulera-Lagrange’a na funkcję dla której całka funkcjonalna minimalna 25

Równanie Eulera-Lagrange’a dla energii układu ładunek+pole minimalne działanie dostajemy dla potencjału spełniającego równanie Poissona 26

Działanie na siatce różnicowej Zdyskretyzowane działanie najprostszy iloraz różnicowy pierwszej pochodnej Minimum zdyskretyzowanego działania dla wszystkich oczek siatki i 27

wysumowane z deltami Kroneckera: 28

wysumowane z deltami Kroneckera: z zasady najmniejszego działania na siatce dostaliśmy dokładnie takie samo równanie, jak po bezpośredniej dyskretyzacji równania Poissona: z ilorazem róznicowym drugiej pochodnej 29

pozwala ocenić zbieżność procedur iteracyjnych wartość działania: pozwala ocenić zbieżność procedur iteracyjnych ponadto: nieoceniona do kontroli jakości rozwiązania w metodzie elementów skończonych (wybór elementów, wybór funkcji kształtu) 30